содержание      ..     2      3      4      5     ..

Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2024-2025 год) - часть 4

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024-2025 уч. г.

Школьный этап. 8 класс. Критерии оценивания

5. Сколько клетчатых прямоугольников, содержащих хотя бы одну закрашенную

клетку, изображено на рисунке? Любой квадрат (в частности, сам квадрат 5 × 5)

является прямоугольником.

6. В соревновании по настольному теннису участвовало ровно 50 ребят, среди

которых половина - рыцари, всегда говорящие правду, и половина - лжецы,

которые всегда лгут. По правилам турнира проигравший выбывал. В результате

после нескольких игр ровно половина ребят выбыла. После этих событий

каждый из оставшихся участников заявил, что выиграл ровно у одного рыцаря.

Какое наибольшее количество рыцарей могло остаться среди участников

турнира?

7. Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой

прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 3. Таня

тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и

увеличив ширину на 5. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани

равны. Выберите все возможные значения периметра прямоугольника Даши:

[ ] 50

[ ] 52

[ ] 54

[ ] 100

[ ] 206

8. Угол C треугольника ABC равен 60°. На продолжении стороны BC за точку C

выбрана точка D так, что DC + CA = BC. Известно, что AB = 8. Найдите длину

AD.

2

Разбор заданий школьного этапа ВсОШ по математике

для 8 класса

2024/25 учебный год

Максимальное количество баллов - 8

1.^{Аня нарисовала на плоскости квадрат и поделила верхнюю и нижнуюю}

его стороны на 9 равных частей каждую. Затем она провела 10

прямых, соединяющих самую левую верхнюю точку с самой правой

нижней, вторую слева верхнюю точку со второй справа нижней, и

так далее. После этого она поделила правую и левую стороны

каждую на 8 равных частей и провела 7 горизонтальных прямых

через точки деления. (На рисунке показан пример, когда сначала

она провела 6 прямых сверху вниз, а затем 3 горизонтальных). На

сколько частей эти прямые поделили квадрат?

Решение. 10 прямых сверху вниз

поделили квадрат на 9 + 9 + 2 частей.

Затем каждая горизонтальная прямая,

кроме той, что проведена посередине,

делит на две 9 частей (либо сверху, ли-

бо снизу) и еще две (одну справа и одну

слева). Таких делений 6. Каждое из них

прибавляет 9 + 2 = 11 частей. Средняя

горизонтальная прямая делит две ча-

сти каждую на две (то есть, прибавляет

две части). Итого: 20 + 11 · 6 + 2 = 88.

Ответ. 88.

2. Однажды утром 10 января Кот в сапогах обнаружил, что его вес

стал на 20% больше, чем был до новогодних праздников. Чтобы

восста- новить в форму, Кот в сапогах сел на диету, и вскоре

обнаружил, что его вес уменьшился на 20% по сравнению с весом 10

января, и на 224 грамма по сравнению c весом до новогодних

праздников. Сколько весил Кот в сапогах до новогодних

праздников? В ответ запишите только число - вес Кота в сапогах до

новогодних праздников в килограммах.

Решение. Обозначим вес Кота в сапогах до новогодних праздников

за x. Тогда его вес 10 января составлял 1,2x, поскольку 120% от числа

- это 120 : 100 = 1,2 части от целого. Аналогично, после уменьшения

веса на 20%, он стал равняться 1,2x · 0,8 = 0,96x. Этот вес на 224 грамма

меньше изначального, то есть x. Значит, x - 0,96x = 224 грамма, то есть

0,04x = 224 грамма, откуда x = 5600 граммов, то есть 5,6 килограммов.

Это и есть ответ.

Ответ. 5,6.

3. Из клетчатого квадрата 8 × 8 вырезали часть угловых клеток, а

оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 2 так,

чтобы квадратов каждого типа получилось поровну. Сколько клеток

могло быть вырезано?

Решение. Пусть имеется k квадратов со

стороной 1 и k квадратов со стороной 2. Тогда

общая площадь, которую занимают эти фигу-

ры, составляет k + 4 · k = 5 · k. Значит, пло-

щадь должна делиться на 5. Поскольку пло-

щадь исходного квадрата равна 4, а вырезали

не более 4 клеток, то разность будет делиться

на 5 только если вырезали 4 клетки. Покажем,

что фигура с удаленными угловыми клетками

условию удовлетворяет. Пример справа.

4. В кошельке лежит 1000 рублей одно-, двух- и пятирублёвыми мо-

нетами. Известно, что общее число монет равно 300, и что монет каких-то

двух достоинств равное количество. Найдите это количество.

