содержание      ..     1      2      3      4      ..

Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2024-2025 год) - часть 3

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 10 класс

Задание № 5

Про выпуклый четырёхугольник ABCD

известно, что

AB = AC = 5, BC = CD = 6.

Какая наибольшая площадь у него может

быть?

Ответ:

Задание № 6

На картинке ниже изображены две

окружности, касающиеся в точке C; O -

центр одной из окружностей; AB - их

общая внешняя касательная; D - вторая

точка пересечения OC и окружности.

Известно, что ∠AOC = 116^◦.

Найдите градусную меру угла ∠BDC.

Ответ:

Задание № 7

Квадратное уравнение f(x) = 0 имеет ровно один действительных корень t.

Оказалось, что квадратное уравнение

f(5x + 1) + f(7x - 5) = 0

также имеет ровно один действительный корень (не обязательно равный t).

Найдите все возможные значения числа t.

Ответ:

Задание № 8

Сколько существует возрастающих арифметических прогрессий из 11 членов,

каждый из которых - натуральное число от 1 до 440 включительно?

Ответ:

2

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 10 КЛАСС

ОТВЕТЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ

Максимальное количество баллов - 8.

Задание № 1

У Васи есть прямой бикфордов шнур длиной 20 метров, который горит

равномерно со скоростью

1 метр в минуту. Вася хочет поджечь его

одновременно в нескольких точках так, чтобы весь шнур сгорел быстрее чем за

3 минуты. В каком наименьшем количестве точек надо поджечь шнур Васе? От

места поджигания шнур начинает гореть в обе стороны.

Ответ: 4.

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

За 3 минуты сгорает не более 6 метров шнура от мест поджога. Поэтому задача

переформулируется так: есть отрезок длины 20; каким наименьшим количеством

интервалов длины 6 можно его покрыть? Интервалы длины 6 могут налегать

друг на друга и могут вылезать за пределы отрезка длины 20. Очевидно, что 3-х

интервалов не хватит, так как их суммарная длина будет 18, что меньше 20. А

четырьмя интервалами длины 6 отрезок длины 20 покрыть можно, см. рисунок.

Задание № 2

Действительные числа x, y, z таковы, что

(x + y)(x + y + z) = 785,

(y + z)(y + z + x) = 692,

(z + x)(z + x + y) = 973.

Найдите все возможные значения x + y + z.

Ответ: 35 и -35.

Точное совпадение ответа - 1 балл

1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 10 класс. Ответы

Решение.

Сложив все три уравнения и преобразовав, получим

2(x + y + z)² = 2450,

откуда x + y + z = 35 или x + y + z = -35.

Осталось проверить, что оба эти случая на самом деле возможны.

1) x + y + z = 35.

Поставив это в исходные уравнения, находим

Отсюда

Сумма этих трёх чисел как раз равна 35.

2) x + y + z = -35. Достаточно сменить знак у значений x, y и z, найденных

в предыдущем случае. При такой смене знаков все три равенства из условия

сохранятся, так как каждая скобка (x + y), (y + z), (z + z) и (x + y + z) сменит

знак, поэтому произведения (x + y)(x + y + z) и два аналогичных не изменятся.

Задание № 3

У Васи было много прямоугольников размеров 1×14, 1×35, 1×36 и 1×39. Вася

сложил из этих прямоугольников квадрат 37 × 37, без пропусков и наложений.

Оказалось, что при этом использовались прямоугольники ровно двух размеров.

Каких?

o

1 × 14;

o

1 × 35;

o

1 × 36;

o

1 × 39.

Ответ: 1 × 35 и 1 × 36.

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Прямоугольники размера 1×39 использоваться не могли, так как они не

умещаются на доску 37 × 37. Осталось три случая.

1) Использовались прямоугольники 1 × 14 и 1 × 35. Этот случай невозможен,

так как площадь каждого прямоугольника делится на 7, тогда и площадь

квадрата 37×37 должна делиться на 7, что неверно.

2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 10 класс. Ответы

2) Использовались прямоугольники 1 × 14 и 1 × 36. Этот случай невозможен,

так как площадь каждого прямоугольника делится на 2, тогда и площадь

квадрата 37×37 должна делиться на 2, что неверно.

3) Остался единственный случай - использовались прямоугольники 1×35 и

1×36. Он действительно возможен, см. рисунок.

Задание № 4

166 гномов отправились в поход. Они выходили из точки старта в разное время,

у каждого гнома своя постоянная скорость. Оказалось, что каждый гном

в какой-то момент был впереди всех остальных. Каким по счету финишировал

гном, вышедший пятьдесят третьим?

Ответ: 114.

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Заметим, что любой гном должен когда-то обогнать всех гномов, вышедших до

него, иначе он никогда не будет впереди ранее вышедших гномов. Поэтому гномы

финишируют в противоположном порядке по отношению к порядку выхода.

Тем самым гном, вышедший 53-м, финиширует 53-м с конца, то есть 114 с

начала.

3

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 10 класс. Ответы

Задание № 5

Про выпуклый четырёхугольник ABCD известно, что

AB = AC = 5, BC = CD = 6.

Какая наибольшая площадь у него может быть?

Ответ: 27.

