содержание      ..      1       2         ..

Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2024-2025 год) - часть 1

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 3 КЛАСС

Максимальное количество баллов - 8.

Задание № 1

Дана сетка из верёвочек. Любая верё-

вочка между узелками сгорает

за

1 минуту. Какой один узелок

нужно поджечь, чтобы за 3 минуты

сгорела вся сетка? Отметьте все воз-

можные варианты.

Ответ:

Задание № 2

Сколько прямоугольников с нарисованными сторонами можно увидеть

на рисунке?

Ответ:

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 3 класс.

Задание № 3

В кофейном автомате можно купить чёрный кофе, капучино и латте.

Напитки выдаются в одинаковых стаканах с четырьмя кружками на крышке.

Чтобы различать покупки, автомат закрашивает какое-то количество кружков.

У одинаковых напитков рисунок получается одинаковый, у разных - разный.

Никита купил себе чёрный кофе, а своим друзьям - два капучино и три латте.

Под какой крышкой напиток Никиты?

Задание № 4

В семье Котовых трое детей. Все они родились весной, но в разные годы

и месяцы. Если у Кости заменить год рождения на Пашин, не меняя месяц,

то Костя всё равно останется самым младшим среди братьев. Если же у Кости

заменить год рождения на Мишин, не меняя месяц, то Костя станет самым

старшим. Определите месяц рождения каждого ребёнка.

Варианты ответа: март, апрель, май.

Ответ:

2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 3 класс.

Задание № 5

Из разноцветных палочек сложили пирамидку и поста-

вили на стол, как на рисунке. А потом сфотографиро-

вали её сверху. Какая фотография получилась?

Варианты ответа:

Ответ:

Задание № 6

Бабушкины часы исправно бьют каждый час столько раз, сколько сейчас вре-

мени (от 11 до 12). А в часах живёт ленивая кукушка. Она кукует вместе

с каждым ударом, но только если он не первый, не последний и не предпослед-

ний. Сколько раз за сутки прокукует эта кукушка?

Ответ:

3

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 3 класс.

Задание № 7

В 3Ю классе пять девочек: Аня, Белла, Вика, Глория и Даша. Они решают,

кто пойдёт на каток. Вика всегда ходит обязательно с Дашей (но Даша может

пойти на каток без Вики), Белла всегда ходит на каток со своими двумя подру-

гами из класса. Либо Даша, либо Глория (но не обе вместе) всегда ходят

на каток. Белла и Вика терпеть не могут друг друга и никуда не ходят вместе.

Если на каток идёт Глория, то идёт и Вика. Даша всегда зовёт с собой Беллу.

Кто в итоге пошёл на каток?

Ответ:

Задание № 8

На картинке изображён один и тот же кубик с двух ракурсов так, что видны

цвета его пяти граней. Шестая грань - белая. Василиса сделала необычную

развёртку этого кубика и раскрасила две грани. Определите цвета остальных

кусочков этой развёртки.

Ответ:

4

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 3 КЛАСС

ОТВЕТЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ

Максимальное количество баллов - 8

Задание № 1

Дана сетка из верёвочек. Любая верё-

вочка между узелками сгорает

за

1 минуту. Какой один узелок

нужно поджечь, чтобы за 3 минуты

сгорела вся сетка? Отметьте все воз-

можные варианты.

Ответ: 4, 8.

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Заметим, что в конструкции есть цикл

БГЕЗДЛ из шести узелков. Из любого узелка этого цикла до «противополож-

ного» (например, из Б до З) огонёк сможет добраться за 3 минуты. Значит, если

выбранный узелок не в этом цикле, то потребуется не менее 4 минут, так как

ещё нужно добраться до самого цикла. Осталось выбрать среди узелков цикла.

Из написанных ранее рассуждений следует, что нельзя выбирать узелок,

напротив которого узелок с дополнительными ответвлениями. Значит, не под-

ходят Б, Е, Д и Л. Осталось два «кандидата»: Г и З. Легко проверяется, что

подходят оба.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 3 класс. Критерии и ответы

Задание № 2

Сколько прямоугольников с нарисованными сторонами можно увидеть

на рисунке?

