содержание      ..     7      8      9      10     ..

Астрономия (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2024-2025 год) - часть 9

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап

8.3

Расширение сфер

Старая звезда в некоторый момент t₀

= 0 сбросила сферически симметричную

оболочку. Спустя малое время t₁ внешний радиус оболочки был равен 0.10 а. е.,

а внутренний - 0.09 а. е. По мере расширения оболочки, в момент времени t₂

её внешний радиус увеличился до 0.43 а. е., а внутренний - до 0.40 а. е..

а) Во сколько раз уменьшилась средняя плотность вещества оболочки от момен-

та t₁ до момента t₂?

б) Какова была средняя плотность оболочки в момент времени t₂, если сброшенная

масса составляла 0.05 массы Солнца? Выразите ответ в кг/м³.

Возможное решение:

Поскольку оболочка симметрична, её внутренняя и внешняя поверхности сохраняют

сферическую форму. Масса, заключённая внутри оболочки, постоянна. Следователь-

но, снижение плотности связано только с изменением объёма оболочки.

Объём оболочки можно вычислить либо как разность объёмов шаров с радиусами,

равными радиусам внутренней и внешней поверхности оболочки, либо как объём слоя

малой толщины: можно заметить, что расстояние между поверхностями оболочки

Рис. 10: Расширяющаяся оболочка звезды в моменты времени t₁ и t₂, соотношение

размеров сохранено. На примере момента t₂ отмечены внутренний (R_i) и внешний

(R_o) радиусы оболочки

Критерии оценивания:

Утверждение об обратной пропорциональности плотности и объёма:

а1

1

указание формулы или краткое рассуждение

Запись выражения для объёма оболочки как разности объёмов двух шаров

а2

4

или как объёма шарового слоя малой толщины

Неверный коэффициент, если приводится равенство

-1

Неверный показатель степени радиуса

-2

Вычисление объёмов оболочек (в любых физически верных единицах)

1×2

a3

исходя из полученного участником выражения для объёма оболочки

Арифметическая ошибка

-1

Вычисление отношения плотностей с учётом полученных выше оценок

2

объёмов оболочек

a4

Арифметическая ошибка

-1

Плотность увеличилась, а не уменьшилась

-2

Верный перевод массы оболочки в килограммы (отдельное действие

б1

1

или подстановка чисел в итоговую формулу)

Вычисление объёма оболочки в кубических метрах (действие могло быть

3

б2

выполнено в первом пункте задачи)

Арифметическая ошибка

-1

Вычисление плотности оболочки исходя из полученных участником

2

значений, допустима погрешность 25 %

б3

Арифметическая ошибка

-1

Отсутствие единиц измерения в ответе

-1

Всего

15

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап

8.4

Знак отличия

В советские времена лётчикам, налетавшим 1 миллион километров, выдавали

специальный значок. А кто быстрее «накрутит» это расстояние: космонавты на Меж-

дународной космической станции или космонавты на Луне? Вычислите время,

которое понадобится каждой группе космонавтов, чтобы заслужить эту награду.

Известно, что МКС летает на высоте 420 км над поверхностью Земли и совершает

1 оборот за 90 минут.

Возможное решение:

Известно, что чем планета ближе к Солнцу, тем быстрее она движется; это

справедливо во всех подобных случаях, связанных с движением вокруг одной и той же

гравитирующей массы. Поэтому на вопрос «Кто быстрее?» можно ответить сразу:

конечно, космонавты на МКС, так как станция находится ближе к Земле, чем Луна,

а обращаются МКС и Луна вокруг Земли.

Вычислим скорости Луны и МКС, считая, что они движутся вокруг Земли равномерно

по круговым орбитам. Длина орбиты связана с её радиусом соотношением l = 2πr,

а скорость v определяется исходя из длины орбиты и периода обращения T:

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап

Соответствующее время, необходимое для преодоления 1 миллиона километров,

равно

В заключение отметим, что на самом деле цель в 1 миллион километров будет

достигнута ещё быстрее, ведь и до МКС, и до Луны ещё тоже нужно было долететь.

