содержание .. 2 3 4 5 ..
Физика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2025-2026 год) - часть 4
Груз над водой, груз в воде (10 баллов)
Однородная доска длиной L = 1,30 м с прямоугольным сечением площадью
S = 20см2 уравновешена горизонтально на единственной опоре. Точка опоры
находится на расстоянии 0,75L от левого конца доски. К доске на расстоянии 0,9L
от того же конца подвешен алюминиевый груз. Плотности древесины и алюминия
равны соответственно ρд = 680 кг/м3 и ρал = 2700 кг/м3. Ускорение свободного
падения примите равным g = 10 м/с2.
1. Найдите массу доски M. Ответ выразите в кг, округлив до сотых долей.
(2 балла)
2. Определите силу реакции опоры N0. Ответ выразите в Н, округлив до де-
сятых долей. (2 балла)
2
Груз над водой, груз в воде (10 баллов)
Однородная доска длиной L = 1,10 м с прямоугольным сечением площадью
S = 18см2 уравновешена горизонтально на единственной опоре. К доске на рас-
стоянии 0,25L от левого конца подвешен алюминиевый груз массой m = 0,65 кг.
Плотности древесины и алюминия равны соответственно ρд = 700 кг/м3 и ρал =
2700 кг/м3. Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2. Затем
груз полностью погружают в воду плотностью ρв = 1000 кг/м3, после чего для
восстановления равновесия опору перемещают в новое положение.
1. Найдите массу доски M. Ответ выразите в кг, округлив до сотых долей.
(2 балла)
2. На каком расстоянии xоп от левого конца доски находится опора в первона-
чальном состоянии? Ответ выразите в м, округлив до тысячных долей.
(2 балла)
3
Груз над водой, груз в воде (10 баллов)
Однородная доска массой M = 1,80 кг и длиной L = 1,20 м уравновешена горизон-
тально на единственной опоре. Точка опоры находится на расстоянии 0,4L от
лево-го конца доски. К доске на расстоянии 0,2L от того же конца подвешен
алюминие-вый груз. Плотности древесины и алюминия равны соответственно ρд =
720 кг/м3 и ρал = 2700 кг/м3. Ускорение свободного падения примите равным g =
10 м/с2. Затем груз полностью погружают в жидкость неизвестной плотности ρж и
сме-щают точку подвеса груза на ∆x = 0,12 м влево вдоль доски, так что
равновесие системы восстанавливается.
1. Найдите площадь поперечного сечения доски S. Ответ выразите в см2,
округлив до целого числа.
(2 балла)
4
Груз над водой, груз в воде (10 баллов)
Однородная доска длиной L и массой M = 2,16 кг с прямоугольным сечением пло-
щадью S = 24 см2 уравновешена горизонтально на единственной опоре. К доске
на расстоянии 0,25L от левого конца подвешен алюминиевый груз массой
m = 1,05кг. Плотности древесины и алюминия равны соответственно ρд = 750кг/м3
и ρал = 2700кг/м3. Ускорение свободного падения примите равным g = 10м/с2.
После полного погружения груза в воду плотностью ρв = 1000 кг/м3 точку опоры
переносят вдоль доски так, чтобы система вновь пришла в равновесие.
1. Найдите длину доски L. Ответ выразите в м, округлив до десятых долей.
(2 балла)
2. На каком расстоянии xоп от левого конца доски находится опора в первона-
чальном состоянии? Ответ выразите в м, округлив до тысячных долей.
(2 балла)
5
Типовое решение для сюжета «Груз над водой, груз
в воде»
Уникальные вопросы, встречающиеся в данных задачах
1. Нахождение параметров доски M, S или L при известной ρд и одном из
S,L,M.
2. Нахождение подвешенного груза m, обеспечивающей равновесие при задан-
ных положениях опоры и точки подвеса (в воздухе).
3. Нахождение положения опоры xоп в воздухе при заданном m и координате
точки подвеса xг.
4. Нахождение силы реакции опоры N0 в воздухе.