Ответ: 9

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Для начала приведём несколько утверждений:

1. Если взять прямоугольник и повернуть его на 90 градусов, то диагонали но-

вого и старого прямоугольников будут перпендикулярны (между ними

будет прямой угол):

2. Фигура с четырьмя прямыми углами - прямоугольник. В частности,

квадрат - частный случай прямоугольника.

2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 3 класс. Критерии и ответы

Заметим, что, используя факт 1,

на рисунке можно увидеть несколько прямоугольных сеток. Одна из

них - исходная, клетчатая, а две другие такие:

Стоит также помнить, что в ситуации, когда прямоугольник делится прямой:

3

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 3 класс. Критерии и ответы

на получившемся изображении можно разглядеть три прямоугольника. Таким

образом, получаем 9 прямоугольников.

4

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 3 класс. Критерии и ответы

Задание № 3

В кофейном автомате можно купить чёрный кофе, капучино и латте.

Напитки выдаются в одинаковых стаканах с четырьмя кружками на крышке.

Чтобы различать покупки, автомат закрашивает какое-то количество кружков.

У одинаковых напитков рисунок получается одинаковый, у разных - разный.

Никита купил себе чёрный кофе, а своим друзьям - два капучино и три латте.

Под какой крышкой напиток Никиты?

Ответ:

Точное совпадение ответа - 1 балл

5

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 3 класс. Критерии и ответы

Задание № 5

Из разноцветных палочек сложили пирамидку и поста-

вили на стол, как на рисунке. А потом сфотографиро-

вали её сверху. Какая фотография получилась?

Варианты ответа:

Ответ: Б

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Давайте заметим, что если на исходной пирамидке палочки имеют общую

точку, то и на фото они должны иметь общую точку, и наоборот.

Основание А не подходит, так как жёлтые палочки не имеют общих точек.

Основание Г также не подходит, так как на фото зелёные палочки имеют

общую точку, а у пирамидки - нет. Основание В не подходит, так как напро-

тив вертикальной красной палочки должна находиться горизонтальная па-

лочка. Или основание В не подходит ещё и потому, что в пирамидке есть цикл

красный-красный-фиолетовый-зелёный, а на фото В такого нет. Пункты Б и Д

зеркально симметричны. Осталось выбрать из них верное фото. Ответ на за-

дачу - пункт Б.

7

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 3 класс. Критерии и ответы

Задание № 8

На картинке изображён один и тот же кубик с двух ракурсов так, что видны

цвета его пяти граней. Шестая грань - белая. Василиса сделала необычную

развёртку этого кубика и раскрасила две грани. Определите цвета остальных

кусочков этой развёртки.

Ответ:

1

Жёлтый

2

Жёлтый

3

Фиолетовый

4

Белый

5

Фиолетовый

6

Голубой

7

Голубой

Точное совпадение ответов - 1 балл

10

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 3 класс. Критерии и ответы

Решение.

На рисунке красная грань противоположна невидимой грани, которая по усло-

вию белая. Значит, кусочек № 4 - белый.

Расположение граней следующее: зелёная - красная - жёлтая по часовой

стрелке, значит, кусочек №1 - жёлтый. Фрагмент №2 - кусочек этой же

грани, то есть 1 и 2 - два жёлтых фрагмента.

Если повернуть первый кубик верхней гранью вверх, то получим такую кар-

тину:

Понятно, что цвета на боковых гранях расположены по кругу: зелёный, жёл-

тый, фиолетовый, синий. То есть, напротив зелёного - фиолетовый, напротив

жёлтого - синий. Значит № 3 и № 5 - фиолетовый, а № 6 и № 7 - синий.

11

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 4 КЛАСС

Максимальное количество баллов - 8.

Задание № 1

В волшебной лавке продаются волшеб-

ные кубики, шары и конусы.

