ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 15

Задание №2096

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 22° и 91°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 22 градусов равен 180-22=158 градусов

угол противоположный углу 91 градусов равен 180-91=89 градусов

Больший из неизвестных углов 158 градусов

Ответ: 158

Задание №3714

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 79, периметр P= 322 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=82

Ответ: 82

Задание №1788

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 246. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =246 / 6 = 41

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*41=82

Ответ: 82

Задание №4243

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 100, ее большая боковая сторона равна 47 . Вычислите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 1,5

Ответ: 1,5

Задание №5131

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 33 и 12, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=12

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=90+24=114

Ответ: 114

Задание №2046

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 120 и 24. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=80

Ответ: 80

Задание №1461

Основания равнобедренной трапеции равны 60 и 32. Радиус описанной окружности равен 34. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=30

HO=16

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=30+16=46

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 46

Задание №1785

Площадь параллелограмма ABCD равна 117. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=29,25

Ответ: 29,25

Задание №3852

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 52 и 45. Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 97 / 2 = 48,5

Ответ: 48,5

Задание №1903

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 70, основание равно 84 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=2352

Подствавим значения и найдём полупериметр P=112

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=2352/112=21

Ответ: 21

Задание №1565

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 160°. Рассчитайте число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160

180*n – 360 = 160 * n

n=18

Ответ: 18

Задание №3109

Дан треугольник ABC. Стороны AC=9, BC=40, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=4

Ответ: 4

Задание №1862

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 69. Найдите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 69 / 4 = 17,25

Ответ: 17,25

Задание №5782

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 22+11√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=11

Ответ: 11

Задание №3859

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 25, 56, 85. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=25+56+85=166

Ответ: 166

Задание №3653

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 39, BC=11, CD=85. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=39+85-11=113

Ответ: 113

Задание №4762

Площадь параллелограмма ABCD равна 140. Середина стороны BC - точка E. Вычислите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=105

Ответ: 105

Задание №1872

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 134. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=67

Ответ: 67

Задание №2304

Площадь треугольника АВС равна 134. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=100,5

Ответ: 100,5

Задание №5861

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 40, AB= 57 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 194

Ответ: 194

содержание .. 13 14 15 16 ..