5. После полного погружения груза в жидкость плотности ρж:
(a) нахождение Архимеда FA и натяжение нити T ;
(b) нахождение смещения точки подвеса ∆x при фиксированной опоре для
восстановления равновесия;
(c) нахождение смещения опоры (или её новое положение) при фиксиро-
ванной точке подвеса;
Полное погружение груза в жидкость (ρж), восстановление
равновесия
1. Сила Архимеда и натяжение нити:
9
Оптимальный маршрут туриста (10 баллов)
Железнодорожные станции A, B, C и D свя-
заны несколькими маршрутами. От стан-
ции A до станции B с промежуточной оста-
новкой на станции C ходит поезд «Аист».
Он отправляется от A с интервалами 2 ч,
начиная с 5:30, а весь маршрут занимает у
«Аиста» 280 минут. Также из A в B, но с остановкой в D, ходит поезд «Журавль».
Интервалы его следования составляют 50 минут, первый «Журавль» отправляет-
ся в 5:50, а весь маршрут занимает у него 240 минут. Временем остановок поездов
можно пренебречь. На всём своём маршруте «Аисты» следуют с постоянной сред-
ней скоростью. Средняя скорость «Журавлей» также постоянна, но отличается от
скорости «Аистов».
Между станциями C и D курсируют в обоих направлениях электрички «Бер-
кут». От станции C в направлении D и от станции D в направлении C «Беркуты»
отправляются одновременно с интервалами 30 минут, начиная с 6:00. Маршрут
между C и D занимает у них 20 минут.
В приведённой ниже таблицы указаны расстояния между станциями и стои-
мость проезда от одной до другой.
Участок
Длина, км
Стоимость, руб
AC
180
140
CB
270
210
AD
220
320
DB
190
120
CD
60
80
Турист прибыл на станцию A в 9:20, ему нужно добраться до станции B. Временем
пересадок между поездами и электричками можно пренебречь.
6. Найдите минимальную стоимость проезда от A до B. Ответ выразите в руб-
лях, округлив до целого числа. (2 балла)
7. Найдите минимальное общее время пути по маршруту A → D → C → B
(включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округ-
лив до целого числа. (2 балла)
8. Найдите среднюю скорость по маршруту A → D → C → B, считая всё
время с момента прибытия туриста на станцию A до прибытия в B (включая
ожидания). Ответ выразите в км/ч, округлив до десятых долей. (3 балла)
9. Найдите минимально возможное время пути из A в B для любых марш-
рутов (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах,
округлив до целого числа. (3 балла)
Ответы: 6) 340 руб; 7) 410 мин; 8) 80,5 км/ч; 9) 280 мин.
10
Оптимальный маршрут туриста (10 баллов)
Железнодорожные станции A, B, C и D свя-
заны несколькими маршрутами. От стан-
ции A до станции B с промежуточной оста-
новкой на станции C ходит поезд «Аист».
Он отправляется от A с интервалами 2 ч
20 мин, начиная с 6:00, а весь маршрут за-
нимает у «Аиста» 300 минут. Также из A в B, но с остановкой в D, ходит поезд
«Журавль». Интервалы его следования составляют 45 минут, первый «Журавль»
отправляется в 6:15, а весь маршрут занимает у него 255 минут. Временем оста-
новок поездов можно пренебречь. На всём своём маршруте «Аисты» следуют с
постоянной средней скоростью. Средняя скорость «Журавлей» также постоянна,
но отличается от скорости «Аистов».
Между станциями C и D курсируют в обоих направлениях электрички «Бер-
кут». От станции C в направлении D и от станции D в направлении C «Беркуты»
отправляются одновременно с интервалами 30 минут, начиная с 6:00. Маршрут
между C и D занимает у них 25 минут.
В приведённой ниже таблице указаны расстояния между станциями и стои-
мость проезда от одной до другой.
Участок
Длина, км
Стоимость, руб
AC
160
130
CB
260
220
AD
230
310
DB
180
130
CD
55
75
Турист прибыл на станцию A в 10:40, ему нужно добраться до станции B.
Временем пересадок между поездами и электричками можно пренебречь.
