содержание      ..      1      2      3      ..

Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2024-2025 год) - часть 2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 5 класс. Критерии и ответы

слева). В таком случае, квадрат 5 граничит с квадратом 4 по стороне, отмеченной

красным цветом. Если перегиб по границе квадратов 4 и 5 был "на себя" то квадрат

5 находится между квадратами 1 и 4 (рисунок в центре), если "от себя" между квад-

ратами 4 и 2 (рисунок справа). Следовательно, квадрат 5 не находится внизу

стопки. Противоречие.

Задание № 7

Фишка двигается по прямоугольной таблице 2 × 3, начиная с произвольной клетки

и переходя в соседнюю по стороне клетку. Каждая клетка, в которой побывала

фишка помечается числом от 1 до 6 в порядке посещения по возрастанию номера.

Клетку можно посетить ровно один раз. Для каждой клетки Дима выписал сумму

чисел в клетках, граничащих с ней по стороне. Костя сложил все числа, выписан-

ные Димой. Какую наибольшую сумму мог получить Костя?

Ответ: 51

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Обозначим итоговые числа в таблице a, b, c, d, e, f как на рисунке. Тогда, Дима

выписал числа b + c, a + d, a + d + e, b + c + f, c + f, e + d. Их сумма равна 2(a + b +

c + d + e + f) + c + d = 2 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) + c + d = 42 + c + d.

7

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 5 класс. Критерии и ответы

Заметим, что без учёта симметричных случаев, существует всего 4 вида обхода

доски. Действительно, начало обхода может быть либо в углу, либо в среднем ряду.

Случай 1. Начало обхода в углу доски. Без ограничения общности будем считать,

что в левом верхнем углу.

Случай 1а. Если клетка 2 в правом верхнем углу, то клетка 3 посещается одно-

значно (рисунки 1 и 2). Если после клетки 3 идём вниз, то оставшиеся клетки опре-

деляются однозначно (рисунок 1). Если же после клетки 3 идём влево, то и здесь

оставшиеся клетки определяются однозначно (рисунок 2).

Случай 2а. Если из клетки 1 идём вниз, то далее обязательно вниз ещё раз. Дей-

ствительно, если из клетки 2 пойти вправо, то либо верхняя, либо две нижние

клетки останутся не пройденными. После клетки 3 оставшиеся клетки определя-

ются однозначно (рисунок 3).

Случай 2. Начало обхода в среднем ряду. Без ограничения общности будем считать,

что клетка 1 - левая во втором ряду. Если из клетки 1 пойти вправо, то либо две

клетки в первом ряду, либо две клетки в третьем ряду останутся не пройденными.

Поэтому из клетки 1 нужно идти вверх или вниз. Без ограничения общности пойдём

вверх. Тогда, оставшиеся клетки определяются однозначно (рисунок 4).

Для них c+d принимает значения 1+4, 3+6, 2+5, 3+4. Наибольшее из них 3+6 = 9.

Поэтому, ответ в задаче 42 + 9 = 51.

8

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 5 класс. Критерии и ответы

Задание № 8

У куба три грани покрашены в красный цвет, три - в белый. Незнайка написал на

каждой грани куба какое-то число. Знайка для каждого числа на красной грани по-

считал сумму чисел на четырёх соседних с ней гранях и получил 33, 36 и 39.

Найдите сумму всех чисел, написанных Незнайкой.

Ответ: 54

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Возможные два случая расположения красных граней (остальные получаются по-

воротом кубика):

1) Три красные грани имеют общую вершину. В этом случае каждая грань куба

граничит с двумя красными и двумя белыми гранями. Тогда, в сумме 33 + 36 + 39

= 108, каждое число, записанное на грани куба будет посчитано дважды. И сумма

всех чисел, написанных Незнайкой будет равна 108/2 = 54.

2) Три красные грани не имеют общей вершины. Заметим, что в этом случае

найдется пара красных граней, которые не являются соседними. Тогда для них

суммы на соседних гранях будут одинаковыми, так как это суммы одних и тех же

чисел. Однако, по условию все три суммы, полученные Незнайкой различны. Зна-

чит этот случай невозможен.

9

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 6 КЛАСС

Максимальное количество баллов - 8.

Задание № 1

Даны числа 1, 4, 5, 6, 9. Припишите к каждому из них слева одну из цифр 1, 2,

4, 6, 8 так, чтобы каждое число стало квадратом.