Решение. Пусть у нас x, y и z рублёвых, двухрублёвых и пятирублё-

вых монет соответственно. По условию x + y + z = 300, x + 2y + 5z = 1000.

Допустим, x = y. Тогда z = 300 - 2x, откуда x + 2x = 1000 - 5(300 - 2x),

то есть 7x = 500, что невозможно, так как 500 не делится на 7.

Допустим, x = z. Тогда y = 300 - 2x, откуда x + 5x = 1000 - 2(300 -

2x), то есть 2x = 400, x = 200 = z. Но тогда монет больше 300, что

противоречит условию задачи.

Значит, y = z. Тогда x = 300 - 2y, откуда 300 - 2y = 1000 - 2y - 5y,

то есть 5y = 700 и y = z = 140, x = 20.

Ответ. 140.

2

5. Сколько клеточных прямоугольников, содержа-

щих хотя бы одну закрашенную клетку, изображено на

рисунке? Любой квадрат (в частности, сам квадрат 5×5)

является прямоугольником.

Решение. Способов выбрать горизонтальные линии (столько же,

сколько и вертикальных) 6·5 = 15. Таким образом, квадрат 5×5 содержит

2

15 · 15 = 225 прямоугольников.

Из них не содержат закрашенные клетки 21 квадрат 1 × 1, 28 прямо-

угольников 1 × 2, 18 прямоугольников 1 × 3, 8 прямоугольников 1 × 4, 2

прямоугольника 1 × 5, 8 квадратов 2 × 2, 8 прямоугольников 2 × 3, 4

прямоугольника 2 × 4, 1 квадрат 3 × 3. Значит, число прямоугольников,

содержащих хотя бы одну закрашенную клетку, равно 225 - 21 - 28 - 18 -

8 - 2 - 8 - 8 - 4 - 1 = 127 прямоугольников.

Ответ. 127.

6.

В соревновании по настольному теннису участвовало ровно 50 ре-

бят, среди которых половина рыцари, всегда говорящие правду, и поло-

вина - лжецы, которые всегда лгут. По правилам турнира проигравший

выбывал. В результате после нескольких игр ровно половина ребят выбы-

ла. После этого событий каждый из оставшихся участников заявил, что

выиграл ровно у одного рыцаря. Какое наибольшее количество рыцарей

могло остаться участниками турнира?

Решение. Каждый из оставшихся рыцарей выиграл ровно у одного

рыцаря. Поэтому оставшихся рыцарей не больше, чем выбывших, то есть

удвоенное количество оставшихся рыцарей не больше 25, следовательно,

их не больше 12. Пример: один из рыцарей выигрывает у другого, за- тем

половина оставшихся рыцарей выигрывает у одного из оставшихся,

включая того, который выиграл у первого рыцаря (сначала 2-й рыцарь

выиграет у 1-го, потом 3-й у 2-го, 5-й у 4-го и т. д. 25-й у 24-го), а среди 25

лжецов, например, один выиграет по очереди у 12 других лжецов.

Ответ. 12.

4

7. Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала

свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 3.

Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и

увеличив ширину на 5. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани

равны. Выберите из приведенных чисел те, которые могли быть периметром

прямоугольника Даши.

• 50

• 52

• 54

• 100

• 206

Решение. Пусть Дашин прямоугольник имел длину x и ширину y.

Тогда площади Катиного и Таниного прямоугольников равны, соответ-

ственно, (x - 2)(y + 3) и (x - 3)(y + 5).

Приравняв эти два выражения, получим xy-2y+3x-6 = xy-3y+5x-

15, откуда y = 2x - 9. Тогда периметр Дашиного прямоугольника равен

2x + 2y = 6x - 18 = 6(x - 3). Это число кратно 6. Из приведенных чисел

подходит только 54. Если 6x - 18 = 54, то x = 12. Тогда y = 2x - 9 = 15.

Ответ. 54.

8. Угол C треугольника ABC равен 60^◦. На продолжении стороны

BC за точку C выбрана точка D так, что DC + CA = BC. Известно, что

AB = 8. Найдите длину AD.

Решение. На стороне CB отме-

B

тим точку E так, что CE = CA. То-

гда треугольник ACE равносторонний, а

EB = DC. Тогда заметим, что треуголь-

ник AEB равен треугольнику ADC (по-

скольку ∠AEB = ∠ACD = 120^◦, BE =

CD, AE = AC). Тогда AD = 8.

Ответ. 8.