6. Найдите минимальную стоимость проезда от A до B. Ответ выразите в руб-
лях, округлив до целого числа. (2 балла)
7. Найдите минимальное общее время пути по маршруту A → D → C → B
(включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округ-
лив до целого числа. (2 балла)
8. Найдите среднюю скорость по маршруту A → D → C → B, считая всё
время с момента прибытия туриста на станцию A до прибытия в B (включая
ожидания). Ответ выразите в км/ч, округлив до десятых долей. (3 балла)
9. Найдите минимально возможное время пути из A в B для любых марш-
рутов (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах,
округлив до целого числа. (3 балла)
Ответы: 6) 335 руб; 7) 440 мин; 8) 74,3 км/ч; 9) 260 мин.
11
Оптимальный маршрут туриста (10 баллов)
Железнодорожные станции A, B, C и D свя-
заны несколькими маршрутами. От стан-
ции A до станции B с промежуточной оста-
новкой на станции C ходит поезд «Аист».
Он отправляется от A с интервалами 1 ч
50 мин, начиная с 5:45, а весь маршрут за-
нимает у «Аиста» 320 минут. Также из A в B, но с остановкой в D, ходит поезд
«Журавль». Интервалы его следования составляют 55 минут, первый «Журавль»
отправляется в 6:10, а весь маршрут занимает у него 280 минут. Временем оста-
новок поездов можно пренебречь. На всём своём маршруте «Аисты» следуют с
постоянной средней скоростью. Средняя скорость «Журавлей» также постоянна,
но отличается от скорости «Аистов».
Между станциями C и D курсируют в обоих направлениях электрички «Бер-
кут». От станции C в направления D и от станции D в направлении C «Беркуты»
отправляются одновременно с интервалами 30 минут, начиная с 6:00. Маршрут
между C и D занимает у них 15 минут.
В приведённой ниже таблице указаны расстояния между станциями и стои-
мость проезда от одной до другой.
Участок
Длина, км
Стоимость, руб
AC
170
150
CB
250
200
AD
240
330
DB
170
110
CD
65
85
Турист прибыл на станцию A в 9:15, ему нужно добраться до станции B. Вре-
менем пересадок между поездами и электричками можно пренебречь.
6. Найдите минимальную стоимость проезда от A до B. Ответ выразите в руб-
лях, округлив до целого числа. (2 балла)
7. Найдите минимальное общее время пути по маршруту A → D → C → B
(включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округ-
лив до целого числа. (2 балла)
8. Найдите среднюю скорость по маршруту A → D → C → B, считая всё
время с момента прибытия туриста на станцию A до прибытия в B (включая
ожидания). Ответ выразите в км/ч, округлив до десятых долей. (3 балла)
9. Найдите минимально возможное время пути из A в B для любых марш-
рутов (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах,
округлив до целого числа. (3 балла)
Ответы: 6) 345 руб; 7) 440 мин; 8) 75,7 км/ч; 9) 315 мин.
12
Оптимальный маршрут туриста (10 баллов)
Железнодорожные станции A, B, C и D свя-
заны несколькими маршрутами. От стан-
ции A до станции B с промежуточной оста-
новкой на станции C ходит поезд «Аист».
Он отправляется от A с интервалами 2 ч
10 мин, начиная с 6:20, а весь маршрут за-
нимает у «Аиста» 310 минут. Также из A в B, но с остановкой в D, ходит поезд
«Журавль». Интервалы его следования составляют 40 минут, первый «Журавль»
отправляется в 6:40, а весь маршрут занимает у него 330 минут. Временем оста-
новок поездов можно пренебречь. На всём своём маршруте «Аисты» следуют с
постоянной средней скоростью. Средняя скорость «Журавлей» также постоянна,
но отличается от скорости «Аистов».
Между станциями C и D курсируют в обоих направлениях электрички «Бер-
кут». От станции C в направлении D и от станции D в направлении C «Беркуты»
отправляются одновременно с интервалами 30 минут, начиная с 6:00. Маршрут
между C и D занимает у них 20 минут.
В приведённой ниже таблице указаны расстояния между станциями и стои-
мость проезда от одной до другой.