___ 1

___ 4

___ 5

___ 6

___ 9

Задание № 2

На плоскости нарисовали два произвольных непересекающихся треугольника и

луч. Сколько общих точек могло образоваться? Выберите все верные варианты

ответа: 0, 2, 3, 5, 6

Ответ:

Задание № 3

В апреле Аня каждый день совершала прогулку. В те 16 дней, когда согласно

прогнозу ожидался дождь, она брала с собой зонтик, в остальные дни - не

брала. За 30 апрельских дней прогноз погоды оправдался ровно 20 раз. К

счастью, в те дни, когда шел дождь, у Ани всегда был с собой зонтик. Сколько

дней в апреле шёл дождь?

Ответ:

Задание № 4

Фигура на рисунке состоит из двух одинаковых квадратов, наложенных друг на

друга. Общая часть также представляет собой квадрат, который окрашен серым

цветом. Площадь каждого большого квадрата 144 см², а периметр образованной

наложением фигуры равен 68 см. Чему равна сторона закрашенного квадрата?

Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ:

1

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 6 КЛАСС

ОТВЕТЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ

Максимальное количество баллов - 8.

1. Даны числа 1, 4, 5, 6, 9. Припишите к каждому из них слева одну из цифр 1,

2, 4, 6, 8 так, чтобы каждое число стало квадратом.

___ 1

___ 4

___ 5

___ 6

___ 9

Ответ: 16, 25, 49, 64, 81.

Решение.

Перечислим все двузначные числа, являющиеся полными квадратами: 16, 25,

36, 49, 64, 81. Из них заканчиваются на цифры 1, 4, 5, 9: 81, 64, 25, 49. Заметим,

что цифры 3 у нас нет, поэтому оставшееся число может быть только числом

16.

2. На плоскости нарисовали два произвольных непересекающихся треугольника

и луч. Сколько общих точек могло образоваться? Выберите все верные

варианты ответа: 0, 2, 3, 5, 6

Ответ: 0, 2, 3.

Решение.

Луч может пересекать каждый треугольник максимум в двух точках (см. также

замечание). Таким образом общее число точек пересечения не может быть

больше

4. Остальные варианты возможного расположения луча и двух

треугольников с количеством точек пересечения от 0 до 4 представлены на

рисунке.

Замечание. Луч может пересекаться с треугольником и в бесконечном числе

точке, если, например, он содержит сторону треугольника (или часть стороны),

но такого варианта ответа для выбора у нас нет.

1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 6 класс. Критерии и ответы

3. В апреле Аня каждый день совершала прогулку. В те 16 дней, когда согласно

прогнозу ожидался дождь, она брала с собой зонтик, в остальные дни - не

брала. За 30 апрельских дней прогноз погоды оправдался ровно 20 раз. К

счастью, в те дни, когда шел дождь, у Ани всегда был с собой зонтик. Сколько

дней в апреле шёл дождь?

Ответ: 6.

Решение.

Будем называть день, в который не было дождя «бездождливым». По прогнозу

«бездождливых» дней было 30 - 16 = 14. В каждый из них прогноз оправдался,

иначе бы Аня оказалась в дождь без зонтика. Тогда прогноз дождя оправдался в

те 20 - 14 = 6 дней, в которые ожидался дождь.

4. Фигура на рисунке состоит из двух одинаковых квадратов, наложенных друг

на друга. Общая часть также представляет собой квадрат, который окрашен

серым цветом. Площадь каждого большого квадрата 144 см², а периметр

образованной наложением фигуры равен

68 см. Чему равна сторона

закрашенного квадрата? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 7.

Решение.

Так как площадь квадрата со стороной a равна a² и 12² = 144, то сторона

большого квадрата равна 12. Периметр, фигуры, образованной наложением,

равен сумме четырёх зелёных сторон - сторон большого квадрата и четырёх

красных отрезков.

Тогда красный отрезок равен (68 - 4 · 12) : 4 = 5. Сторона серого квадрата равна

разности длин зелёного и красного отрезков: 12 - 5 = 7.

2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 6 класс. Критерии и ответы

Решение.

Пусть n ⸻ количество пиратов. Тогда всего у пиратов было 97n монет. Если

убрать долю капитана, то 97n - 137 = 89(n - 1). Получается 8n = 48 и n = 6, а

всего было 6 · 97 = 582 монеты. Капитан получил 137 монет, и еще четверо

хотя бы по одной монете, остается 582-137-4 = 441 монеты максимально мог

получить один из пиратов.