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Заметим, что площадь треугольника ABC фиксирована, а площадь треугольника

ACD считается по формуле S_ACD = ¹ · CA · CD · sin ∠ACD.

2

Эта площадь будет максимальной, тогда максимален sin ∠ACD, то есть когда

∠ACD = 90^◦ и sin∠ACD = sin90^◦ = 1.

Площадь треугольника ABC найдем по формуле S_ABC = ¹· BC·h, где h - высота

2

равнобедренного треугольника ABC из вершины A на основание BC. По теореме

Пифагора ℎ = √5² - 3²= 4, откуда S_ABC = ¹· 6 · 4 = 12. Максимальное значение

2

площади треугольника ACD, как было показано ранее, равно ¹· 5 · 6 · 1 = 15.

2

В итоге максимальное значение площади четырёхугольника ABCD равно

12 + 15 = 27.

◦

Отметим, что для полноты решения нужно ещё обосновать, что при ∠ACD = 90

четырёхугольник ABCD будет выпуклым, так как это требуется в условии задачи.

◦

Но заметим, что ∠ACB < 90

как угол при основании в равнобедренном треуголь-

◦

◦

◦

нике ABC, откуда ∠BCD < 180

. Для доказательства того, что ∠BAD < 180

◦

заметим, что ∠CAD < 90

(как острый угол в прямоугольном треугольнике), и что

◦

∠BAC < 90

. Последнее можно установить, посчитав косинус этого угла по

◦

теореме косинусов. Углы ABC и ADC меньше 180

как углы в треугольниках.

Итак, выпуклость четырёхугольника ABCD проверена.

4

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 10 класс. Ответы

Задание № 6

На картинке ниже изображены две окружности, касающиеся в точке C; O -

центр одной из окружностей; AB - их общая внешняя касательная; D - вторая

точка пересечения OC и окружности. Известно, что ∠AOC = 116^◦. Найдите

градусную меру угла ∠BDC.

Ответ. 32^◦.

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Пусть E - центр второй окружности, тогда точки D, E, C и O лежат на одной

прямой (как известно, прямая, соединяющая центры двух касающихся

окружностей, проходит через точку касания).

Радиусы EB и OA перпендикулярны общей касательной BA, откуда BE∥AO,

◦

◦

◦

следовательно, ∠BEC = 180

- 116

= 64

. Угол BDC является вписанным,

◦

◦

поэтому он равен половине центрального угла BEC, то есть ∠BDC = 64

/2 = 32

Задание № 7

Квадратное уравнение f(x) = 0 имеет ровно один действительных корень t.

Оказалось, что квадратное уравнение

f(5x + 1) + f(7x - 5) = 0

также имеет ровно один действительный корень (не обязательно равный t).

Найдите все возможные значения числа t.

Ответ: 16.

5

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

МАТЕМАТИКА. 2024-2025 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 4 КЛАСС

1. Расстояние от дома Маши до школы по прямой дороге равно 20 км. Остановка

находится на этой дороге в 4 раза ближе к дому, чем к школе. Сколько километров

от дома Маши до остановки?

2. Расставьте цифры 1, 2, 3, 6, 7 и 9 в клетки (по одной в каждую клетку, каждую

цифру можно использовать только один раз) так, чтобы равенство стало верным.

В ответ запишите результат сложения.

3. Мише каждый день дают 100 рублей на карманные расходы. В первый день он

потратил 10 рублей, во второй хочет потратить 20 рублей, в третий - 30 рублей

и так далее: каждый следующий день он тратит на 10 рублей больше, чем

в предыдущий. На какой по счёту день Мише не хватит денег на задуманную

покупку? Неизрасходованные за день деньги остаются у Миши, изначально денег

у него не было.

4. Расположите фигуры в порядке убывания веса от самого тяжёлого к самому

лёгкому.

1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024-2025 уч. г.

Школьный этап. 4 класс

5. Яша сложил две фигуры из кубиков, как показано на рисунке. В общей

сложности он использовал 35 кубиков. Чтобы окрасить поверхность первой

фигуры (включая поверхность, которая соприкасается с полом), Яша

использовал 162 грамма краски.

Сколько грамм краски необходимо для того, чтобы окрасить поверхность второй

фигуры?

6. Саша забыл код от велосипедного замка, который состоит из четырёх

различных цифр. Он совершил четыре попытки набрать код, при этом замок не

открылся.

Известны следующие результаты попыток:

1 попытка: Верны две из этих цифр, но они обе находятся не на своём месте.

2 попытка: Верны две из этих цифр, но они обе находятся не на своём месте.

3 попытка: Верна одна из этих цифр, и она находится на своём месте.

4 попытка: Все эти цифры неверны.

Найдите код.

7. На школьный праздник 1 сентября пришли 240 человек: девочки, мальчики и

родители. На новогоднюю ёлку девочек пришло столько же, мальчиков - в 3 раза

меньше, а родителей - в 5 раз больше, но вместе их было также 240 человек,

при этом родителей оказалось столько же, сколько и детей. Сколько девочек

пришло 1 сентября?