Все фигурки одного типа стоят одина-

ково, а разные - возможно, по-раз-

ному. Волшебник собрал несколько

наборов и расположил их на витрине в

порядке возрастания стоимости. Потом

он собрал ещё один набор. Куда его сле-

дует положить на витрине, чтобы все

наборы по-прежнему лежали по возрас-

танию стоимости?

Ответ:

Задание № 2

Петя играет в игру: на экране есть клетчатый квадрат размером 4 × 4.

Каждая клетка окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет. За один ход можно

поменять местами либо два столбца, либо две строки. Например, из раскра-

шенного в шахматном порядке квадрата можно за один ход получить такие

квадраты, как на рисунке:

В этот раз у Пети на экране квадрат, раскрашенный, как показано на рисунке.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 4 класс

Какие квадраты сможет получить Петя за один или несколько ходов?

Ответ:

Задание № 3

Кирилл сложил из нескольких одинаковых красных

кубиков куб побольше. Например, на рисунке из ку-

биков выложен куб со стороной в

2 кубика.

Затем Кирилл взял точно такие же по размеру ма-

ленькие

зелёные

кубики

и обложил ими в один слой весь красный куб так,

что получился куб, зелёный снаружи. Сколько для

этого ему понадобилось зелёных кубиков, если

красный куб выложен из 125 маленьких?

Ответ:

Задание № 4

Филя нашёл старую таблицу расстояний (по дорогам) между сёлами,

но названия всех сёл, кроме Ох, оказались стёрты. Филя нарисовал схематиче-

скую (то есть если на рисунке одна дорога длиннее другой, то на самом деле

может быть не так) карту дорог.

Установите соответствие между названиями сёл и их номерами, пользуясь таб-

лицей. Если клетка пуста, это значит, что прямой дороги между сёлами нет.

2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 4 класс

Ответ:

Задание № 5

В одной семье детей зовут Саша, Женя и Валя. Все они родились в один день,

но в три разных года. Известно, что Саша старше своего брата на 10 лет,

а возраст одной из девочек равен сумме возрастов её брата и сестры.

Также известно, что сумма возрастов всех детей равна 40 годам, а Женя

не младше всех.

Как зовут мальчика?

Ответ:

Сколько лет Саше?

Ответ:

Сколько лет Жене?

Ответ:

Сколько лет Вале?

Ответ:

3

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 4 класс

Задание № 6

В автомате продаются шоколадки трёх видов - А, Б и В. Макс хочет купить

несколько шоколадок, чтобы из некоторых из них (не ломая) сложить квадрат

3 × 3. Он видит, что в автомате лежит 1 шоколадка вида А, 3 - вида Б

и 7 - вида В. Шоколадки выдаются случайным образом, выбрать конкретные

нельзя.

Какую минимальную сумму стоит приготовить Максу, чтобы наверняка спра-

виться с задачей, если одна шоколадка стоит 100 руб? Ответ выразите

в рублях.

Ответ:

Задание № 7

У Васиного дедушки на стене висят четверо часов. Вася знает, что ни одни

из них не показывают точное время: какие-то спешат на полчаса, а какие-то

отстают на два часа. А ещё двое тоже врут, но как именно, Вася не помнит.

Однажды Вася пришёл в гости к дедушке и увидел, что часы показывают

время так, как изображено на рисунке.

Во сколько Вася пришёл к дедушке? Ответ запишите в формате ЧЧ:ММ.

Ответ:

Задание № 8

В группе из 10 рыцарей и лжецов все разного роста. Каждый заявил:

«Среди нас найдутся 2 лжеца выше меня и 2 лжеца ниже меня». Сколько среди

этих 10 человек может быть лжецов? Укажите все варианты.

Ответ:

4

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 4 КЛАСС

ОТВЕТЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ

Максимальное количество баллов - 8

Задание № 1

В волшебной лавке продаются

волшебные кубики, шары и ко-

нусы.