8. Из 343 единичных кубиков сложили куб размером 7×7×7 и покрасили его

грани. После этого убрали те единичные кубики, у которых было по

3

покрашенных грани, и у получившейся фигуры докрасили все видимые грани.

Потом эту процедуру повторили ещё дважды. Из скольких единичных кубиков

состоит оставшаяся фигура?

Ответ: 263.

Решение.

Изначально 3 грани были окрашены только у угловых кубиков, их 8. На втором

шаге три грани окрашены у каждого из трёх кубиков, граничащих с угловыми

т.е. у 3 · 8 = 24 и, наконец, на третьем шаге добавится ещё по 6 кубиков со

стороны каждой из вершин, т.е. 6 · 8 = 48.

Всего останется 343 - 8 - 24 - 48 = 263 кубика останется. На рисунках ниже

показано, какие кубики были удалены на каждом шаге, на примере одной из

вершин куба.

4

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 7 КЛАСС

Максимальное количество баллов - 8.

1. Замените буквы в дробях на числа от 1 до 5 так, чтобы значение каждой

дроби было целым числом. Каждое число можно использовать только один раз.

8

9

10

6

7

A

B C

D

E

Постройте соответствие.

• Вместо A надо поставить

• число 1.

• Вместо B надо поставить

• число 2.

• Вместо C надо поставить

• число 3.

• Вместо D надо поставить

• число 4.

• Вместо E надо поставить

• число 5.

2. У Лёни есть несколько пятирублёвых и несколько десятирублёвых монет. Он

хочет купить как можно больше пицц в школьной столовой. После долгих

вычислений Лёня заметил, что с помощью всех своих пятирублёвых монет

и ещё 40 рублей он может купить ровно 4 пиццы без сдачи, а с помощью всех

своих десятирублёвых монет и ещё 50 рублей он может купить ровно 5 пицц

без сдачи. При этом у Лёни хватает денег на 6 пицц без сдачи. Сколько рублей

стоит одна пицца?

3. Друзья Алексей, Василий и Сергей смотрели матч по мини-футболу. После

окончания матча они сказали следующее.

• Алексей: «Первая команда забила 17 голов. А вторая - больше 14».

• Василий: «Первая команда забила больше 18 голов. А вторая - не больше 14».

• Сергей: «Первая команда забила меньше 20 голов. А вторая - ровно 14».

Оказалось, что ровно один из друзей оба раза ошибся, а двое других оба раза

сказали правду. Сколько голов забила каждая команда?

1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 7 класс

4. Ваня придумал способ шифровать семизначные числа, состоящие из всех

цифр от 1 до 7. Он придумал правило: для каждой цифры числа он записывает,

сколько цифр справа от неё меньше, чем она сама, а затем убирает само число.

Например, если бы у Вани было число 4567123, то он бы его зашифровал как

3333000.

Какое число было зашифровано с помощью последовательности цифр 4303200?

5. На рисунке изображены два квадрата. Сколько

градусов составляет отмеченный угол?

6. Алиса нарисовала на квадратном листе бумаги несколько горизонтальных и

несколько вертикальных линий красного цвета, а Боря нарисовал на том же

листе несколько горизонтальных и несколько вертикальных линий синего цвета

(каждая из линий параллельна двум сторонам листа и пересекает две его другие

стороны; каждый из ребят нарисовал не менее 1 вертикальной и не менее 1

горизонтальной прямой).

Известно, что если разрезать лист по красным линиям, то получится

39

кусочков, а если разрезать и по красным, ипосиним линиям, то получится 95

кусочков. Сколько кусочков получится, если разрезать лист бумаги только по

синим линиям?

7. Из 216 синих кубиков сложили большой куб 6×6×6. Затем его поверхность

покрасили в белый цвет. Какое наибольшее количество кубиков (из этих 216)

можно выложить в ряд так, чтобы любые два соседних кубика соприкасались

синими гранями?

8. Биссектрисы треугольника ABC пересекаются

в точке I. Через неё проведены прямые KM, LN,

ST, параллельные AB, BC, AC соответственно.

Причём точки K и L лежат на отрезке AC, точки

S и N - на AB, точки M и T - на BC.

Найдите периметр треугольника IKL, если

известно, что периметр SNI равен 8, периметр

MTI равен 11, а периметр треугольника ABC

равен 33.

