содержание .. 12 13 14 15 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 14
Задание №1696
В треугольнике ABC AC=3, BC=4, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=1 Ответ: 1
Задание №3212
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 133. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=99,75 Ответ: 99,75
Задание №1180
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 100, основание равно 120 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=4800 Подствавим значения и найдём полупериметр P=160 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=4800/160=30
Ответ: 30
Задание №4646
Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 42. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 29. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=21 HO=20 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=21+20=41 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 41
Задание №5343
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 26, 66, 89. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=26+66+89=181 Ответ: 181
Задание №3980
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 21 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=4 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=50+8=58 Ответ: 58
Задание №3480
Площадь параллелограмма ABCD равна 147. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=73,5 Ответ: 73,5
Задание №2380
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 44 и 53 . Рассчитайте среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 97 / 2 = 48,5 Ответ: 48,5
Задание №5091
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 29° и 127°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 29 градусов равен 180-29=151 градусов угол противоположный углу 127 градусов равен 180-127=53 градусов Больший из неизвестных углов 151 градусов Ответ: 151
Задание №5340
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 93, CD= 83 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 352 Ответ: 352
Задание №5524
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 31, BC=8, CD=58. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=31+58-8=81 Ответ: 81
Задание №2178
Периметр правильного шестиугольника равен 414. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =414 / 6 = 69 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*69=138 Ответ: 138
Задание №5451
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 248, стророна AB= 59 . Рассчитайте длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=65 Ответ: 65
Задание №4310
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 134. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=100,5 Ответ: 100,5
Задание №5945
Площадь параллелограмма ABCD равна 116. Середина стороны CD - точка E. Рассчитайте площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=29 Ответ: 29
Задание №2310
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Рассчитайте число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60 180*n – 360 = 60 * n n=3 Ответ: 3
Задание №4513
Основания равнобедренной трапеции равны 240 и 48. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=160 Ответ: 160
Задание №4464
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 71, ее большая боковая сторона равна 29 . Рассчитайте радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 3,25 Ответ: 3,25
Задание №3412
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 58. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 58 / 4 = 14,5 Ответ: 14,5
Задание №4109
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 86+43√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=43 Ответ: 43
содержание .. 12 13 14 15 ..