Все фигурки одного типа стоят

одинаково, а разные - возможно,

по-разному. Волшебник собрал

несколько наборов и расположил

их на витрине в порядке возраста-

ния стоимости. Потом он собрал

ещё один набор. Куда его следует

положить на витрине, чтобы все

наборы по-прежнему лежали по

возрастанию стоимости?

Ответ:

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Заметим, что в первых двух мешках совпадают шарик и кубик, а третья фигура

другая. Значит, кубик дороже шарика. Второй и третий мешки содержат шарик

и две одинаковые фигуры. Значит, конус дороже кубика. Новый мешок

можно получить, заменив во втором мешке кубик на конус. Значит, он дороже

второго мешка. Аналогично, новый мешок можно получить, заменив в третьем

мешке конус на кубик, получится более дешевый набор. Таким образом, но-

вый набор дороже второго и дешевле третьего.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 4 класс. Критерии и ответы

Задание № 2

Петя играет в игру: на экране есть клетчатый квадрат размером 4 × 4.

Каждая клетка окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет. За один ход можно

поменять местами либо два столбца, либо две строки. Например, из раскра-

шенного в шахматном порядке квадрата можно за один ход получить такие

квадраты, как на рисунке:

В этот раз у Пети на экране квадрат, раскрашенный, как показано на рисунке.

Какие квадраты сможет получить Петя за один или несколько ходов?

Ответ:

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Заметим, что указанными перемещениями нельзя поменять количество чёр-

ных квадратов в строке или столбце. Их количество всегда неизменно. Изна-

чально в строках количество черных квадратов 3, 2, 1, 2. В столбцах: 2, 3, 1, 2.

Отсюда сразу видно, что не подходят варианты А (везде количество 2),

В (количество черных квадратов 9, а было 8), Д (чёрных квадратов 7, а изна-

чально было 8).

Варианты Б и Г получить можно.

Например:

Б: поменять 1 и 2 столбцы, 3 и 4 столбцы, 1 и 3 строки, 2 и 4 строки.

Г: поменять 2 и 4 столбцы, 2 и 3 строки, 2 и 4 строки.

2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 4 класс. Критерии и ответы

Задание № 3

Кирилл сложил из нескольких одинаковых красных кубиков куб побольше.

Например, на рисунке из кубиков выложен куб со стороной в 2 кубика.

Затем Кирилл взял точно такие же по размеру маленькие зелёные кубики

и обложил ими в один слой весь красный куб так, что получился куб, зелёный

снаружи. Сколько для этого ему понадобилось зе-

лёных кубиков, если красный куб выложен из 125

маленьких?

Ответ: 218

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Из 125 кубиков можно выложить куб со стороной 5

кубиков (125 = 5 · 5 · 5).

После того, как имеющийся куб обложили слоем в один кубик, получился куб

со стороной 7. Значит, потраченное количество зелёных кубиков:

7 · 7 · 7 - 125 = 343 - 125 = 218.

Можно посчитать другим способом. На каждую грань нового кубика потра-

тили 25 кубиков (чтобы просто повторить грань маленького кубика).

Всего граней 6, то есть 25 · 6 = 150. Но ещё 12 рёбер - на них потрачено

по 5 кубиков, всего 5 · 12 = 60 и 8 угловых кубиков. Итого:

150 + 60 + 8 = 218 кубиков.

3

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 4 класс. Критерии и ответы

Задание № 4

Филя нашёл старую таблицу расстояний (по дорогам) между сёлами,

но названия всех сёл, кроме Ох, оказались стёрты. Филя нарисовал схематиче-

скую (то есть если на рисунке одна дорога длиннее другой, то на самом деле

может быть не так) карту дорог.

Установите соответствие между названиями сёл и их номерами, пользуясь таб-

лицей. Если клетка пуста, это значит, что прямой дороги между сёлами нет.

Ответ:

№ 1

Ах

№ 2

Их

№ 3

Эх

№ 4

Ух

№ 5

Юх

Точное совпадение ответа - 1 балл

4

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 4 класс. Критерии и ответы

этого младшего ребенка зовут не Саша и не Женя, а значит младшему маль-

чику 5 лет и его зовут Валя. Тогда девочке Саше 15 лет. Отсюда следует, что

старшую девочку зовут Женя, ей 20 лет (как было установлено ранее).