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап

Критерии оценивания:

Вычисление скорости (или количества оборотов) Луны: выражение + ответ

2+1

1

Использование синодического месяца вместо сидерического

-1

Арифметическая ошибка

-1

Вычисление скорости (или количества оборотов) МКС: выражение + ответ.

Допустимо использование первой космической скорости как известного

2+1

факта, оценивается полным баллом

2

Перепутаны радиус и высота орбиты

-3

Арифметическая ошибка

-1

Вычисление времени для космонавтов на Луне

3

3

Арифметическая ошибка

-1

Вычисление времени для космонавтов на МКС

3

4

Арифметическая ошибка

-1

Вывод, какие космонавты быстрее «накрутят» 1 миллион км (качественно

5

3

или на основе сделанных вычислений)

Всего

15

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап

8.5

Загадочные дни

Ниже представлена диаграмма (рис. 11), иллюстрирующая изменение продолжитель-

ности дня в течение года в некотором городе. Белая область соответствует дневному

времени, остальные - различным типам сумерек и ночи (самая тёмная область).

а) Определите минимальную и максимальную продолжительность дня в этом

городе.

б) Оцените географическую широту города.

Возможное решение:

а) Для решения этой задачи воспользуемся линейкой. Пусть размер диаграммы

по горизонтальной оси (оси дат) равен X см, по вертикальной оси (оси времени) -

Y см. Таким образом, X см соответствуют 1 году, а Y см - 24 часам.

Минимальная продолжительность дня достигается в декабре. Измеряем y - наимень-

шую длину вертикального отрезка, соответствующего дневному времени (рис. 12).

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап

Теперь, используя конкретные измеренные значения y и Y, вычисляем минимальную

продолжительность дня:

y

τmin = 24 ч ×

≈ 2.2 ч.

Y

Теперь определим максимальную продолжительность дня. Как видно из диаграммы,

в июне есть некоторый период, когда ни ночь, ни сумерки вообще не наступают,

а Солнце круглосуточно находится выше горизонта. Такое явление называется поляр-

ным днём. Чтобы определить его продолжительность, измерим x - горизонтальную

ширину «окна», соответствующего полярному дню. Используя полученные в резуль-

тате измерений значения x и X, вычисляем максимальную продолжительность дня:

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап

б) Теперь определим географическую широту места наблюдения. Город находится

в Северном полушарии Земли: минимальная продолжительность дня достигается

в декабре, а максимальная - в июне (в Южном полушарии было бы наоборот).

Обратим внимание, что в городе бывает полярный день, но не бывает полярной

ночи. Это может показаться странным, ведь и эклиптика, и небесный экватор -

это большие круги небесной сферы, при пересечении они делят друг друга

пополам. И действительно, день и ночь (включая сумерки) в течение года были бы

абсолютно симметричными, если бы Солнце было точечным источником, а у Земли

не было атмосферы. Но в реальности Солнце имеет заметный угловой размер (0.5^◦),

а атмосфере Земли происходит рефракция: путь лучей искривляется, и видимое

положение светил над горизонтом оказывается выше истинного (у горизонта этот

эффект составляет около 35^′ - чуть больше углового размера Солнца). Оба этих

фактора увеличивают продолжительность дня - промежутка времени, когда хотя бы

часть диска Солнца видна над горизонтом. В частности, в дни равноденствий, вопреки

названию, продолжительность дня несколько больше 12 часов.

Существование полярного дня при отсутствии полярной ночи означает, что город

расположен прямо на полярном круге (если точнее, то указанное условие выполняется

в полосе шириной ±0.85^◦ к северу и к югу от полярного круга). В более близких к полюсу

областях Солнце зимой опускается глубже под горизонт, и величины рассмотренных

эффектов будет уже недостаточно, чтоб помешать наступлению полярной ночи.

Значит, город находится примерно на 66.5^◦ c. ш. Это Салехард.