2

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 7 КЛАСС

ОТВЕТЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ

Максимальное количество баллов - 8

1. Замените буквы в дробях на числа от 1 до 5 так, чтобы значение каждой

дроби было целым числом. Каждое число можно использовать только один раз.

8

9

10

6

7

A

B C

D

E

Постройте соответствие.

• Вместо A надо поставить

• число 1.

• Вместо B надо поставить

• число 2.

• Вместо C надо поставить

• число 3.

• Вместо D надо поставить

• число 4.

• Вместо E надо поставить

• число 5.

Ответ: A - 4, B - 3, C - 5, D - 2, E - 1.

Решение.

Заметим, что 7 делится среди перечисленных чисел только на 1, поэтому вместо

буквы E поставим единицу:

8

9

10

6

7

A

B C

D

1

Теперь поймём, куда можно поставить числа 4 и 5. Единственное число,

которое делится на 4, - это 8, а единственное число, которое делится на 5, -

это 10:

8

9

10

6

7

4

B

5

D

1

Осталось лишь понять, где будет стоять число 2, а где - 3. Из оставшихся

чисел только 6 делится на 2, поэтому искомая конструкция определяется

однозначно:

8

9

10

6

7

4

3

5

2

1

2. У Лёни есть несколько пятирублёвых и несколько десятирублёвых монет. Он

хочет купить как можно больше пицц в школьной столовой. После долгих

вычислений Лёня заметил, что с помощью всех своих пятирублёвых монет

и ещё 40 рублей он может купить ровно 4 пиццы без сдачи, а с помощью всех

своих десятирублёвых монет и ещё 50 рублей он может купить ровно 5 пицц

без сдачи. При этом у Лёни хватает денег на 6 пицц без сдачи. Сколько рублей

стоит одна пицца?

Ответ: 30.

1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 7 класс. Критерии и ответы

4. Ваня придумал способ шифровать семизначные числа, состоящие из всех

цифр от 1 до 7. Он придумал правило: для каждой цифры числа он записывает,

сколько цифр справа от неё меньше, чем она сама, а затем убирает само число.

Например, если бы у Вани было число 4567123, то он бы его зашифровал как

3333000.

Какое число было зашифровано с помощью последовательности цифр 4303200?

Ответ: 5417623.

Решение.

Для начала рассмотрим первую цифру. Справа от неё остается шесть других

цифр, и она больше ровно четырёх из них. Таким образом, она является пятой

по величине, и равна 5:

5 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗.

Вторая цифра больше трёх цифр из оставшихся шести (всех, кроме пятёрки),

поэтому на втором месте стоит цифра 4:

5 4 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗.

Третья цифра не больше всех её соседей справа. Это может быть только

цифра 1:

5 4 1 ∗ ∗ ∗ ∗.

Пока не ясно, где стоят цифры 7, 6, 3, 2. Но четвертая цифра больше всех цифр,

стоящих правее неё. То же самое справедливо и для пятой цифры. Поэтому на

эти места мы ставим цифры 7 и 6 соответственно:

5 4 1 7 6 ∗ ∗.

Предпоследняя цифра не больше последней, поэтому предпоследняя цифра

равна 2, а последняя - 3:

5 4 1 7 6 2 3 .

5. На рисунке изображены два квадрата. Сколько градусов составляет

отмеченный угол?

Ответ: 32.

Решение.

Введём обозначения, как на рисунке. Начнём с того, что найдём градусные

3

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 7 класс. Критерии и ответы

меры углов треугольника AML:

• ∠MAL = 180° - ∠XAB - ∠BAD = 180° - 71° - 90° = 19°,

• ∠MLA = 180° - ∠KLY - ∠MLK = 180° - 77° - 90° = 13°,

• ∠AML = 180° - ∠MAL - ∠MLA = 180° - 19° - 13° = 148°.

Рисунок к решению задачи 5.

Найдём градусную меру искомого угла, используя факт о том, что сумма углов

любого четырёхугольника равна 360°:

∠NCD = 360° - ∠CNM - ∠CDM - ∠NMD = 360° - 90° - 90° - ∠AML =

= 180° - 148° = 32°.

6. Алиса нарисовала на квадратном листе бумаги несколько горизонтальных и

несколько вертикальных линий красного цвета, а Боря нарисовал на том же

листе несколько горизонтальных и несколько вертикальных линий синего цвета

(каждая из линий параллельна двум сторонам листа и пересекает две его другие

стороны; каждый из ребят нарисовал не менее 1 вертикальной и не менее 1

горизонтальной прямой).