A

D

5

Разбор заданий школьного этапа ВcОШ по математике

для 9 класса, 2024-2025 учебный год

1. В актовом зале расставили 25 рядов по 10 стульев в каждом из них. Стулья пронумерованы: сначала от

1 до 10 в первом ряду, потом от 11 до 20 во втором ряду и так далее. Зрителям выдали билеты на спектакль с указанием

номера стула. В перерыве решили сделать 25 рядов по 13 стульев в каждом и пронумеровать: сначала от 1 до 13 в первом

ряду, потом от 14 до 26 во втором и так далее; зрители сели по указанным в билете номерам. Сколько зрителей теперь

оказались в том же ряду, что первоначально?

Ответ. 22.

Решение. Количество мест в ряду увеличилось на 3, поэтому в первом ряду останутся все 10 зрителей, которые там сидели.

Ответ. 63.

Решение. Так как

∠ABC = 180^◦ - (∠BAC + ∠BCA) = 180^◦ - (60^◦ + 32^◦) = 88^◦,

то

∠ABE = ∠ABC - ∠EBC = 88^◦ - 25^◦ = 63^◦.

Проведём прямую ℓ ∥ BE - на ней лежит точка D из условия.

Если точка D в той же полуплоскости относительно прямой AC, что и точка B, то

∠DAB = ∠ABE = 63^◦ (накрест лежащие при параллельных прямых AD и BE и секущей AB).

Если точка D в другой полуплоскости относительно прямой AC, нежели точка B, то

∠DAB = 180^◦ - ∠ABE = 117^◦ (внутренние односторонние углы при прямых AD и BE и секущей AB).

Из найденных двух значений (63^◦ и 117^◦) наименьшее значение равно 63^◦.

5. Саша и Юра задумали по числу от 1 до 10, после чего Саша заявил: «Неважно, какое число ты задумал,

в произведении наших чисел нет цифры 6», на что Юра ответил: «Тогда сумма наших чисел равна 14». Саша и Юра не ошибаются.

Какое число задумал Юра?

Ответ. 9.

Решение. Докажем, что Саша задумал 5. Это число подходит, так как при умножении числа 5 на любое число от 1 до 10 результат не

содержит цифры 6. Осталось для каждого остального числа показать, какое число мог задумать Юра, чтобы в произведении чисел

Саши и Юры была цифра 6.

Если Саша задумал,

1

2

3

4

6

7

8

9

10

то Юра мог задумать

6

3

2

4

1

9

2

4

6

Тогда произведение

6

6

6

16

6

63

16

36

60

Таким образом, Саша задумал 5. Тогда Юра задумал 14 - 5 = 9.

6. Баба Яга готовит зелье. Рецепт подразумевает, что в зелье должны попасть:

• не более 5 лягушек (возможно, 0);

• чётное число волчьих зубов (возможно, 0);

• кратное шести число драконьих чешуек (возможно, 0);

• ровно 2025 ингредиентов.

Сколькими способами Баба Яга может приготовить зелье? Порядок добавления ингредиентов неважен.

Ответ. 1013.

Решение. Заметим, что всего ингредиентов - нечётное количество, а волчьих зубов и драконьих чешуек должно быть чётное

количество. Значит, лягушек должно быть нечётное количество.

1 Если лягушка одна, то на волчьи зубы и драконьи чешуйки приходится 2024 слота. Заметим, что

выбрав количество драконьих чешуек (их может быть от 0 · 6 до 337 · 6 = 2022 - 338 вариантов),

остаток точно удастся заполнить волчьими зубами. Значит, в этом случае всего 338 вариантов.

3 Если лягушек три, то аналогично предыдущему, здесь всего 338 вариантов.

5 Если лягушек пять, то аналогично предыдущему, здесь всего 337 вариантов.

Итак, всего вариантов 338 + 338 + 337 = 1013.

7. Длины сторон AB и AD прямоугольника ABCD равны 20 и 23 соответственно. Пусть M - середина

стороны CD и пусть X - такая точка на плоскости, что A - середина отрезка XM. Найдите площадь

треугольника XBD.

Ответ. 575.

Решение. Будем пользоваться такими фактами.

Пусть площадь ABCD равна S. Тогда

1

S_XAB = S_ABM =

S,

2

1

1

1

1

1

S_XAD = S_ADM =

AD · DM =

AD ·

CD=

AD · CD =

S,

2

2

2

4

4

1

S_BAD =

S.

2

Отсюда

1

1

1

5

S_XBD = S_XAB + S_XAD + S_BAD =

S+

S+

S =

S.

2

4

2

4

Так как S = 20 · 23 = 460, то S_XBD =⁵

· 460 = 575.

4

8. Простое число p таково, что для любых целых чисел a и b числа 10a + 3b и a + 8b или оба делятся на p,

или оба не делятся. Найдите, чему может быть равно p.