Критерии оценивания:

Минимальная продолжительность дня: измерения + вычисления

(пропорция) + ответ (допустимая погрешность ±0.3 часа)

2+2+2

а1

Погрешность в пределах ±(0.3 - 0.5) часа

-1

Погрешность выше ±0.5 часа

-3

Максимальная продолжительность дня: измерения + вычисления

(пропорция) + ответ (допустимая погрешность ±3 сут.)

2+2+2

а2

Погрешность в пределах ±(3 ÷ 5) сут.

-1

Погрешность выше ±5 сут.

-3

Ответ «24 часа»

2

б1

Определение полушария

2

б2

Обоснование расположения города (отсутствие полярных ночей)

3

Ответ с численным значением широты

3

б3

Ответ «Северный полярный круг» без указания численного значения широты

-2

Всего

20

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап

8.6

Щели Кирквуда

В Главном поясе астероидов существуют так называемые «щели Кирквуда» - области,

где астероидов практически нет. Их появление связано с воздействием гравитации

Юпитера: если периоды обращения Юпитера и астероида вокруг Солнца соотносятся

как небольшие целые числа (например, 5 : 2, 7 : 3, 2 : 1), такая орбита нестабильна.

Определите аналогичное соотношение периодов для одной из самых заметных

«щелей», обозначенной буквой A на рисунке 13.

См. решение задачи 7.6, страница 16.

9 класс

Теоретический тур

18 марта 2025 г.

9.1. Сбросить балласт

Над экватором

безатмосферной планеты радиуса

по круговой орбите высотой

0.03

двига-ется

искусственный спутник. На экваторе планеты находится научная станция. В некоторый момент

времени, когда спутник оказался строго над станцией, от него отделилась капсула со

снаряжением общей массой 0.2 массы спутника. При расстыковке капсуле был сообщен им-пульс

таким образом, чтобы она падала строго по радиусу исходной орбиты спутника, а сам спутник

ускорился, сохраняя направление движения.

1. На какую максимальную высоту сможет подняться спутник?

2. На каком расстоянии от станции упадет капсула, если период обращения спутника на

исходной орбите в 10 раз меньше звездных суток на планете?

Обе величины выразите в единицах R.

9.2. Давайте продлим вечер

А. Автаева

В будущем «совы» настояли на своем и решили продлить световой день, чтобы вечером еще

было светло. Они отправили в одну из точек на орбите Земли, отстоящую от Земли на 60°,

плоское овальное зеркало так, чтобы отраженное в нем Солнце целиком могло быть видно

с Земли.

1. Нарисуйте расположение зеркала относительно Земли и Солнца.

2. Под каким углом к поверхности зеркала солнечные лучи падают на него?

3. Определите минимальные линейные размеры зеркала (зеркало овальное и расположено

так, чтобы отражение Солнца было полностью видно с Земли), укажите максимальный

и минимальный диаметры зеркала.

4. Оцените местное время захода за горизонт зеркального Солнца на экваторе.

5. Найдите звездную величину зеркального Солнца.

6. Как долго будет длиться полная фаза центрального затмения зеркального Солнца Лу-

ной?

Считайте орбиты Земли и Луны круговыми, пренебрегите потерями света при отражении от

зеркала.

9.3. В ожидании максимума

9 класс

Теоретический тур

18 марта 2025 г.

9.4. Цифровизация

9.5. Таинственный клад

9 класс

Теоретический тур

18 марта 2025 г.

9.1. Сбросить балласт

В. Б. Игнатьев

Над экватором безатмосферной планеты радиуса R по круговой орбите высотой 0.03R двига-

ется искусственный спутник. На экваторе планеты находится научная станция. В некоторый

момент времени, когда спутник оказался строго над станцией, от него отделилась капсула со

снаряжением общей массой 0.2 массы спутника. При расстыковке капсуле был сообщен им-

пульс таким образом, чтобы она падала строго по радиусу исходной орбиты спутника, а сам

спутник ускорился, сохраняя направление движения.

1. На какую максимальную высоту сможет подняться спутник?

2. На каком расстоянии от станции упадет капсула, если период обращения спутника на

исходной орбите в 10 раз меньше звездных суток на планете?

Обе величины выразите в единицах R.

Критерии оценивания.