Известно, что если разрезать лист по красным линиям, то получится

39

кусочков, а если разрезать и по красным, ипосиним линиям, то получится 95

кусочков. Сколько кусочков получится, если разрезать лист бумаги только по

синим линиям?

Ответ: 21.

Решение.

Пусть горизонтальных красных линий было a, вертикальных красных - b,

горизонтальных синих - c, вертикальных синих - d.

По условию, если разрезать лист по красным линиям, то получится

39 кусочков, то есть (a + 1)(b + 1) = 39, а если разрезать и по красным,

и по синим линиям, то получится 95 кусочков, то есть (a + c + 1)(b + d + 1) = 95.

В силу того, что a + 1 ⩾ 2 и b + 1 ⩾ 2, а 39 можно представить в виде

произведения двух чисел, больших единицы, единственным образом 39 = 3 ⋅ 13,

4

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 7 класс. Критерии и ответы

получаем, что числа a и b равны 2 и 12 в некотором порядке. Будем считать,

что a = 2 и b = 12 (в случае, когда a = 12 и b = 2, всё аналогично).

Из равенства (a + c + 1)(b + d + 1) = 95 = 5 ⋅ 19 аналогично получаем, что a + c

и b + d равны 4 и 18 в некотором порядке. В силу того, что b = 12, число b + d

не может быть равно 4, поэтому b + d = 18. Тогда d = 6, а a + c = 4, то есть

c = 2.

Таким образом, количество кусочков при разрезании только по синим линиям

равняется (c + 1)(d + 1) = 3 ⋅ 7 = 21.

7. Из 216 синих кубиков сложили большой куб 6×6×6. Затем его поверхность

покрасили в белый цвет. Какое наибольшее количество кубиков (из этих 216)

можно выложить в ряд так, чтобы любые два соседних кубика соприкасались

синими гранями?

Ответ: 210.

Решение.

Заметим, что у всех кубиков в ряду, не считая двух крайних, какие-то две

противоположные грани должны быть синими, а у двух крайних должно быть

хотя бы по одной синей грани. При покраске куба 6 × 6 × 6 только у 8 угловых

кубиков не будет двух проти-воположных синих граней, поэтому из этих

8 кубиков можно использовать максимум 2, по краям ряда. Таким образом,

кубиков в ряду не более 216 - 6 = 210.

Осталось заметить, что 210 кубиков можно выстроить в ряд с соблюдением

условия. Выстроим все не угловые кубики (очевидно, у всех них найдутся две

противоположные синие грани) в ряд так, чтобы крайние грани ряда были

синие, и с обоих краёв добавим по одному угловому кубику (приложив синей

гранью).

8. Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I. Через неё проведены

прямые KM, LN, ST, параллельные AB, BC, AC соответственно. Причём точки K

и L лежат на отрезке AC, точки S и N - на AB, точки M и T - на BC.

Найдите периметр треугольника IKL, если известно, что периметр SNI равен 8,

периметр MTI равен 11, а периметр треугольника ABC равен 33.

5

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 8 класс

Задание № 5

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BP и CQ. Известно, что

∠CBP = 2∠ABP и ∠ACQ = ∠BCQ + 6°. Сколько градусов составляет угол BAC?

Ответ:

Задание № 6

По кругу стоят 100 детей, каждый из них одет в красную или синюю кофту.

Каждый из них заявил: «Хотя бы один из двоих моих соседей - в кофте того

же цвета, что и я». Оказалось, что 67 детей сказали правду, а 33 - соврали.

Какое наибольшее количество детей в красных кофтах могло быть?

Ответ:

Задание № 7

Дан треугольник ABC с тупым углом при вершине C. На стороне AC нашлась

точка P такая, что ∠CPB = 22°. На отрезке BP нашлась точка Q такая, что

BQ = 2PC и QC ⟂ BC. Сколько градусов составляет угол ACB?

Ответ:

2

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

МАТЕМАТИКА. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 8 КЛАСС

ОТВЕТЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ

Максимальное количество баллов - 8.

Задание № 1

Натуральные числа a, b, c (не обязательно различные) таковы, что каждое из

них не превосходит

28. Какое наибольшее значение может принимать

выражение

ab

?

2

c

Ответ: 27.