Ответ. 7 или 11.

Решение. Решение будет опираться на такое наблюдение:

10 · (a + 8b) - (10a + 3b) = 77b.

(∗)

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

МАТЕМАТИКА. 2024-2025 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 10 КЛАСС

1. Боковые грани пирамиды - четыре равных равнобедренных треугольника. На

этих гранях проведены отрезки, параллельные основанию, как показано на

чертеже. Длины путей, отмеченные на чертежах красным, соответственно равны

a, b и c.

Выберите верное утверждение:

( ) c > b = a

( ) b = c > a

( ) a = b = c

( ) a < b < c

Какое наибольшее значение может принимать x?

3. На чертеже четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω. Прямая,

проходящая через точку D, и параллельная AB, пересекает ω в точке P. Известно,

что ∠PDC = 12°, ∠DPB = 56°.

Найдите величину ∠ABC. Ответ выразите в градусах.

1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024-2025 уч. г.

Школьный этап. 10 класс

4. Натуральные числа a, b и c таковы, что НОД (a, b) = 2 и НОД (b, c) = 4. Чему

может быть равен НОД (a, c)? Выберите все верные ответы:

[ ] 12

[ ] 3

[ ] 6

[ ] 1

[ ] 2

5. У Жоры есть коробка конфет, в которой конфеты расположены

прямоугольником 4 × 5 (4 строчки, 5 столбцов). Жора берёт по одной конфете,

каждый раз выбирая из строки, в которой осталось максимальное количество

конфет; если таких несколько - из любой из них. Сколькими способами Жора

мог съесть первые 5 конфет? Порядок поедания важен.

6. Прямая l, пересекающая стороны AB и AC треугольника ABC, разбивает его на

равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть X и Y - проекции

точек B и C на прямую l. Найдите длину отрезка XY, если AB = 20, AC = 21.

7. В стране 3 мегаполиса и 7 городков. Авиакомпания планирует расписание

полётов между ними. Руководитель хочет, чтобы выполнялись следующие

условия:

• от любого населённого пункта до любого другого можно добраться (прямым

рейсом или с пересадками);

• если из пункта A есть рейс в пункт B, то и из пункта B есть рейс в пункт A;

• из двух мегаполисов можно улететь ровно в четыре населённых пункта, а из

одного - в три;

• из каждого городка можно улететь ровно в один населённый пункт.

Сколько существует способов организовать такое расписание?

8. Числа a₁, a₂, …, a₉ таковы, что

2

𝑎𝑎₂

+ 𝑎𝑎₂+. . . +𝑎𝑎9

= 48.

𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2+...+𝑎𝑎9

Какое наибольшее значение может принимать a₁?

2

Разбор заданий школьного этапа ВcОШ по математике

для 10 класса, 2024-2025 учебный год

1. Боковые грани пирамиды - четыре равных равнобедренных треугольника. На этих гранях проведе-

ны отрезки, параллельные основанию, как показано на чертеже. Длины путей, отмеченные на чертежах красным,

соответственно равны a, b и c. Выберите верное утверждение:

a) c > b = a,

b) b = c > a,

c) a = b = c,

d) a < b < c.

Ответ. d).

Решение. Обозначим длину горизонтальных участков через x, y, z и t (см. рисунок).

Боковые стороны равнобедренных треугольников, отсекаемых соответственно основаниями x, y, z и t от боковой грани, идут в

порядке возрастания. Тогда из подобия этих треугольников следует, что x < y < < z < t.

Пути состоят из нескольких горизонтальных участков и нескольких участков вдоль боковых рёбер

пирамиды. В сумме длины участков вдоль боковых рёбер для каждого из приведённых путей равны

длине бокового ребра (обозначим её через L). Тогда a = L + x + y, b = L + 2y, c = L + y + z.

Заметим, что

• L + x + y < L + y + y = L + 2y, откуда a < b;

• L + 2y = L + y + y < L + y + z, откуда b < c

Значит, a < b < c.

2.

Действительные числа x и y таковы, что

9x

= xy = 2x + 4y.

y

Какое наибольшее значение может принимать x?

Ответ. 12.

3.

На чертеже четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω. Прямая, проходящая через точку D,

параллельно AB, пересекает ω в точке P . Известно, что ∠P DC = 12^◦, ∠DP B = 56^◦. Найдите величину

угла ∠ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 112.

Решение. Заметим, что ∠ABP = 180^◦ - ∠DP B = 180^◦ - 56^◦ = 124^◦ (внутренние односторонние углы

при параллельных прямых AB и DP и секущей BP ).

