содержание .. 14 15 16 17 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 16
Задание №5722
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 26 и 6, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=6 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=64+12=76 Ответ: 76
Задание №1811
Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 6. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=20 Ответ: 20
Задание №4014
В треугольнике ABC AC=14, BC=48, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №5922
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 160°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160 180*n – 360 = 160 * n n=18 Ответ: 18
Задание №3801
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 23, 53, 77. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=23+53+77=153 Ответ: 153
Задание №5342
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 25, BC=6, CD=49. Найдите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=25+49-6=68 Ответ: 68
Задание №2411
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 60. Найдите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 60 / 4 = 15 Ответ: 15
Задание №2844
Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 10. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции
Решение
Построим высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=12 HO=5 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+5=17 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 17
Задание №2714
Периметр правильного шестиугольника равен 324. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =324 / 6 = 54 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*54=108 Ответ: 108
Задание №4667
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 115. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=28,75 Ответ: 28,75
Задание №3460
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 55 и 40 . Рассчитайте среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 95 / 2 = 47,5 Ответ: 47,5
Задание №2509
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 98, AB= 104 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 404 Ответ: 404
Задание №3812
Площадь параллелограмма ABCD равна 124. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=62 Ответ: 62
Задание №3121
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 115, основание равно 138 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=6348 Подствавим значения и найдём полупериметр P=184 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=6348/184=34,5
Ответ: 34,5
Задание №4500
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 85, большая боковая сторона равна 37 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 2,75 Ответ: 2,75
Задание №1645
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 76+38√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=38 Ответ: 38
Задание №5500
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 144. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=108 Ответ: 108
Задание №1724
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 118. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=88,5 Ответ: 88,5
Задание №4748
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 24° и 138°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 24 градусов равен 180-24=156 градусов угол противоположный углу 138 градусов равен 180-138=42 градусов Больший из неизвестных углов 156 градусов Ответ: 156
Задание №1146
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, периметр = 269, стророна AB= 64 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=70,5 Ответ: 70,5
содержание .. 14 15 16 17 ..