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

1

a b

281

Если взять a = 28, b = 1, c = 1, то значение дроби будет равно





27.

2

2

c

1

Заметим, что числитель данной дроби не больше, чем 27, а знаменатель

положителен и не меньше, чем 1, поэтому значение дроби точно не больше, чем

27



27.

1

Задание № 2

Для получения идеальной фиолетовой краски нужно смешать красный, синий и

зелёный красители в определённых пропорциях. Юный художник Денис

немного ошибся и добавил синего и зелёного красителей вдвое больше, чем

нужно, а красного добавил, сколько надо. В итоге краски получилось в 1,4 раза

больше, чем нужно. Сколько процентов составляет красный краситель

в идеальной фиолетовой краске?

Ответ: 60.

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Обозначим нужное количество красного красителя за a, синего - за b,

зелёного - за c, а нужное количество получившейся краски - за x. Тогда

a + b + c = x и a + 2b + 2c = 1,4x. Домножив первое уравнение на 2 и вычитая

из него второе, получим a = 0,6x. Значит, в правильном рецепте красный цвет

1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 8 класс. Критерии и ответы

Решение.

Переформулируем условие: в каждой строке должно быть не более

18 - 5 = 13 крестиков, а в каждом столбце - не более 7 - 2 = 5 крестиков.

Просуммировав по столбцам, получаем, что в таблице не более 18 ⋅ 5 = 90

крестиков.

Приведём пример, как в таблице может быть ровно 90 крестиков.

Замечание. Этот пример построен по следующему принципу. В первой строке

мы отме-чаем крестиками первые k клеток (здесь k = 13), во второй -

следующие k, и так далее (когда мы упираемся в конец строки, мы продолжаем

с её начала). В последней строке один крестик мы не ставим, чтобы не

превысить ограничение в столбце. Таким образом получается «равномерное»

распределение крестиков по столбцам.

Задание № 5

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BP и CQ. Известно, что

∠CBP = 2∠ABP и ∠ACQ = ∠BCQ + 6°. Сколько градусов составляет угол BAC?

Ответ: 66.

3

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 8 класс. Критерии и ответы

Задание № 7

Дан треугольник ABC с тупым углом при вершине C. На стороне AC нашлась

точка P такая, что ∠CPB = 22°. На отрезке BP нашлась точка Q такая, что

BQ = 2PC и QC ⟂ BC. Сколько градусов составляет угол ACB?

Ответ: 147.

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Рисунок к решению задачи 8.

Пусть M - середина отрезка BQ (см. рисунок). Отрезок CM является медианой

1

прямоугольного треугольника BCQ, поэтому CM = BM = MQ =

⋅ BQ = PC.

2

Из равнобедренного треугольника PCM получаем ∠PMC = ∠CPM = 22°.

У равнобедренного треугольника BCM внешний угол при вершине M равен

1

сумме двух равных внутренних, поэтому ∠CBM =

⋅ 22° = 11°. По сумме

2

углов в треугольнике BCP находим искомый угол:

∠ACB = 180° - 22° - 11° = 147°.

5

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 9 КЛАСС

Максимальное количество баллов - 8.

Задание № 1

Учительница составляет варианты для контрольной работы. Каждый вариант

устроен так: учительница в произведении

345612 · 653209

между какими-то двумя цифрами в каждом числе ставит запятую. Учительница

выбирает варианты так, чтобы ответы во всех вариантах были различными.

Какое наибольшее число вариантов удастся выбрать учительнице?

Задание № 2

К правильному пятиугольнику приставили правильный

треугольник. Чему равна градусная мера угла,

обозначенного знаком «?»?

Ответ:

Задание № 3

Прямоугольник 6×9 покрыт 18 непересекающимися прямоугольниками 1×3

(прямоугольники лежат по клеточкам). Некоторые из прямоугольников

разрезания отмечены на рисунке ниже.

Как может быть покрыта отмеченная красным клетка? Выберите все

возможные варианты:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 9 класс

Задание № 4

По кругу через равные промежутки растут 846 яблонь. Поздней осенью на

каждой из них осталось 1, 2, 3, 4 или 5 яблок. Оказалось, что количества яблок

на любых двух рядом растущих яблонях отличаются ровно на 1. Одно яблоко

растёт на 200 яблонях, три - на 21. А на скольких яблонях растёт пять яблок?

Задание № 5

Два действительных числа a и b таковы, что выполняется равенство

a ² + 6 a = 2 b ² + 11 b - 15.