15

К1. Определение скорости спутника как долю начальной круговой

3

К2. Есть понимание формы новой траектории

2

Точка расстыковки - перицентр новой орбиты, а максимальное расстояние будет в ее

апоцентре.

К3. Система уравнений, необходимая для нахождения апоцентрического расстояния

2

Законы сохранения энергии и момента импульса или им аналогичные.

К4. Найдена максимальная высота

2

Если вместо высоты найдено расстояние до центра Земли, то 1 балл.

К5. Определено время падения капсулы в долях периода планеты

4

К6. Найдено расстояние от станции до места посадки капсулы

2

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 3 из 18

9 класс

Теоретический тур

18 марта 2025 г.

9.2. Давайте продлим вечер

А. Автаева

В будущем «совы» настояли на своем и решили продлить световой день, чтобы вечером еще

было светло. Они отправили в одну из точек на орбите Земли, отстоящую от Земли на 60°,

плоское овальное зеркало так, чтобы отраженное в нем Солнце целиком могло быть видно

с Земли.

1. Нарисуйте расположение зеркала относительно Земли и Солнца.

2. Под каким углом к поверхности зеркала солнечные лучи падают на него?

3. Определите минимальные линейные размеры зеркала (зеркало овальное и расположено

так, чтобы отражение Солнца было полностью видно с Земли), укажите максимальный

и минимальный диаметры зеркала.

4. Оцените местное время захода за горизонт зеркального Солнца на экваторе.

5. Найдите звездную величину зеркального Солнца.

6. Как долго будет длиться полная фаза центрального затмения зеркального Солнца Лу-

ной?

Считайте орбиты Земли и Луны круговыми, пренебрегите потерями света при отражении от

зеркала.

2. Треугольник Земля - Зеркало - Солнце равносторонний. Зеркало плоское, значит, угол

падения равен углу отражения. Следовательно, угол между поверхностью и лучом равен

60°.

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 4 из 18

9 класс

Теоретический тур

18 марта 2025 г.

время года заход Солнца происходит в 18^h 00^m по местному времени, а суточное движение

происходит перпендикулярно плоскости горизонта. Значит, зеркальное Солнце заходит позже

на 4 часа, в 22^h 00^m.

5. Заметим, что зеркало изменяет только направление движения солнечных лучей, не меняя

их характеристик. Так как в зеркало видно полное изображение Солнца, то можно считать,

что вместо зеркала в том направлении находится Солнце на расстоянии 2 а. е. Освещенность,

создаваемая зеркалом, будет равна

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 6 из 18

9 класс

Теоретический тур

18 марта 2025 г.

9.3. В ожидании максимума

Критерии оценивания.

15

К1. Угловое расстояние L между

и Церерой

4

К2. Расстояние между Церерой и Землей в момент наблюдения

4

К3. Разность звездных величин

3

Если не рассмотрен вопрос с фазой, то -1.

К4. Синодический период

2

К5. Вычисление времени до следующего противостояния

2

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 10 из 18

9 класс

Теоретический тур

18 марта 2025 г.

9.4. Цифровизация

9 класс

Теоретический тур

18 марта 2025 г.

Первая формула дает значение разрешающей способности объектива в радианах, и для на-

хождения числа нужно знать длину волны оптического диапазона. Обычно, в астрономии

для длины волны оптического диапазона берут значение λ = 550 нм или 5500Å. Можно

воспользоваться и второй формулой, которая сразу дает значение разрешающей способности

в угловых секундах.

Критерии оценивания.

15

К1. Определение фокусного расстояния телескопа: формула + значение

1+1

К2. Определение углового размера изображения звезды

3

Вычисление дифракционного размера

1

Учет атмосферного диска дрожания

1

Правильный способ учета двух эффектов

1

Если учитывается только один эффект, то за этап не более 1 балла, но остальные оцени-

ваются в полной мере.