Участок
Длина, км
Стоимость, руб
AC
160
140
CB
240
190
AD
210
320
DB
160
120
CD
70
90
Турист прибыл на станцию A в 9:10, ему нужно добраться до станции B. Вре-
менем пересадок между поездами и электричками можно пренебречь.
6. Найдите минимальную стоимость проезда от A до B. Ответ выразите в руб-
лях, округлив до целого числа. (2 балла)
7. Найдите минимальное общее время пути по маршруту A → D → C → B
(включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округ-
лив до целого числа. (2 балла)
8. Найдите среднюю скорость по маршруту A → D → C → B, считая всё
время с момента прибытия туриста на станцию A до прибытия в B (включая
ожидания). Ответ выразите в км/ч, округлив до десятых долей. (3 балла)
9. Найдите минимально возможное время пути из A в B для любых марш-
рутов (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах,
округлив до целого числа. (3 балла)
Ответы: 6) 330 руб; 7) 530 мин; 8) 58,9 км/ч; 9) 340 мин.
13
Оптимальный маршрут туриста (10 баллов)
Железнодорожные станции A, B, C и D свя-
заны несколькими маршрутами. От стан-
ции A до станции B с промежуточной оста-
новкой на станции C ходит поезд «Аист».
Он отправляется от A с интервалами 1 ч
45 мин, начиная с 6:00, а весь маршрут за-
нимает у «Аиста» 295 минут. Также из A в B, но с остановкой в D, ходит поезд
«Журавль». Интервалы его следования составляют 35 минут, первый «Журавль»
отправляется в 6:15, а весь маршрут занимает у него 265 минут. Временем оста-
новок поездов можно пренебречь. На всём своём маршруте «Аисты» следуют с
постоянной средней скоростью. Средняя скорость «Журавлей» также постоянна,
но отличается от скорости «Аистов».
Между станциями C и D курсируют в обоих направлениях электрички «Бер-
кут». От станции C в направлении D и от станции D в направлении C «Беркуты»
отправляются одновременно с интервалами 30 минут, начиная с 6:00. Маршрут
между C и D занимает у них 18 минут.
В приведённой ниже таблице указаны расстояния между станциями и стои-
мость проезда от одной до другой:
Участок
Длина, км
Стоимость, руб
AC
150
135
CB
230
195
AD
200
310
DB
150
115
CD
75
95
Турист прибыл на станцию A в 8:50, ему нужно добраться до станции B. Вре-
менем пересадок между поездами и электричками можно пренебречь.
6. Найдите минимальную стоимость проезда от A до B. Ответ выразите в руб-
лях, округлив до целого числа. (2 балла)
7. Найдите минимальное общее время пути по маршруту A → D → C → B
(включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах, округ-
лив до целого числа. (2 балла)
8. Найдите среднюю скорость по маршруту A → D → C → B, считая всё
время с момента прибытия туриста на станцию A до прибытия в B (включая
ожидания). Ответ выразите в км/ч, округлив до десятых долей. (3 балла)
9. Найдите минимально возможное время пути из A в B для любых марш-
рутов (включая время ожидания на станциях). Ответ выразите в минутах,
округлив до целого числа. (3 балла)
Ответы: 6) 330 руб; 7) 440 мин; 8) 68,9 км/ч; 9) 285 мин.
14
«Оптимальный маршрут туриста» (типовое реше-
ние данной группы задач)
Есть четыре станции A, B, C, D. Поезд «Аист» ходит по ветке A → C → B с
периодом PA (интервал между отправлениями из A) и полным временем в пути
TACB. Поезд «Журавль» ходит по ветке A → D → B с периодом PJ и полным
временем TADB. Электричка «Беркут» ходит между C и D в обе стороны каждые
30 мин, время в пути TCD. Даны длины участков и цены на каждый участок.
Турист приходит на станцию A в момент T0. Временем пересадок пренебрегаем.
Уникальные вопросы, встречающиеся в данных задачах
6. Минимальная стоимость поездки из A в B.
7. Минимальное общее время пути по маршруту A → D → C → B (включая
время ожидания).
8. Средняя скорость на маршруте A → D → C → B, считая всё время с
момента прихода туриста на A.