Известно, что если изменить a, то равенство точно перестанет быть верным.

Найдите все возможные значения b.

Ответ:

Задание № 6

Три параллельные прямые пересекают

угол и на каждой стороне высекают

отрезки, которые относятся как 3 : 5 : 1

(см.

рисунок).

В

результате

образовались две трапеции. Площадь

красной трапеции равна 90. Найдите

площадь синей трапеции, отмеченной

знаком «?».

Ответ:

Задание № 7

Сколько существует натуральных чисел x, для которых найдутся натуральные числа

y и z, что 2x + 3y + 6z = 1200?

Ответ:

Задание № 8

8100 школьников встали в шеренгу. По команде «Рассчитайсь!» они по порядку

стали называть свои номера: «Один!», «Два!», . . . , «Восемь тысяч сто!». После

этого каждый, кто оказался на месте, номер которого - квадрат натурального

числа (т.е. 1 = 1², 4 = 2², . . .), ушёл играть в футбол. Оставшиеся школьники

повторили этот процесс: встали в шеренгу, выкрикнули номера, школьники с

номерами - точными квадратами - ушли играть в футбол. Так они повторяли

до тех пор, пока количество оставшихся школьников впервые не стало меньше

520. Сколько школьников осталось в этот момент?

Ответ:

2

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

МАТЕМАТИКА. 2024 г.

ПРИГЛАСИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП. 9 КЛАСС

ОТВЕТЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ

Максимальное количество баллов - 8.

Задание № 1

Учительница составляет варианты для контрольной работы. Каждый вариант

устроен так: учительница в произведении

345612 · 653209

между какими-то двумя цифрами в каждом числе ставит запятую. Учительница

выбирает варианты так, чтобы ответы во всех вариантах были различными.

Какое наибольшее число вариантов удастся выбрать учительнице?

Ответ: 9.

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Что значит «между какими-то двумя цифрами числа поставить запятую»? Это

значит «поделить число на некоторую степень 10».

Например, 3456,12 =³⁴⁵⁶¹²

10²

Следовательно, ответ в каждом варианте будет равен

345612

∙⁶⁵³²⁰⁹ = 653209 ⋅ 345612

10^k

10^l

10^k+l

для некоторых k и ℓ.

Какие значения могут принимать k и ℓ? Наименьшая степень 10, на которую

можно поделить 345612 равна 1 (т. е. k ⩾ 1), а наибольшая равна 5 (для числа

3,45612; т. е. k ⩽ 5). Аналогично, 1 ⩽ ℓ ⩽ 5. Значит, 2 ⩽ k + ℓ ⩽ 10, т. е. k + ℓ

принимает 9 значений, значит и вариантов максимум получится 9.

Задание № 2

К правильному пятиугольнику приставили правильный треугольник. Чемуравна

градусная мера угла, обозначенного знаком «?»?

Ответ: 54.

Точное совпадение ответа - 1 балл

1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 9 класс. Ответы

Решение.

Главное наблюдение в этой задаче - картинка симметрична относительно

отрезка, соединяющего вершину пятиугольника и вершину треугольника.

Значит, ответ - половина угла правильного пятиугольника, т.е.

1

180^∘ ⋅ (5 - 2)

⋅

= 54^∘

2

5

Комментарий. Рассуждение выше неправильно называть «доказательство», ведь

мы никак не доказали, что картинка и правда симметрична. Однако это легко

сделать, если сказать, что картинка симметрична относительно серединного

перпендикуляра к общей стороне пятиугольника и треугольника (а не просто

отрезка из условия).

Тот факт, что правильный n-угольник симметричен относительно любого

серединного перпендикуляра к стороне, уже легко доказывается. Например,

можно проверять это последовательно: концы стороны - по определению

серединного перпендикуляра. Следующая пара вершин получается поворотом на

один и тот же угол и откладыванием отрезка одной и той же длины, и так далее.

Комментарий. В решении мы воспользовались формулой для угла правильного

n-угольника:

180° (n-2)

n

Задание № 3

Прямоугольник 6×9 покрыт 18 непересекающимися прямоугольниками 1×3

(прямоугольники лежат по клеточкам). Некоторые из прямоугольников

разрезания отмечены на рисунке ниже.

Как может быть покрыта отмеченная красным клетка? Выберите все возможные

варианты:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Ответ: f.