2

Разбор заданий школьного этапа ВсОШ по математике

для 4 класса

2024/25 учебный

Максимальное количество баллов - 8

1. Расстояние от дома Маши до школы по прямой дороге равно 20 км. Остановка находится

на этой дороге в 4 раза ближе к дому, чем к школе. Сколько километров от дома Маши до

остановки?

Ответ. 4 км

Формат ответа: Число

Решение. Расстояние от остановки до школы в 4 раза больше, чем от остановки до дома.

Тогда расстояние от дома до школы - это 5 расстояний от дома до остановки: 1 от дома до

остановки, и еще 4 от остановки до школы. Находим расстояние от дома до остановки, оно

равно 20:5=4 км.

2. Расставьте цифры 1, 2, 3, 6, 7 и 9 в клетки (по одной в каждую клетку, каждую цифру

можно использовать только один раз) так, чтобы равенство стало верным. В ответ запишите

результат сложения.

Ответ. 23

Формат ответа: Число

Решение. Чтобы получить 23, можно расставить цифры так: 1+6+7+9=23.

Покажем, что других вариантов ответа нет. Сумма четырех цифр не более, чем 3+6+7+9=25,

значит результат более 23 (это хотя бы 26) получить невозможно.

Если результат меньше 23. 21 не подходит, так как 3+6+7+9=25, 19 не подходит, так как

2+3+6+7=18. Если результат менее 19, то сумма оставшихся цифр будет равна хотя бы

2+3+6+9=20, что тоже не подходит.

3. Мише каждый день дают 100 рублей на карманные расходы. В первый день он потратил 10

рублей, во второй хочет потратить 20 рублей, в третий - 30 рублей и так далее каждый

следующий день он тратит на 10 рублей больше, чем в предыдущий. На какой по счету день

Мише не хватит денег на задуманную покупку? Неизрасходованные за день деньги остаются у

Миши, изначально денег у него не было.

Ответ. На 20-й день

Формат ответа: Число

Решение. Посмотрим сколько денег у Миши остаются не потраченными каждый день. В

первый день у него осталось 90 рублей, во второй - 80, в третий - 70 и так далее. В 10 день

он потратил 100 рублей, то есть на будущее он отложил 0. Дальше он начал тратить больше

чем получает. В одиннадцатый день он потратил на 10 рублей больше, в двенадцатый - на

20 и так далее. Будем считать, что в одиннадцатый день он израсходовал те 10 рублей,

которые сохранил в девятый, в двенадцатый - те, что сохранил в восьмой день и так далее.

Тогда в девятнадцатый день он потратит те 90 рублей, которые остались с первого дня.

Теперь у него не осталось денег. В двадцатый день ему дадут 100 рублей, а он хочет

потратить 200, но ему не хватит денег на покупку.

4. Расположите фигуры в порядке убывания веса от самого тяжелого к самому легкому.

Ответ. 1 круг, 2 треугольник, 3 пятиугольник, 4 квадрат

Формат ответа: упорядочить треугольник, квадрат, пятиугольник, круг

Решение. По первому взвешиванию поймем, что круг тяжелее, чем треугольник, так как

пятиугольники на двух чашах весят одинаково.

По второму взвешиванию поймем, что треугольник тяжелее как пятиугольника, так и квадрата.

По третьему взвешиванию поймем, что пятиугольник тяжелее квадрата, так как треугольник

тяжелее пятиугольника, а два пятиугольника весят столько же, сколько и квадрат с

треугольником. Если бы квадрат весил не меньше пятиугольника, то левая чаша была бы

тяжелее правой.

Таким образом самый тяжелый - круг, затем треугольник, потом пятиугольник, и самый легкий

- квадрат.

5. Яша сложил две фигуры из кубиков как показано на рисунке. В общей сложности он

использовал 35 кубиков. Чтобы окрасить поверхность первой фигуры (включая поверхность,

которая соприкасается с полом), Яша использовал 162 грамма краски. Сколько грамм краски

необходимо для того, чтобы окрасить поверхность второй фигуры?

Ответ 240 грамм

Формат ответа: Число

Решение. Найдем площадь левой фигуры, чтобы понять, сколько грамм краски уходит на одну

грань маленького кубика.

Площадь поверхности левой фигуры равна 54 единичных квадратика: 18 граней спереди и

сзади, 14 - справа и слева, 20 - сверху и снизу и еще 2 грани невидимые ни с одной из этих

сторон. Тогда на одну грань маленького кубика уходит 162:54=3 грамма краски.

Площадь поверхности правой фигуры равна 80 единичных квадратиков: 16 граней спереди и

сзади, 14 - справа и слева, 36 - сверху и снизу и еще 14 граней невидимых ни с одной из этих

сторон. Тогда на нее ушло 3∙80=240 граммов краски.

6. Саша забыл код от велосипедного замка, который состоит из четырех различных цифр. Он

совершил четыре попытки набрать код, при этом замок не открылся.

Известно, что:

1 попытка: Две из этих цифр есть в коде, но они обе находятся не на своих местах.

2 попытка: Две из этих цифр есть в коде, но они обе находятся не на своих местах.

3 попытка: Одна из этих цифр есть в коде, и она находится на своем месте.

4 попытка: Всех этих цифр нет в коде.

Найдите код.