9. Минимально возможное время пути из A в B среди всех маршрутов (с ожи-
даниями).
Решение
1. Стоимость
Складываем цены по четырём маршрутам и берём минимум:
• Удобно переводить время в минуты от полуночи, чтобы проще сравни-
вать и добавлять интервалы.
• ACDB: едем по маршруту A → C на «Аисте» (tAC ); далее на бли-
жайшем «Беркуте» по маршруту C → D (TCD); далее на ближайшем
«Журавлу» через D (см. п. 4), затем по маршруту D → B за время
tDB.
• ADCB: зеркально к предыдущему, но сначала едем на «Журавлу» до
станции D, потом на «Беркуте» по маршруту D → C, затем на «Аисте»
через C далее по участку C → B.
Все ожидания ищем правилом из п. 3; времена на участках берём из п. 2;
моменты проходов - из п. 4.
17
Теплообмен со средой (10 баллов)
Теплоизолированный калориметр с теплоёмкостью
18
Теплообмен со средой (10 баллов)
19
Теплообмен со средой (10 баллов)
20
Теплообмен со средой (10 баллов)
21
Теплообмен со средой (10 баллов)
22
Типовое решение для сюжета «Теплообмен со сре-
дой: вода + лёд + калориметр»
Уникальные вопросы, встречающиеся в данных задачах
1. Масса расплавившегося льда после смешивания воды с льдом в калори-
метре. Определение режима равновесия: частичное плавление при 0◦C или
полное плавление при температуре выше 0◦C.
2. Температура системы после подвода заданного количества теплоты Q нагре-
вателем. Порядок расходования Q: доплавление оставшегося льда → нагрев
воды и калориметра.
3. «Пороговые» вопросы: сколько тепла нужно отвести, чтобы получить толь-
ко воду при 0◦C (или остаться при 0◦C с частью льда).
4. Изменение температуры за малый интервал времени при нарушении тепло-
изоляции, когда мощность теплообмена задана законом
24
Шаг 3. Кратковременный теплообмен с окружающей средой (∆τ мало).
По условию мощность теплообмена берут по начальной разности температур:
25
Четыре резистора (10 баллов)
В изображённой на рисунке схеме известны сопротивления резисторов R1 = 120 Ом,
R2 = 180 Ом, R3 = 75 Ом и напряжение идеального источника U = 12 В. Галь-
ванометр G показывает нуль (ток через него не течёт).
13. Найдите сопротивление R4. Ответ выразите в омах, округлив до десятых.
(2 балла)
14. Определите ток I через резистор R3. Ответ выразите в мА, округлив до
целого. (2 балла)
15. Рассчитайте полную мощность, выделяемую в цепи. Ответ выразите в ват-
тах, округлив до сотых. (3 балла)
16. Рассчитайте мощности, выделяемые на каждом резисторе. В ответе ука-
жите максимальную из вычисленных мощностей. Ответ выразите в ваттах,
округлив до сотых. (3 балла)
Ответы: 13) 112,5 Ом; 14) 64 мА; 15) 1,25 Вт; 16) 0,46 Вт.
26
Четыре резистора (10 баллов)
В изображённой на рисунке схеме известны сопротивления резисторов
R1 = 100 Ом, R2 = 250 Ом, R4 = 200 Ом и напряжение идеального источника
U = 18 В. Гальванометр G показывает нуль (ток через него не течёт).
13. Найдите сопротивление R3. Ответ выразите в омах, округлив до десятых.
(2 балла)
14. Определите ток I через резистор R3. Ответ выразите в мА, округлив до
целого. (2 балла)
15. Рассчитайте полную мощность, выделяемую в цепи. Ответ выразите в ват-
тах, округлив до сотых. (3 балла)
16. Рассчитайте мощности, выделяемые на каждом резисторе. В ответе ука-
жите минимальную из вычисленных мощностей. Ответ выразите в ваттах,
округлив до сотых. (3 балла)
Ответы: 13) 80,0 Ом; 14) 64 мА; 15) 2,08 Вт; 16) 0,26 Вт.