Точное совпадение ответа - 1 балл

2

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 9 класс. Ответы

Решение.

Для решения достаточно заметить квадрат 4×4, образованный 15 бирюзовыми и

одной красной клетками (см. рисунок):

Квадрат состоит из 16 клеток, т.е. нельзя покрыть их все прямоугольниками 1×3

(т. к. 16 не делится на 3). Значит, часть прямоугольников должна «вылазить» за

границу квадрата. Единственное место, где можно это сделать - через красную

клетку.

Так как 16 даёт остаток 1 при делении 3, то и убрать надо ровно одну клетку. Из

всех вариантов тогда подходит только f.

Задание № 4

По кругу через равные промежутки растут 846 яблонь. Поздней осенью на

каждой из них осталось 1, 2, 3, 4 или 5 яблок. Оказалось, что количества яблок

на любых двух рядом растущих яблонях отличаются ровно на 1. Одно яблоко

растёт на 200 яблонях, три - на 21. А на скольких яблонях растёт пять яблок?

Ответ: 202.

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Главное наблюдение в этой задаче - яблони с чётным (2, 4) и нечётным (1, 3, 5)

количествами яблок чередуются.

После него задача решается быстро: так как они чередуются, то яблонь с 2 и 4

яблоками столько же, сколько и с 1, 3 и 5. Значит, яблонь с 1, 3 и 5 яблоками

рóвно половина: 846/2 = 423. Нам дано, что из этих 423 яблонь 200 и 21 - это

яблони с 1 и 3 яблоками. Значит, оставшиеся 423 - 200 - 21 = 202 - c 5 яблоками.

Задание № 5

Два действительных числа a и b таковы, что выполняется равенство

a² + 6a = 2b² + 11b - 15.

Известно, что если изменить a, то равенство точно перестанет быть верным. Найдите

все возможные значения b.

Ответ: -6 и 0,5.

3

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 9 класс. Ответы

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Самое главное в этой задаче - понять, что значит фраза «если изменить a, то

равенство точно перестанет быть верным». Для этого можно спроситьсебя - а

как вообще может так быть, что мы a изменили, а равенство осталось верным?

Если вместо a подставить a^′, то равенство превратится в

(a^′)² + 6a^′ = 2b² + 11b - 15,

а правая часть этого выражения, как мы знаем, равна a² + 6a. Значит, если мы

изменили a на a^′, а равенство осталось верным, то должно выполняться равенство

a² + 6a = (a^′)² + 6a^′.

Тогда (a - a^′)(a + a^′ + 6)

= 0. Поскольку a ≠ a^′ (мы же меняем число a), то

a + a^′ = -6. Значит, для любого числа a в качестве a^′ можно взять -6 - a.

Следовательно, a, которое подходит, должно удовлетворять условию

a = -6 - a (иначе можно поменять a на -6 - a и значение левой части не

изменится), т. е. a = -3.

Осталось ответить на вопрос задачи. Если a = -3, то 2b²+11b-15 = (-3)²+6·(-3),

т. е. 2b² + 11b - 6 = 0. Решая квадратное уравнение, получаем ответы -6 и ½.

Комментарий. Можно было пойти другим путём. Равенство a² + 6a = (a′)² + 6a′

можно переписать в виде f(a) = f(a′), где f(x) = x² + 6x. Тут написано, что значение

C = f(a) функция f(x) принимает хотя бы два раза. Функция f(x) - это квадратный

трёхчлен. Она почти все свои значения принимает ровно два раза. Кроме

значения в вершине параболы y = f(x), т.е. как раз при a = ^-6 = -3.

2∙1

Задание № 6

Три параллельные прямые пересекают угол и на каждой стороне высекают

отрезки, которые относятся как 3 : 5 : 1 (см. рисунок). В результате образовались

две трапеции. Площадь красной трапеции равна 90. Найдите площадь синей

трапеции, отмеченной знаком «?».

4

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024 г.

Пригласительный этап. 9 класс. Ответы

Ответ: 306/11.

Точное совпадение ответа - 1 балл

Решение.

Обозначим площадь белого треугольника через S, а площадь синей трапеции

через t. Тогда из подобия треугольников, получаемых при пересечении угла

параллельными прямыми, имеем:

Из этих двух равенств необходимо найти t. Приведём один из возможных

способов,как это можно сделать. Вычтем из обоих равенств по 1:

и поделим второе на первое:

т.е.

5

содержание      ..      1      2      3      ..