Задание № 6

В автомате продаются шоколадки трёх видов - А, Б и В. Макс хочет купить

несколько шоколадок, чтобы из некоторых из них (не ломая) сложить квадрат

3 × 3. Он видит, что в автомате лежит 1 шоколадка вида А, 3 - вида Б

и 7 - вида В. Шоколадки выдаются случайным образом, выбрать конкретные

нельзя.

Какую минимальную сумму стоит приготовить Максу, чтобы наверняка спра-

виться с задачей, если одна шоколадка стоит 100 руб? Ответ выразите

в рублях.

Ответ: 500

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Составить квадрат 3 × 3 можно тремя способами:

1) из трех фигурок вида В;

2) из трех разных фигурок - А, Б и В;

3) трех фигурок вида Б и одной фигурки вида В.

Докажем, что 4 фигурок может не хватить, а пяти всегда достаточно.

Если вытащить 1 квадратик (фигура А) и 3 короткие полоски (фигуры Б),

то собрать квадрат 3 × 3 не получится. Действительно, в любых трёх из этих

фигур в сумме 8 или меньше клеток, а во всех 4 фигурах - 10 клеток,

в то время как в квадрате 3x3 - девять клеток.

6

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 4 класс. Критерии и ответы

Если же вытащить 5 фигурок, то там обязательно будет длинная полоска (фи-

гура вида В), поскольку всех остальных в сумме только 4. Рассмотрим, какие

фигуры будут среди этих четырёх - либо там есть ещё две вида В

(и квадрат 3 × 3 складывается), либо только одна, но тогда среди остальных

трёх либо три вида Б и квадрат составляется третьим способом, либо есть фи-

гура вида А и квадрат составляется первым способом.

Задание № 7

У Васиного дедушки на стене висят четверо часов. Вася знает, что ни одни

из них не показывают точное время: какие-то спешат на полчаса, а какие-то

отстают на два часа. А ещё двое тоже врут, но как именно, Вася не помнит.

Однажды Вася пришёл в гости к дедушке и увидел, что часы показывают

время так, как изображено на рисунке.

Во сколько Вася пришёл к дедушке? Ответ запишите в формате ЧЧ:ММ.

Ответ: 06:45 или 18:45

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Разница в показаниях часов, о которых Вася знает, равна 2.5 часа. То есть, ми-

нутные стрелки у них должны быть точно противоположно направлены. Такая

пара часов только одна: вторые и четвёртые. Проверяем: действительно раз-

ница между их показаниями как раз 2,5 часа. Те, что показывают большее

время - спешат на полчаса. Значит, сейчас не 7:15, а 6:45.

Задание № 8

В группе из 10 рыцарей и лжецов все разного роста. Каждый заявил:

«Среди нас найдутся 2 лжеца выше меня и 2 лжеца ниже меня». Сколько среди

этих 10 человек может быть лжецов? Укажите все варианты.

Ответ: 4

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

7

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 5 КЛАСС

Максимальное количество баллов - 8.

Задание № 1

В магазине проводится акция: каждая четвертая шоколадка стоит 70 рублей. Маша

купила 10 шоколадок и заплатила 1020 рублей. Сколько рублей нужно было бы

заплатить Маше, если она решит купить одну шоколадку?

Ответ:

Задание № 2

Незнайка хочет закрасить в фигуре, изображенной на рисунке, четыре клетки, об-

разующие квадратик 2 × 2. Сколькими способами он может это сделать?

Ответ:

Задание № 3

В аудитории, где проходила олимпиада, ряды расположены полукругом. В первом

ряду 10 мест, во втором - 11, в третьем - 12 и т.д. В последнем - 25 мест. Пришед-

ших на олимпиаду школьников рассадили так, что никакие два участника не сидели

на соседних местах в одном ряду. Какое максимальное количество школьников

могло присутствовать на олимпиаде?