27
Четыре резистора (10 баллов)
В изображённой на рисунке схеме известны сопротивления резисторов
R1 = 150 Ом, R3 = 82 Ом, R4 = 120 Ом и напряжение идеального источника
U = 24 В. Гальванометр G показывает нуль (ток через него не течёт).
13. Найдите сопротивление R2. Ответ выразите в омах, округлив до десятых.
(2 балла)
14. Определите ток I через резистор R1. Ответ выразите в мА, округлив до
целого. (2 балла)
15. Рассчитайте полную мощность, выделяемую в цепи. Ответ выразите в ват-
тах, округлив до сотых. (3 балла)
16. Рассчитайте мощности, выделяемые на каждом резисторе. В ответе ука-
жите минимальную из вычисленных мощностей. Ответ выразите в ваттах,
округлив до сотых. (3 балла)
Ответы: 13) 219,5 Ом; 14) 65 мА; 15) 4,41 Вт; 16) 0,63 Вт.
28
Четыре резистора (10 баллов)
В изображённой на рисунке схеме известны сопротивления резисторов
R2 = 220 Ом, R3 = 68 Ом, R4 = 150 Ом и напряжение идеального источника
U = 15 В. Гальванометр G показывает нуль (ток через него не течёт).
13. Найдите сопротивление R1. Ответ выразите в омах, округлив до десятых.
(2 балла)
14. Определите ток I через резистор R4. Ответ выразите в мА, округлив до
целого. (2 балла)
15. Рассчитайте полную мощность, выделяемую в цепи. Ответ выразите в ват-
тах, округлив до сотых. (3 балла)
16. Рассчитайте мощности, выделяемые на каждом резисторе. В ответе ука-
жите максимальную из вычисленных мощностей. Ответ выразите в ваттах,
округлив до сотых. (3 балла)
Ответы: 13) 99,7 Ом; 14) 69 мА; 15) 1,74 Вт; 16) 0,71 Вт.
29
Четыре резистора (10 баллов)
В изображённой на рисунке схеме известны сопротивления резисторов
R1 = 200 Ом, R2 = 300 Ом, R4 = 150 Ом. Ток через резистор R1 равен 0,10 А.
Напряжение источника идеальное. Гальванометр G показывает нуль (ток через
него не течёт).
13. Найдите напряжение источника U. Ответ выразите в вольтах, округлив до
десятых. (2 балла)
14. Найдите ток I через резистор R4. Ответ выразите в мА, округлив до целого.
(2 балла)
15. Рассчитайте полную мощность, выделяемую в цепи. Ответ выразите в ват-
тах, округлив до сотых. (3 балла)
16. Рассчитайте мощности, выделяемые на каждом резисторе. В ответе ука-
жите максимальную из вычисленных мощностей. Ответ выразите в ваттах,
округлив до сотых. (3 балла)
Ответы: 13) 50,0 В; 14) 200 мА; 15) 15,00 Вт; 16) 6,00 Вт.
30
Типовое решение для сюжета «Четыре резистора»
Уникальные вопросы, встречающиеся в задачах
1. Определение неизвестного сопротивления по условию нулевого тока через
гальванометр (баланс моста).
2. Нахождение токов в заданных резисторах.
3. Эквивалентное сопротивление всей схемы и полная мощность, выделяемая
в цепи.
4. Мощности на каждом резисторе; выбор максимальной/минимальной из них.
5. Восстановление напряжения источника по известному току в одной из вет-
вей или через один из резисторов.
Модель и обозначения
Баланс моста: как найти неизвестный резистор
При балансе ветви электрически независимы (перемычка не передаёт ток), поэто-
му их можно считать просто двумя последовательными цепями, подключёнными
параллельно к одному источнику.
31
Токи, напряжения, эквивалентное сопротивление
Токи по ветвям:
Мощности на каждом резисторе; как найти максимум/минимум
Восстановление напряжения источника по известному току
Если известен, например, ток через R1, то это ток всей левой ветви: IR
= IA.
1
Напряжение источника составляет
U = IA(R1 + R2).
Аналогично если известен ток через R4 (правую ветвь), то U = IB(R3 +R4). Далее
действуют общие формулы для мощностей и эквивалентного сопротивления.
32