Ответ. 5194

Формат ответа: Число

Решение. Из четвертой попытки знаем, что цифр 7, 6, 2, 8 нет в коде.

Посмотрим на первую попытку. Мы знаем, что цифр 7 и 2 точно нет в коде, а 2 цифры из

первой попытки есть. Значит, в коде есть цифры 9 и 5, причем они стоят не на своих местах.

Посмотрим на вторую попытку. Цифр 7 и 8 нет в коде, значит, 4 и 9 есть и они не на своих

местах.

Посмотрим на третью попытку. Так как цифр 6, 8, 2 нет в коде, то 1 есть в коде и она стоит на

своем втором месте.

Из первых двух попыток мы знаем, что 9 не на первом и не на четвертом месте. На втором

месте стоит 1, значит, 9 может быть только на третьем.

Осталось понять какая из цифр 5 и 4 на первом, а какая на четвертом месте. Из второй

попытки 4 не на первом месте. Тогда 4 на последнем месте, а на первом - 5.

Таким образом, мы нашли код - это 5194.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

МАТЕМАТИКА. 2024-2025 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 5 КЛАСС

1. Возрасты трёх братьев - это различные натуральные числа. Произведение их

возрастов сейчас равно 18. А через год произведение их возрастов будет равно

60. Сколько лет среднему брату сейчас?

2. Выберите все четырёхклеточные фигурки, из четырёх одинаковых копий

которых можно сложить фигуру, изображённую на рисунке. Фигурки можно

поворачивать и переворачивать.

3. Коля забыл код от велосипедного замка, который состоит из трёх различных

цифр. Он совершил четыре попытки набрать код, при этом замок не открылся.

Известны следующие результаты попыток:

1 попытка: Верна одна из этих цифр, и она находится на своём месте

2 попытка: Верна одна из этих цифр, но она находится не на своём месте.

3 попытка: Две из этих цифр верны, но они обе находятся не на своих местах.

4 попытка: Всех этих цифр нет в коде.

Найдите код.

1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024-2025 уч. г.

Школьный этап. 5 класс

4. В тетради Оли 100 страниц, девочка решила пронумеровать их по порядку. Но

ей не нравилась цифра 1, поэтому она решила не использовать числа, которые

содержат в своей записи эту цифру. Таким образом, на первой странице она

написала 2, на второй - 3, …, на восьмой - 9, на девятой - 20 и так далее.

Каким числом Оля пронумеровала последнюю страницу?

5. В школе учатся 1200 детей. У каждого ребёнка 5 уроков каждый день. Каждый

учитель ежедневно ведёт ровно 4 урока, а на каждый урок ходит ровно 30 детей.

Сколько учителей работает в школе?

6. Две фигуры составлены из шести одинаковых прямоугольников. Периметр

фигуры слева равен 52 см, а фигуры справа - 92 см.

Найдите площадь одного прямоугольника. Ответ выразите в квадратных

сантиметрах.

7. Из деревни в город с постоянной скоростью выехал грузовик. Когда он проехал

42 км, из деревни по той же дороге с постоянной скоростью выехал автомобиль.

Когда автомобиль проехал 30 км, грузовик находился на расстоянии 65 км от

деревни. Найдите расстояние от деревни до города, если в город грузовик и

автомобиль приехали одновременно. Ответ выразите в километрах.

2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024-2025 уч. г.

Школьный этап. 5 класс

8. Четыре человека - Витя, Митя, Петя и Катя - прошли тест о предпочтениях,

приведённый на картинке. Все они получили разные результаты.

Витя: Я люблю собак, у меня есть бульдог, но я не отношусь к третьему типу.

Митя: Я люблю решать задачи.

Петя: Я люблю кино.

Катя: Все хорошо плавают, кроме меня.

Все участники диалога говорят честно. Кто к какому типу относится?

А) Тип 1

1) Петя

Б) Тип 2

2) Катя

В) Тип 3

3) Митя

Г) Тип 4

4) Витя

3

Разбор заданий школьного этапа ВсОШ по математике

для 5 класса

2024/25 учебный год

Максимальное количество баллов - 8

1. Возрасты трёх братьев - это различные натуральные числа. Произведение их возрастов

сейчас равно 18. А через год произведение их возрастов будет равно 60. Сколько лет

среднему брату сейчас?

Ответ. 2 года

Формат ответа: Число

Решение. Так как произведение возрастов трёх братьев равно 18, то возраст младшего

не может быть больше одного года, иначе произведение, это хотя бы 2⋅3⋅4=24. Значит,

младшему брату 1 год. А произведение возрастов среднего и старшего равно 18, это

может быть 2⋅9 или 3⋅6.

Проверим оба варианта на соответствие второму условию. Если братьям 1, 2 и 9 лет, то

через год произведение их возрастов станет равно 2⋅3⋅10=60 - этот вариант подходит. А

если братьям 1, 3 и 6 лет, то через год произведение их возрастов станет равно 2⋅4⋅7=56

- этот вариант не подходит. Получаем, что среднему брату может быть только 2 года.

2. Выберите все четырехклеточные фигурки, из четырех одинаковых копий которых

можно сложить фигуру, изображенную на рисунке. Фигурки можно поворачивать и

переворачивать.

