содержание .. 10 11 12 13 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 12
Задание №2825
Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 12 и 6. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=5 Ответ: 5
Задание №1074
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 142. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=106,5 Ответ: 106,5
Задание №4115
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 156°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156 180*n – 360 = 156 * n n=15 Ответ: 15
Задание №3048
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 46+23√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=23 Ответ: 23
Задание №1162
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 62, CD= 58 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 240 Ответ: 240
Задание №3316
Площадь параллелограмма ABCD равна 134. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,5 Ответ: 33,5
Задание №3222
Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 18. Радиус описанной окружности равен 15. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Построим высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=12 HO=9 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+9=21 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 21
Задание №4076
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 134. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=100,5 Ответ: 100,5
Задание №2053
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 34° и 104°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 34 градусов равен 180-34=146 градусов угол противоположный углу 104 градусов равен 180-104=76 градусов Больший из неизвестных углов 146 градусов Ответ: 146
Задание №3675
Площадь параллелограмма ABCD равна 149. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=74,5 Ответ: 74,5
Задание №4708
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 41 и 13, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=13 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=108+26=134 Ответ: 134
Задание №1165
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 20, 55, 70. Найдите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=20+55+70=145 Ответ: 145
Задание №4390
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 28, BC=9, CD=63. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=28+63-9=82 Ответ: 82
Задание №5287
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 107, большая боковая сторона трапеции равна 46 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 3,75 Ответ: 3,75
Задание №4967
В треугольнике ABC AC=15, BC=36, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №4049
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 28 и 18. Найдите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 46 / 2 = 23 Ответ: 23
Задание №2215
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 162. Рассчитайте диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =162 / 6 = 27 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*27=54 Ответ: 54
Задание №3456
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 115, основание равно 138 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=6348 Подствавим значения и найдём полупериметр P=184 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=6348/184=34,5
Ответ: 34,5
Задание №2194
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 243, стророна AB= 58 . Рассчитайте длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=63,5 Ответ: 63,5
Задание №1158
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 100. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 100 / 4 = 25 Ответ: 25
содержание .. 10 11 12 13 ..