К3. Определение линейного размера «пятна» звезды

1

К4. Определение линейного размера одного пикселя

1

К5. Определение числа фотонов от звезды

5

Звезда занимает 9 пикселей

1

Правильный подсчет числа фотонов в пикселях, занятых звездой

1

Определение средней величины фона

1

Вычитание среднего уровня фона из отсчетов звезды

1

Учет потерь в приемнике и оптической системе

1

К6. Определение звездной величины звезды

3

Связь отношения освещенностей от числа отсчетов в пикселе

1

Получение выражения для звездной величины

1

Итоговый численный ответ с точностью 0.2^m

1

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 13 из 18

Мы получили, что клад закопан на континенте к югу от экватора в западном полушарии.

Под такое описание из материков подходит только Южная Америка.

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 15 из 18

9 класс

Теоретический тур

18 марта 2025 г.

9.6. Сливающиеся белые карлики

Критерии оценивания.

15

К1. Зависимость периода двойной от массы звезд и большой полуоси

2

Если учтена масса только одной звезды, этот этап не оценивается, но остальные оценива-

ются в полной мере.

Если в качестве большой полуоси используется половина расстояния между звездами, этот

этап не оценивается, но остальные оцениваются в полной мере.

К2. Критерий для максимального размера a

2

К3. Связь массы и радиуса белого карлика

2

Если эта величина используется как известная, то этот этап не оценивается, а остальные

оцениваются в полном объеме.

К4. Определение радиуса белого карлика

7

Если эта величина используется как известная, то этот этап не оценивается, а остальные

оцениваются в полном объеме.

Применение закона Стефана - Больцмана

1

Применение формулы Погсона для освещенностей

1

Связь видимой и абсолютной звездных величин

1

Учтено, что видимая звездная величина относится к двум звездам

1

Вывод формулы и вычисление значения радиуса

2+1

К5. Получение итогового ответа

2

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

стр. 18 из 18

9 класс

Заключительный этап

19 марта 2025 г.

9.7. Хранители полюса

Е. Н. Фадеев

В древности звёзды γ и β Малой Медведицы (Феркад и Кохаб) указывали на Северный полюс

мира, подобно тому как звёзды α и β Большой Медведицы указывают на полюс мира сейчас.

Вам предоставлен фрагмент звёздной карты с нанесенными на неё линиями экваториальной

системы координат. Суточные параллели нарисованы через каждые 10°, круги склонений -

через 1^h.

1. Как давно в последний раз Феркад и Кохаб указывали на полюс мира?

2. На каком угловом расстоянии от текущего положения он находился?

3. Выразите угловое расстояние от Кохаба до полюса мира в тот момент в долях расстояния

между Кохабом и Феркадом.

Звезда

Прямое восхождение

Звезда

Прямое восхождение

Вега

18.6^h

Кохаб

14.8^h

Капелла

5.3^h

Феркад

15.3^h

9 класс

Заключительный этап

19 марта 2025 г.

9.8. Колечко-колечко...

Угловой

размер планетарной туманности Кольцо на небе 1.5′ × 1^′. Сколько звезд 6m и ярче попало на этот

кадр? А 7m и ярче? Оцените звездную величину самых тусклых звезд на фотографии.

Межзвездным поглощением пренебречь.

Источник: Reddit

9 класс

Заключительный этап

19 марта 2025 г.

9.9. Променяли Солнце на Луну

Вам

представлена лунная аналемма, снятая по тому же принципу, что и стандартнаясолнеч-ная. В

левом нижнем углу изображения дан диск Луны, увеличенный в 12 раз по сравнению с

масштабом фото. Известно, что в период фотографирования Луны произошло летнее солн-

цестояние. Первой была сделана фотография Луны в полнолунии, отмеченная на рисунке

кружком. Считать, что нижний край фотографии параллелен горизонту.

1. Определите полушарие Земли, в котором были сделаны фотографии.

2. Найдите широту места съемки.

3. Через какой интервал времени от начала съемки сделан кадр с Луной в положении А?

4. Луна на первом кадре заходит или восходит? Отметьте на фотографии точку запада или

востока.

5. Определите эклиптическую широту Луны в точке А аналеммы.

6. Определите дату начала съемки.

Источник: APOD

содержание      ..     7      8      9      10     ..