Из равенства вписанных углов, опирающихся на дугу CP , получим ∠P BC = ∠P DC = 12^◦. Наконец,

∠ABC = ∠ABP - ∠P BC = 124^◦ - 12^◦ = 112^◦.

4.

Натуральные числа a, b и c таковы, что НОД(a,b) = 2 и НОД(b,c) = 4. Чему может быть равен

НОД(a,c)? Выберите все верные ответы:

a) 12; b) 3; c) 6; d) 1; e) 2.

Ответ. c), e).

5.

У Жоры есть коробка конфет, в которой конфеты расположены прямоугольником 4 × 5 (4 строчки,

5 столбцов). Жора берёт по одной конфете, каждый раз выбирая из строки, в которой осталось макси-

мальное количество конфет; если таких несколько - из любой из них. Сколькими способами Жора мог

съесть первые 5 конфет; порядок поедания важен?

Ответ. 240000.

Решение.

• Первую конфету Жора может съесть любую - т.е. у него 20 способов.

• Аналогично предыдущему: для каждого из этих 20 · 15 способов выбрать первые две конфеты у

Жоры есть по 10 способов выбрать третью конфету. То есть выбрать первые три конфеты у него

20 · 15 · 10 способов.

• Аналогично предыдущему: выбрать первые четыре конфеты у Жоры 20 · 15 · 10 · 5 способов.

•

Наконец, для каждого из 20 · 15 · 10 · 5 способов выбрать первые четыре конфеты у Жоры есть по 16 способов выбрать пятую

конфету: за предыдущие четыре выбора Жора взял по одной конфете из каждой строки, т.е. сейчас в каждой строке осталось

по 4 конфеты и Жора вновь может выбрать из всех конфет.

Итого, ответ 20 · 15 · 10 · 5 · 16 = 240 000.

6.

Прямая ℓ, пересекающая стороны AB и AC треугольника ABC, разбивает его на равносторонний

треугольник и на четырёхугольник. Пусть X и Y - проекции точек B и C на прямую ℓ. Найдите длину

отрезка XY , если AB = 20, AC = 21.

41

Ответ. 20,5 =

2

Решение. Обозначим точки пересечения ℓ с AB и AC соответственно как P и Q. Заметим, что ∠XP B =

∠AP Q = 60^◦ (так как треугольник AP Q равносторонний по условию), поэтому треугольник P XB -

прямоугольный с острыми углами 60^◦ и 30^◦, а тогда XP =¹BP. Аналогично QY =1CQ.

2

2

Тогда запишем равенство (при этом будем использовать, что P Q = AP = BP ):

1

1

BP + 2PQ + CQ

XY = XP + PQ + QY =

BP + PQ +

CQ=

=

2

2

2

(BP + AP ) + (AQ + CQ)

AB + AC

20 + 21

=

=

=

= 20,5.

2

2

2

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

МАТЕМАТИКА. 2024-2025 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 11 КЛАСС

1. Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из пяти карточек: 1, 4, 5, 6, 13.

Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол.

Найдите вероятность того, что произведение чисел на карточках - простое

число.

2. Если длину прямоугольного поля увеличить на 20 м, а ширину увеличить на

8 м, то его площадь увеличится на 9280 м². На сколько уменьшится площадь

поля, если его длину уменьшить на 20 м, а ширину уменьшить на 8 м? Ответ

выразите в квадратных метрах.

3. На сторонах правильного семиугольника со стороной 2 отмечены две точки -

A и B. Чему может быть равна длина отрезка AB?

[ ] 1

[ ] 4

[ ] 7

[ ] 15

4. Какой остаток при делении на 32 даёт число 2^{4 .} 5^{6 .} 1110 . 17¹⁷?

5. Каждое из чисел от 1 до 3491 записано чернилами одного из k цветов (каждый

цвет встречается). Оказалось, что для каждого цвета количество чисел этого

цвета равно наименьшему числу, записанному чернилами этого цвета. При каком

наибольшем k это возможно?

6. Жора решил систему уравнений

1

Всероссийская олимпиада школьников. Математика. 2024-2025 уч. г.

Школьный этап. 11 класс

7. Три окружности радиусами 3, 5, 7 расположены так, что общая хорда

пересечения любых двух окружностей является диаметром меньшей из них.

7.1. Найдите квадраты длин сторон треугольника, образованного центрами этих

окружностей. Каждое число записывайте в отдельное поле в порядке

возрастания.

7.2 Найдите квадрат площади треугольника, образованного центрами этих

окружностей.

8. Пусть n > 2024 - натуральное число. На доске написаны натуральные числа

от 2024 до n. За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и

заменяет их на их разность, тем самым уменьшая количество чисел на доске.

Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько

существует натуральных n < 10 000, для которых это число будет равно 0?

2

Разбор заданий школьного этапа ВcОШ по математике

для 11 класса, 2024-2025 учебный год

1. Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из пяти карточек: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый случайно

выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что произведение

чисел на карточках - простое число.

6

Ответ.

125

к общему количеству исходов, то есть 6/125

2. Если длину прямоугольного поля увеличить на 20 м, а ширину увеличить на 8 м, то его площадь

увеличится на 9280 м². На сколько уменьшится площадь поля, если его длину уменьшить на 20 м, а

ширину уменьшить на 8 м? Ответ выразите в квадратных метрах.

3. На сторонах правильного семиугольника со стороной 2 отмечены две точки A и B. Чему может быть

равна длина отрезка AB?

a) 1; b) 4; c) 7; d) 15.

Ответ. a), b).

Решение. a) Достаточно выбрать две точки на одной стороне на расстоянии 1 друг от друга.

b) Пусть P , Q, R, S - четыре последовательные вершины семиугольника. Тогда P QRS - равнобокая

трапеция. Опустим из Q и R перпендикуляры QM и RN на основание P S.

d) Аналогично пункту c).

4. Какой остаток при делении на 32 даёт число 24 · 56 · 1110 · 17¹⁷?

Ответ. 16. Решение. Число из условия задачи можно обозначить как N. Оно записывается в виде

N =32k+r, где k и r - соответственно неполное частное и остаток при делении N на 32 (0⩽ r < 32).

5. Каждое из чисел от 1 до 3491 покрашено в один из k цветов (каждый цвет встречается). Оказалось, что

для каждого цвета количество чисел этого цвета равно наименьшему числу этого цвета. При каком наибольшем k это

возможно?

Ответ. 83.

Для k = 83 можно привести пример раскраски чисел: покрасим каждое из чисел от 1 до 82 в свой уникальный цвет (сами цвета

также будем соответственно называть: 1-й, 2-й, 3-й, . . . , 82-й), а числа 88, 89, 90, 91, . . . , 175 покрасим в 83-й цвет. Далее во 2-й цвет

покрасим ещё одно из пока не покрашенных чисел, в 3-й цвет - ещё два числа, и так далее, в 82-й цвет - ещё 81 число. В результате

в 1-й цвет покрашено только число 1, во 2-й цвет - два числа, из которых наименьшее равно 2, в 3-й цвет - три числа, из которых

наименьшее равно 3, и так далее, а вот в 83-й цвет покрашено 88 чисел, из которых наименьшее равно 88. Всего покрашены

82 · 83

1 + 2 + 3 + ... + 82 + 88 =

+ 88 = 3491

2

чисел, то есть все числа из набора.

Таким образом, для 83 цветов удалось предъявить пример, а большего количества цветов, как ранее доказано, быть не

может.

6. Жора решил систему уравнений

{

x² + y² = 20,

xy =⁹

2

Для каждого решения Жора посчитал, чему равно (x + y)². Чему равна сумма всех чисел, посчитанных

Жорой?

Ответ. 116.

Решение. Сложим первое равенство с удвоенным вторым и выделим в левой части полный квадрат:

Ответ. 1) 16, 24, 40;

2) 96.

Решение. 1) Для начала докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть окружности радиусами r < R расположены так, что их общая хорда является диаметром

√

меньшей из них. Тогда длина отрезка между их центрами равняется

R² - r².

8. Пусть n > 2024 - натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2024 до n. За одну

операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым умень-шая количество чисел на

доске. Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько существует натуральных n < 10 000, для которых это

число будет равно 0?

Ответ. 2976.

в этой таблице. После чего он написал в каждой клетке таблицы, сколько вы-

бранных им клеток содержится в кресте этой клетки. В результате получилась

такая таблица:

(а) (1 балл) Сколько клеток загадал Егор?

Задача 7.7. (б) (3 балла) Найдите координаты загаданных клеток.

Задача 7.8. (4 балла) В лесу 40% деревьев - хвойные, при этом ели составля-

ют 34% от числа хвойных деревьев.

(а) (1 балл) Какое наименьшее число деревьев может расти в таком лесу?

(б) (3 балла) На Новый год в лесу срубили несколько хвойных деревьев, и

доля елей среди хвойных деревьев снизилась до 33%. А какое наименьшее число

деревьев могло расти в лесу до Нового года при таком дополнительном условии?

Задача 7.9. (4 балла) Какое наименьшее количество прямоугольников 3 × 4 и

1 × 7 нужно использовать, чтобы сложить из них квадрат? При складывании

нужно использовать хотя бы один прямоугольник каждого типа.