а)

б)

в)

г)

д)

Ответ. а) г)

Формат ответа: выбор нескольких вариантов

Решение. Варианты ответа а) и г) подходят, примеры разрезания показаны на рисунке.

Докажем, что нашу фигуру нельзя разрезать на фигурки вида б), в) и д).

б) Квадратом 2×2 нельзя покрыть самую верхнюю клетку.

в) Фигурка занимает верхнюю клетку одним из двух способов, они симметричны, поэтому

будем считать, что она располагается так, как на рисунке. Тогда слева осталось 2 клетки

рядом, их нельзя покрыть нашей фигуркой.

д) Если бы можно было разрезать на фигурки вида 1×4, то верхняя клетка была бы

покрыта вертикальным прямоугольником. Тогда в оставшихся частях фигуры не

поместится ни один прямоугольник 1×4.

3. Коля забыл код от велосипедного замка, который состоит из трех различных цифр.

Он совершил четыре попытки набрать код, при этом замок не открылся.

Известно, что:

1 попытка: Одна из этих цифр есть в коде, и она находится на своем месте.

2 попытка: Одна из этих цифр есть в коде, но она находится не на своем месте.

3 попытка: Две из этих цифр есть в коде, но они обе находятся не на своих местах.

4 попытка: Всех этих цифр нет в коде.

Найдите код.

Ответ. 459

Формат ответа: Число

6. Две фигуры составлены из шести одинаковых прямоугольников. Периметр фигуры

слева равен 52 см, а фигуры справа - 92 см. Найдите площадь одного прямоугольника.

Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Ответ. 56 см²

Формат ответа: Число

Решение. Обозначим длинную сторону

прямоугольника за a, а короткую - за b. Тогда

периметр левой фигуры равен 2a+6b=52 см. А

периметр правой фигуры равен 6a+4b-2b=6a+2b=92

см (6 красных сторон a плюс 4 синие стороны b и

минус 2 черные стороны b на рисунке). Разделим оба

выражения на 2, получим, что a+3b=26, 3a+b=46.

Сложив эти два равенства, получим,

4a+4b=26+46=72, то есть a+b=18.

Из равенства a+3b=26 вычтем равенство a+b=18,

получим, 2b=8, тогда b=4, а а=18-4=14.

Площадь одного прямоугольника равна a⋅b=4⋅14=56 см².

7. Из деревни в город с постоянной скоростью выехал грузовик. Когда он проехал 42 км,

из деревни по той же дороге с постоянной скоростью выехал автомобиль. Когда

автомобиль проехал 30 км, грузовик находился на расстоянии 65 км от деревни. Найдите

расстояние от деревни до города, если в город грузовик и автомобиль приехали

одновременно. Ответ выразите в километрах.

Ответ. 180 км

Формат ответа: Число

Решение. За промежуток времени, за который автомобиль проехал 30 км, грузовик

проехал 65-42=23 км. То есть расстояние между ними сократилось на 30-23=7 км за один

такой промежуток времени.

В момент, когда автомобиль выезжал из города, расстояние между автомобилем и

грузовиком 42 км, они сближаются на 7 км за один промежуток времени. Так как они

приехали в город одновременно, прошло 42:7=6 таких промежутков времени.

Так как автомобиль за один промежуток времени проезжает 30 км, а всего промежутков

6, то расстояние между городом и деревней равно 30⋅6=180 км.

8.1 Четыре человека Витя, Митя, Петя и Катя прошли тест о предпочтениях,

приведенный на картинке. Все они получили разные результаты.

Витя: Я люблю собак, у меня есть бульдог, но я не отношусь к третьему типу.

Митя: Я люблю решать задачи.

Петя: Я люблю кино.

Катя: Все хорошо плавают, кроме меня.

Все участники диалога говорят честно. Кто к какому типу относится?

Ответ. Витя - тип 1, Митя - тип 4, Петя - тип 3, Катя - тип 2.

Формат ответа: выбор из четырех ответов

Витя: тип 1, тип 2, тип 3, тип 4

Митя: тип 1, тип 2, тип 3, тип 4

Петя: тип 1, тип 2, тип 3, тип 4

Катя: тип 1, тип 2, тип 3, тип 4

Решение. Все участники получили разные результаты, значит, кто-то из них типа 2. Это

может быть только Катя, так как все хорошо плавают, кроме нее (по ее словам), а тип 2

может получить только тот, кто не умеет плавать.

Теперь поймем кто Витя. По его словам, он не тип 3, у него есть бульдог, значит, он не

тип 4, а также он не тип 2, потому что тип 2 - это Катя. Следовательно, Витя - тип 1.

Теперь поймем кто Петя. Остается только тип 3 и 4, но Петя любит кино, тогда он не

сможет попасть по стрелкам в кружок тип 4. Значит, Петя тип 3. А Митя тогда является

типом 4.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

МАТЕМАТИКА. 2024-2025 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 6 КЛАСС

1. Два арбуза, дыня и четыре нектарина стоят 1000 рублей, а арбуз, две дыни и

два нектарина - на 50 рублей дешевле. Сколько стоит набор из арбуза, дыни и

двух нектаринов? Ответ выразите в рублях.