Ответ:

Задание № 4

Пекарь испек большой прямоугольный пирог и собирается его разрезать. Он может

делать разрез вдоль любой из сторон от одного края пирога до другого. Какое

наименьшее число разрезов он должен сделать, чтобы получить ровно 18 частей?

Ответ:

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 5 класс.

Задание № 5

Путешественник, прогуливаясь по необитаемому острову, встретил там 5 абориге-

нов. Каждый абориген на острове либо рыцарь, который всегда говорит правду,

либо лжец, который всегда лжет. Каждый из аборигенов сказал: «По крайней мере

один из нас - рыцарь». Сколько рыцарей могло быть среди этих аборигенов?

Ответ:

Задание № 6

Лист бумаги разделён на квадраты, в которых записаны цифры от 1 до 6, как пока-

зано на рисунке, причём каждый квадрат пронумерован одной и той же цифрой с

лицевой и тыльной стороны. Листок складывается по пунктирным линиям. Таким

образом получается стопка из 6 квадратов, где каждый квадрат имеет номер. Какое

число НЕ может быть на нижнем квадрате, если число 1 находится на верхнем квад-

рате?

Ответ:

Задание № 7

Фишка двигается по прямоугольной таблице 2 × 3, начиная с произвольной клетки

и переходя в соседнюю по стороне клетку. Каждая клетка, в которой побывала

фишка помечается числом от 1 до 6 в порядке посещения по возрастанию номера.

Клетку можно посетить ровно один раз. Для каждой клетки Дима выписал сумму

чисел в клетках, граничащих с ней по стороне. Костя сложил все числа, выписан-

ные Димой. Какую наибольшую сумму мог получить Костя?

Ответ:

Задание № 8

У куба три грани покрашены в красный цвет, три - в белый. Незнайка написал на

каждой грани куба какое-то число. Знайка для каждого числа на красной грани по-

считал сумму чисел на четырёх соседних с ней гранях и получил 33, 36 и 39.

Найдите сумму всех чисел, написанных Незнайкой.

Ответ:

2

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 5 КЛАСС

ОТВЕТЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ

Максимальное количество баллов - 8

Задание № 1

В магазине проводится акция: каждая четвертая шоколадка стоит 70 рублей. Маша

купила 10 шоколадок и заплатила 1020 рублей. Сколько рублей нужно было бы

заплатить Маше, если она решит купить одну шоколадку?

Ответ: 110

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Из условия следует, что 4-я и 8-я шоколадка стоили по 70 рублей. Тогда оставшиеся

восемь шоколадок стоили вместе 1020 -2 · 70 = 880 рублей. Значит одна шоколадка

стоит 880 : 8 = 110 рублей.

Задание № 2

Незнайка хочет закрасить в фигуре, изображенной на рисунке, четыре клетки, об-

разующие квадратик 2 × 2. Сколькими способами он может это сделать?

Ответ: 14

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Квадратик из 4 клеток однозначно определяется его левой верхней клеткой. Напри-

мер, самый левый верхний квадратик однозначно определяется клеткой, отмечен-

ной цифрой 1.

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 5 класс. Критерии и ответы

Пронумеруем каждую клетку, которая определяет левую верхнюю клетку квадрата

2 × 2.

Всего получилось 14 клеток, значит отметить можно 14 квадратов.

Задание № 3

В аудитории, где проходила олимпиада, ряды расположены полукругом. В первом

ряду 10 мест, во втором - 11, в третьем - 12 и т.д. В последнем - 25 мест. Пришед-

ших на олимпиаду школьников рассадили так, что никакие два участника не сидели

на соседних местах в одном ряду. Какое максимальное количество школьников

могло присутствовать на олимпиаде?

Ответ: 144

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Так как можно разбить места в ряду на пары 1-2, 3-4, ..., то в любом ряду с четным

числом участников мы можем посадить не более половины, а в любом ряду с не-

четным числом участников (n) мы можем посадить не более (n + 1)/2 участников.