Если взять числа 16 и 4 с плюсом, а 11 и 7 - с минусом, то итоговое значение суммы будет

равно 16 + 4 - 7 - 11 = 2. Соответствующее расположение точек показано на рисунке.

Докажем, что меньше быть не может.

Если взять оба числа 16 и 11 с плюсом, то сумма будет не меньше 16+11-7-4 = 16. Если

оба с минусом, то аналогично сумма будет не больше -16 - 11 + 7 + 4 = -16, и модуль

суммы будет не меньше 16.

Значит, 16 и 11 должны быть с разными знаками, т.е. их сумма будет равна 5 с каким-то

знаком. Теперь получаем, что из чисел 4, 5, 7 с какими-то знаками нужно сделать наи-

меньшее по модулю число. Если 4 и 5 разного знака, то получится число 7 ± 1 > 2. Иначе

получится число 9 ± 7 ⩾ 2. Значит, наименьшее возможное значение это 2.

Задача 7.4. (4 балла) Малыш и Карлсон решили пробежать три круга по стадиону. Ма-

лыш бежал всю дистанцию с постоянной скоростью 4 км/ч.

Карлсон бежал каждый круг с постоянной скоростью. Первый круг он бежал с той же

скоростью, что и Малыш. Затем он подкрепился вареньем и пробежал второй круг в шесть

раз быстрее.

После второго круга он тоже подкрепился вареньем, но понял, что объелся, и замедлился.

С какой скоростью Карлсон бежал третий круг, если они с Малышом финишировали од-

новременно, но в течение забега Карлсон потратил на поедание варенья столько же вре-

мени, сколько и на бег? Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 12

Решение. Обозначим длину круга за S км. Тогда и Малыш и Карлсон затратили на первый

круг по^S

часов. Малыш на все три круга затратил^S

⋅ 3 =^3S часов. Поскольку Карлсон

4

4

4

финишировал одновременно с Малышом, причём бежал столько же времени, сколько и

ел, то бежал он половину этого времени, т.е.^3S часов.

8

Второй круг Карлсон бежал со скоростью 24 км/ч, т.е. затратил на него^S часов. Получа-

24

ется, что на третий круг Карлсон затратил

3S

S

S

9S

6S

S

2S

S

-

-

=

-

-

=

=

8

4

24

24

24

24

24

12

Получается, что Карлсон бежал со скоростью 12 км/ч.

Задача 7.5. (4 балла) Маша, Даша и Саша загадали по числу от 1 до 9, а затем сообщили

эти числа друг другу. Оказалось, что все загаданные ребятами числа различны. После

этого каждый из них произнёс по утверждению:

• Маша: «Сумма загаданных чисел делится на 4»

• Даша: «Если бы я могла загадывать числа больше 9, я бы загадала число в три раза

больше, и тогда сумма загаданных увеличилась бы вдвое»

• Саша: «Все загаданные числа больше 2»

Напишите загаданные ими числа в любом порядке, если известно, что никто не из них

не ошибся.

Ответ: 3, 5, 8.

Решение. Поймём, что означает высказывание Даши. Пусть она загадала число x, а сумма

чисел Маши и Саши равна s. Тогда если увеличить x в три раза, сумма всех чисел станет

равна 3x + s, и она должна быть в два раза больше, чем x + s. Получаем 3x + s = 2x + 2s,

откуда x = s, т.е. число Даши равно сумме чисел Маши и Саши.

Таким образом, сумма всех чисел равна 2x и она должна делиться на 4, откуда x делится

на 2. Поскольку все числа больше 2, то x может быть равно 4, 6 или 8.

Пусть x = 4. Тогда сумма чисел Маши и Саши равна 4, но оба их числа должны быть

больше 2, противоречие.

Пусть x = 6. Тогда сумма чисел Маши и Саши равна 6. При этом оба их числа больше

2, что может быть только если они оба равны 3, но по условию все их числа различны,

противоречие.

Значит, x = 8. Тогда сумма чисел Маши и Саши равна 8, причём они оба больше 2 и

различны. Это бывает только если они равны 3 и 5. Значит, загаданные числа это 3, 5 и

8.

Задача 7.6. У Егора есть таблица 5 × 5. Назовём крестом какой-то клетки все 9 клеток из

объединения её строки и столбца. Егор выбрал несколько клеток в этой таблице. После

чего он написал в каждой клетке таблицы, сколько выбранных им клеток содержится в

кресте этой клетки. В результате получилась такая таблица:

(а) (1 балл) Сколько клеток загадал Егор?