2. Персонаж Ральф живёт в компьютерной игре, поэтому озёра в его мире имеют

форму клетчатых фигур, показанных на рисунке.

Каждое утро Ральф идёт на пробежку вдоль берега одного из двух озёр: начинает

в точке A, бежит с постоянной скоростью и заканчивает, когда вновь оказывается

в A. Известно, что озеро размером в одну клетку персонаж обежал бы за

2 минуты. На сколько минут одна пробежка Ральфа длится дольше другой?

3. По кругу расставлены шестьдесят горшков. В каждом из горшков сидит хотя

бы одна лягушка, и в любых трёх стоящих подряд горшках суммарно сидит ровно

четыре лягушки. Сколькими способами цапля Анастасия сможет выбрать два

горшка так, чтобы в них суммарно оказалось ровно три лягушки?

4. Аделина, Эвелина и Паулина писали олимпиаду по математике, где за каждую

задачу можно было получить некоторое целое неотрицательное количество

баллов. После объявления итогов выяснилось, что Аделина и Эвелина показали

одинаковый результат, а сумма их баллов больше 15. Сумма баллов всех трёх

девочек оказалась меньше 60 и в 3¹ раза больше, чем набрала Паулина. Сколько

3

баллов на олимпиаде набрала Аделина?

1

Разбор заданий школьного этапа ВсОШ по математике

для 6 класса

2024/2025 учебный год

Максимальное количество баллов - 8

Задача 1

Два арбуза, дыня и четыре нектарина стоят 1000 рублей, а арбуз, две дыни и два нектарина

- на 50 рублей дешевле. Сколько стоит набор из арбуза, дыни и двух нектаринов? Ответ

выразите в рублях.

Ответ: 650 рублей.

Решение. Из условия получаем, что арбуз, две дыни и два нектарина стоят 950 рублей.

Известно, что два арбуза, дыня и четыре нектарина стоят 1000 рублей. Складывая,

получаем, что три арбуза, три дыни и шесть нектаринов стоят 1950 рублей, делим на 3 и

выясняем, что арбуз, дыня и два нектарина стоят 650 рублей.

Задача 2

Персонаж Ральф живет в компьютерной игре, поэтому озера в его мире имеют форму

клетчатых фигур, показанных на рисунке. Каждое утро Ральф идет на пробежку вдоль

берега одного из двух озер: начинает в точке A, бежит с постоянной скоростью и

заканчивает, когда вновь оказывается в A. Известно, что озеро размером в одну клетку

персонаж обежал бы за 2 минуты. На сколько минут одна пробежка Ральфа длится дольше

другой?

Ответ: 7.

Решение. Вдоль одной клетки Ральф пробегает за 2 мин = 120 секунд, следовательно,

вдоль одной стороны клетки - за 120 : 4=30 секунд. Выясним, на сколько периметр

второго озера больше, чем первого. Наборы вертикальных отрезков в озерах совпадают, а

каждый горизонтальный отрезок в фигуре справа на 1 длиннее, чем в фигуре слева.

Поэтому периметр второй фигуры больше на 7*2=14 (у фигуры в верхней и в нижней

частях по 7 горизонтальных отрезков). Значит, на вторую пробежку Ральф потратит на

14*30 секунд, то есть на 7 минут больше.

Задача 3

По кругу расставлены шестьдесят горшков. В каждом из горшков сидит хотя бы одна

лягушка, и в любых трех стоящих подряд горшках суммарно сидит ровно четыре лягушки.

Сколькими способами цапля Анастасия сможет выбрать два горшка так, чтобы в них

суммарно оказалось ровно три лягушки?

Ответ: 800.

Решение. Если в любых трех подряд идущих горшках сидит суммарно ровно четыре

лягушки, и при этом (по условию) ни один из горшков не пустует, то единственное

возможное расположение лягушек в горшках - это расположение, при котором в каждом

третьем горшке сидит по две лягушки, а в остальных горшках сидит по одной лягушке, то

есть 112112112112…, расставленные по кругу, где числа обозначают количество лягушек в

одном горшке. Таким образом, ровно в двадцати горшках из шестидесяти сидит по две

лягушки, а в остальных сорока сидит по одной лягушке. Чтобы в двух из этих горшков

суммарно оказалось ровно три лягушки, нужно взять один горшок, в котором одна

лягушка, и один горшок, в котором две лягушки. Всего способов выбрать такие два горшка

- 20×40 = 800 способов, - это и есть ответ.

Задача 4

Аделина, Эвелина и Паулина писали олимпиаду по математике, где за каждую задачу

можно было получить некоторое целое неотрицательное количество баллов. После

объявления итогов выяснилось, что Аделина и Эвелина показали одинаковый результат, а

сумма их баллов больше 15. Сумма баллов всех трех девочек оказалась меньше 60 и в 3¹

3

раза больше, чем набрала Паулина. Сколько баллов на олимпиаде набрала Аделина?

Ответ: 14.