Тогда всего можно посадить не более чем 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 9 + 10 + 10

+ 11 + 11 + 12 + 12 + 13 = 5 + 13 + 2 · (6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) = 144 участника.

Заметим, что если сажать каждого участника на места с нечетным номером в ряду,

то можно посадить ровно 144 человека.

2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 5 класс. Критерии и ответы

Задание № 6

Лист бумаги разделён на квадраты, в которых записаны цифры от 1 до 6, как пока-

зано на рисунке, причём каждый квадрат пронумерован одной и той же цифрой с

лицевой и тыльной стороны. Листок складывается по пунктирным линиям. Таким

образом получается стопка из 6 квадратов, где каждый квадрат имеет номер. Какое

число НЕ может быть на нижнем квадрате, если число 1 находится на верхнем квад-

рате?

Ответ: 5

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Обозначим линии a, b, c как на рисунке.

1. Для того, чтобы получить число 2 на нижнем квадрате, сгибаем вначале по линии

b от себя, затем по линии c от себя и, наконец, по линии a от себя.

2. Для того, чтобы получить число 3 на нижнем квадрате сгибаем по b на себя, по

c от себя, по a от себя.

3. Для того, чтобы получить число 4 на нижнем квадрате сгибаем по b от себя, по

a от себя, по c от себя.

4

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 5 класс. Критерии и ответы

4. Для того, чтобы получить число 6 на нижнем квадрате сгибаем по c от себя, по b

на себя, по a от себя.

5. Докажем, что 5 не может оказаться нижнем квадрате двумя способами.

1 способ. Предположим, что число 5 оказалось на нижнем квадрате. Тогда квадраты

3 и 6 будет находиться где-то в середине стопки между квадратом 1 и квадратом 5.

Их можно вырезать из стопки по границам соседних сторон 2-3, 3-6, 6-5 и при этом

ничего не изменится. Поэтому просто обрежем квадраты 3 и 6.

Получаем, если можно сложить лист бумаги 2 × 3 указанным образом, то можно

сложить и лист 2 × 2 с числами 1, 2, 4, 5 (см. рисунок).

Покрасим лицевую сторону квадрата 1 в синий цвет, а его тыльную сторону в крас-

ный. Пусть мы смогли сложить квадрат 2 × 2 так, что сверху находится синяя еди-

ница. Тогда складывать лист можно только одним из двух способов, приведенных

на рисунках.

5

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 5 класс. Критерии и ответы

На верхнем рисунке первый изгиб делается по горизонтали, а второй по вертикали.

На рисунке внизу наоборот. Так как мы зафиксировали цвет квадрата с единицей,

то изгибы можно делать только от себя. В первом случае получаем 2, а во втором 4

снизу стопки. То есть в обоих случаях получить 5 на тыльной стороне не удастся.

Совершенно аналогично проводятся рассуждения, если сверху находится красная

единица (см. рисунок).

2 способ. Предположим, что число 5 оказалось на нижнем квадрате. Пусть единица

на верхнем квадрате видна для нас своей лицевой стороной (случай, когда единица

видна тыльной стороной рассматривается аналогично). Рассмотрим квадраты с но-

мерами 2 и 4.

Случай 1. Квадрат 2 находится выше квадрата 4. При этом квадрат 1 граничит с

квадратом 4 по нижней границе, а с квадратом 2 - по правой границе (рисунок

слева). В таком случае, квадрат 5 граничит с квадратом 2 по стороне, отмеченной

красным цветом. Если перегиб по границе квадратов 2 и 5 был "на себя" то квадрат

5 находится между квадратами 1 и 2 (рисунок в центре), если "от себя" между квад-

ратами 2 и 4 (рисунок справа). Следовательно, квадрат 5 не находится внизу

стопки. Противоречие.

Случай 2. Квадрат 2 находится выше квадрата 4. При этом квадрат 1 граничит с

квадратом 4 по нижней границе, а с квадратом 2 - по правой границе (рисунок

6

содержание      ..      1       2         ..

//////////////////////////////////////////