Решение. (а) Из условия получаем, что ели составляют

34

40

17

2

34

⋅

=

⋅

=

100

100

50

5

125

от общего числа деревьев. Поскольку дробь³⁴ - несократимая, то количество деревьев

125

должно делиться на 125, чтобы количество елей было целым числом. Наименьшее нату-

ральное число, которое делится на 125 - это 125. При этом 125 деревьев могло быть, если

из них 50 хвойных, среди которых 17 елей.

(б) Мы уже поняли, что количество деревьев должно делиться на 125. Поскольку после

Нового года елей стало³³ от количества хвойных деревьев, то в этот момент количество

100

елей должно делиться на 33, а количество хвойных должно делиться на 100.

Предположим, что до Нового года было 125 деревьев. Тогда среди них было 17 елей. Но

тогда после Нового года числа, кратного 33, стать не могло.

Предположим, что до Нового года деревьев было 250. Тогда среди них было 100 хвойных,

среди которых 34 ели. Поскольку количество елей после Нового года стало кратно 33, то

это может быть только если их стало ровно 33. При этом должны срубить одну ель. Но

тогда количество хвойных деревьев уменьшилось и уже не может быть кратно 100.

При этом 375 деревьев могло быть. Среди них было 150 хвойных, среди которых 51 ель.

Потом срубили 18 елей и 32 других хвойных дерева. Елей стало 33, а всего хвойных дере-

вьев 100, т.е. ели действительно теперь составляют 33% от всех хвойных деревьев.

Задача 7.9. (4 балла) Какое наименьшее количество прямоугольников 3 × 4 и 1 × 7 нуж-

но использовать, чтобы сложить из них квадрат? При складывании нужно использовать

хотя бы один прямоугольник каждого типа.

Ответ: 10.

Решение. Приведём пример, как можно использовать 10 прямоугольников.

8 класс

Задача 8.1. (4 балла) Найдите наибольшее натуральное число n, при котором

(7!)! делится на n!.

Здесь k! означает произведение 1 · 2 · 3 · . . . · k.

Задача 8.2. (4 балла) Саша и Маша пришли в магазин. Саша купил 3 пакета

молока, 7 пачек творога и 5 йогуртов. Маша купила 2 пакета молока, 10 пачек

творога и 6 йогуртов. Саша потратил на всё 980 рублей, а Маша потратила 1160

рублей. Сколько суммарно стоит один пакет молока, одна пачка творога и один

йогурт?

Задача 8.3. (4 балла) Внутри трапеции ABCD с основаниями AD и BC от-

метили точку O. Оказалось, что AO = BO = CO = BC и DA = DO = DC.

Сколько градусов составляет угол BAO?

Задача 8.4. В компанию «Рожки и Лапки» устроилось некоторое количество

тружеников и 310 лентяев. Каждый день на работу приходило по 50 человек,

причём в конце рабочего дня 25 из них говорили: «Сегодня на работу пришло

ровно 20 лентяев». Известно, что труженики всегда говорили правду, а лентяи

всегда лгали. Через n дней оказалось, что каждый из лентяев сходил на работу

ровно 1 раз.

(а) (2 балла) Найдите наибольшее возможное значение n.

(б) (2 балла) Найдите наименьшее возможное значение n.

Задача 8.5. У Пети есть три палочки, длины которых равны a см, b см и c

см. Известно, что числа a, b и c натуральные, различные, и ac = b². Петя смог

сложить из своих палочек треугольник.

(а) (2 балла) Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?

Задача 8.6. (б) (2 балла) Пусть b = 72. Какой периметр мог быть у этого

треугольника? Укажите все варианты в любом порядке.

Задача 8.7. (4 балла) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C

провели высоту CH. На гипотенузе AB отметили точки X и Y , такие что CX

и CY - биссектрисы углов BCH и HCA соответственно. Найдите, чему равна

длина стороны AB, если известно, что периметр треугольника ABC равен 44,

а длина отрезка XY равна 6.

Задача 8.8. (4 балла) Найдите сумму цифр числа

Задача 8.9. (4 балла) Новая шахматная фигура гусь может ходить либо на

одну клетку влево, либо на две клетки вправо и одну вверх, либо на две клетки

вверх и одну вправо. Возможные ходы гуся, стоящего в клетке Г, отмечены на

рисунке крестиками. Гусь бьёт так же, как и ходит.

Несколько гусей стоят в клетках доски 8 × 8 так, что никакой гусь не бьёт

другого гуся, при этом любая незанятая клетка бьётся хотя бы одним гусём.

Сколько гусей может стоять на доске? Укажите все возможные варианты в

любом порядке.

содержание      ..     2      3      4      5     ..