Решение. По условию А = Э. Посчитаем сумму всех баллов двумя способами:

2А + П = П * 10/3 < 60, 2А = П * 7/3 < 60 * 7 / 10 = 42, Х = П * 7/3 = 2А, что по условию

больше 15, а раз П, А - целые, то Х - четное, кратное 7, большее 15 и меньшее 42. Под эти

условия подходит единственное число 28 = 2А. Отсюда, А = 14.

Задача 5

В футбольном турнире принимали участие 35 команд, среди которых команды “Белка” и

“Стрелка”. Правила футбольного турнира следующие: каждая команда играет с каждой по

одному разу, в каждом матче победившая команда получает 3 очка, проигравшая - 0 очков,

а в случае ничьей обе команды получают по 1 очку. По результатам турнира команда

“Белка” набрала 100 очков, а команда “Стрелка” со всеми командами сыграла вничью. А

какая наибольшая сумма очков могла быть у команды, занявшей второе место по

результатам турнира?

Ответ: 97.

Решение: Команда “Белка”, которая набрала 100 очков, могла набрать их только одним

единственным способом - если она выиграла у тридцати трех команд и сыграла вничью с

оставшейся тридцать четвертой. Именно “Белка” и заняла первое место в турнире -

больше нее набрать никто не мог, так как больше могла набрать только команда, которая

бы у всех выиграла, но таких команд быть не могло, потому что у “Белки” не выиграл

никто. Мы знаем, что команда “Стрелка” со всеми сыграла вничью - а значит, это именно

она сыграла с “Белкой” вничью, а все остальные команды “Белке” проиграли. Это значит,

что команда, занявшая второе место, в любом случае проиграла “Белке” и сыграла вничью

со “Стрелкой”; наибольшее возможное количество очков у нее было бы, если бы у всех

остальных команд она выиграла. В этом случае она получила бы 32×3+1 = 97 очков. Это и

есть ответ.

Задача 6

По кругу стоят N человек, пронумерованных по часовой стрелке от 1 до N. Первый,

третий, пятый и так далее до конца нумерации сказали: “Мой сосед слева - рыцарь”.

Второй, четвертый, шестой и так далее до конца нумерации сказали: “Мой сосед слева -

лжец”. Чему может быть равно число N? (Соседом слева называется следующий по

часовой стрелке человек.) Выберите все возможные варианты из предложенных:

21

32

43

54

Ответ: 21, 32.

Решение. Заметим, что слева от нечетного человека стоит человек того же вида, а от

четного - противоположного. Значит первый и второй будут одного вида, а третий и

четвертый - противоположного. Аналогично можно рассуждать для четверки с третьего

до шестого человека. Значит круг выглядит как-то так: РРЛЛРРЛЛ… Посмотрим что

происходит на стыке. Если N четно, то первый и последний разных видов, значит пары

рыцарей чередуются с парами лжецов, следовательно N кратно четырем. Если N нечетно,

то первый и последний одного вида, следовательно N имеет вид 4k+1.

Задача 7

На каждом шаге к исходному числу можно прибавить единицу или удвоить его. За какое

наименьшее число шагов из числа 1 можно получить число 51?

Ответ: 8.

Решение. Пример получения за 8 шагов: 1-2-3-6-12-24-25-50-51. Покажем, что за 7 шагов

этого сделать невозможно. Для получения числа 51 последним шагом может быть только

50-51, а первый шаг не зависит от выбора операции. Предположим, что из 2 получили 50

за 5 шагов. Среди этих шагов должна присутствовать первая операция. Иначе за пять

шагов получим число 2

. Заметим, что если к числу n применяется сначала первая

⁶ = 64

операция, а затем вторая, то получим число 2n+2. Если наоборот, то 2n+1. Кроме того, в

первом случае получается число большее, чем во втором: 2n+2 > 2n+1. Значит, даже если

первая операция только одна и выполняется первой, за пять шагов получим:

2-3-6-12-24-48, число 48 меньше, чем 50.

Задача 8

Сколько существует чисел, в 23 раза больших своего наименьшего собственного делителя?

(Делитель собственный - если он больше 1, но меньше самого числа).

Ответ: 9.

Решение. Наименьший собственный делитель является простым. Числа представляются в

виде 23p, где p - простое, не превосходящее 23. Таких простых чисел 9.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

МАТЕМАТИКА. 2024-2025 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 7 КЛАСС

1. Несколько мальчиков купили в магазине по 5 пачек печенья, а экономная

девочка Таня купила меньше. В каждой пачке по 12 печений. У всех детей вместе

оказалось 396 печений. Сколько пачек печенья купила Таня?

2. Четыре числа a, b, c и d таковы, что верна пропорция 𝑎𝑎-𝑏𝑏

= 𝑎𝑎+𝑏𝑏 и ad

= 60.

𝑐𝑐-𝑑𝑑

𝑐𝑐+𝑑𝑑

Найдите произведение всех четырёх чисел.

3. Андрей, Борис и Виктор хотели позавтракать пончиками. Но оказалось, что

Андрею не хватает 50 рублей для покупки трёх пончиков, Борису - 25 рублей

на два пончика, а Виктору - 13 рублей на один пончик. Тогда они сложили свои

деньги, и выяснилось, что у них 500 рублей на всех. Сколько стоит пончик?

4. При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается, а

при повторном нажатии - гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал

на 12 различных кнопок, Коля - на 14, Петя - на 19. Изначально ни одна кнопка

не горела, а в результате загорелись все. Сколько кнопок были нажаты трижды?

5. Квадрат 7 × 7, показанный на рисунке, разрезан без остатка по линиям клеток

на фигурки вида

и

Найдите максимально возможное количество пятиклеточных фигурок,

содержащих звёздочки (одну или больше). Фигурки можно поворачивать и

переворачивать.

1

Задача 5.

Квадрат 7*7, показанный на рисунке, разрезан без остатка по линиям клеток на фигурки вида

и

. Найдите максимально возможное количество пятиклеточных

фигурок, содержащих звездочки (одну или больше). Фигурки можно поворачивать и

переворачивать.

Ответ: 8.

Решение. Площадь квадрата 7*7 равна 49. Это число не делится на 5, так что обойтись

только пятиклеточными фигурками не удастся. Так как 49-45=4 не делится на 3, то не может

быть ровно 9 пятиклеточных фигурок. Заметим, что 49=40+9, так что теоретически возможен

вариант, в котором окажется 8=40:5 пятиклеточных фигурок и 3=9:3 трехклеточных. Тогда

наибольшее количество пятиклеточных фигурок, содержащих звездочки, не может быть

больше 8. Тем не менее, существует пример, когда их ровно 8.

Задача 6.

На балу присутствует не более 60 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна

3

4

женщина). В настоящий момент танцуют

всех мужчин и

всех женщин. Сколько людей

4

5

присутствует на балу?

Ответ: 31.

3

Решение. Пусть мужчин m, а женщин g. Тогда

m =⁴

g. Откуда 15m=16g. Следовательно,

4

5

m кратно 16, а g кратно 15, то есть m=16k, g=15k. Всего людей, значит, 15k+16k=31k. Откуда

k ≤ 1. То есть k=1. Таким образом, всего людей 31.

Задача 7.

Среди трех друзей один выше всех по росту, другой старше всех, а третий - самый хитрый.

Самый высокий всегда говорит правду, самый старший всегда лжёт, а самый хитрый может

иногда говорить правду, а иногда лгать. И Петя, и Вася сказали: «Я - самый хитрый!», а

Алеша добавил: «Петя выше самого старшего из нас». Кто из ребят старше всех?

Ответ: Вася.

Решение. Самый высокий не мог сказать, что он самый хитрый. Поэтому самый высокий -

Алеша. Он сказал правду, значит, Петя - не самый старший, то есть он - самый хитрый, а

самый старший - Вася.

Задача 8.

В левой верхней клетке прямоугольной клетчатой поляны 10*12 сидят 7 жуков. За один ход

один из жуков переползает на одну клетку вправо или на одну клетку вниз. Через несколько

ходов все жуки собрались в правой нижней клетке. Каким может быть наименьшее

количество клеток, не посещенных ни одним жуком?

Ответ: 15.

Решение. Рассмотрим диагонали, идущие снизу-слева вверх-вправо. Каждую из них каждый

жук пересечет ровно один раз. Их длины: 1, 2, …, 9, 10, 10, 10, 9, …, 1, где чисел, равных 10,

3 штуки. Поэтому на них, начиная с диагонали длины 7+1, останутся не посещенными

минимум 1, 2, 3, 3, 3, 2, 1 клетки. Сумма этих чисел равна 15. Пример легко строится.

Первый жук ползет направо до конца, потом вниз до конца. Второй сначала сползает на

вторую сверху горизонталь, потом ползет вправо до предпоследней вертикали, спускается

вниз до конца, и ползет направо, и так далее. Пути жуков показаны на картинке.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

МАТЕМАТИКА. 2024-2025 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 8 КЛАСС

1. Аня нарисовала на плоскости квадрат и поделила верхнюю и нижнюю его

стороны на

9 равных частей каждую. Затем она провела

10 прямых,

соединяющих самую левую верхнюю точку с самой правой нижней, вторую

слева верхнюю точку со второй справа нижней и так далее. После этого она

поделила правую и левую стороны на 8 равных частей каждую и провела 7

горизонтальных прямых через точки деления. На сколько частей эти отрезки

поделили квадрат?

На рисунке показан пример, когда сначала она провела 6 отрезков сверху вниз,

а затем 3 горизонтальных.

2. Однажды утром 10 января Кот в сапогах обнаружил, что его вес стал на 20 %

больше, чем был до новогодних праздников. Чтобы восстановить форму, Кот в

сапогах сел на диету и вскоре обнаружил, что его вес уменьшился на 20 % по

сравнению с весом 10 января и на 224 грамма по сравнению с весом до

новогодних праздников. Сколько весил Кот в сапогах до новогодних праздников?

Ответ выразите в килограммах.

3. Из клетчатого квадрата 8 × 8 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся

фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 2 так, чтобы квадратов каждого

типа получилось поровну. Сколько клеток могло быть вырезано?

4. В кошельке лежит 1000 рублей одно-, двух-; и пятирублёвыми монетами.

Известно, что общее число монет равно 300 и что монет каких-то двух

достоинств равное количество. Найдите это количество.

1

содержание      ..     1      2      3      4      ..