ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 11

Задание №1359

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 145, основание равно 174 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=10092

Подствавим значения и найдём полупериметр P=232

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=10092/232=43,5

Ответ: 43,5

Задание №1261

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 53 и 18, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=18

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=142+36=178

Ответ: 178

Задание №2806

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 14 и 48. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=7

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+7=31

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 31

Задание №4637

В треугольнике ABC BC=70, AC=24, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=10

Ответ: 10

Задание №5786

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 30, BC=10, CD=78. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=30+78-10=98

Ответ: 98

Задание №5356

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 86+43√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=43

Ответ: 43

Задание №4130

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 18, 50, 66. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=18+50+66=134

Ответ: 134

Задание №5834

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 40, AB= 50 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 180

Ответ: 180

Задание №1615

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 55, периметр P= 228 . Вычислите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=59

Ответ: 59

Задание №2181

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 126. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31,5

Ответ: 31,5

Задание №5702

Площадь треугольника АВС равна 108. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=81

Ответ: 81

Задание №5631

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 160°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160

180*n – 360 = 160 * n

n=18

Ответ: 18

Задание №1114

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 57. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 57 / 4 = 14,25

Ответ: 14,25

Задание №2359

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 54 и 18. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=30

Ответ: 30

Задание №5814

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 153. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=76,5

Ответ: 76,5

Задание №2298

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 198. Рассчитайте диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит:

AB / 6 = P / 6 =198 / 6 = 33

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*33=66

Ответ: 66

Задание №3351

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 33° и 125°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 33 градусов равен 180-33=147 градусов

угол противоположный углу 125 градусов равен 180-125=55 градусов

Больший из неизвестных углов 147 градусов

Ответ: 147

Задание №3307

У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 67, большая боковая сторона трапеции равна 27 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 3,25

Ответ: 3,25

Задание №5096

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 128. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=96

Ответ: 96

Задание №2039

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 27 и 40 . Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 67 / 2 = 33,5

Ответ: 33,5

содержание .. 9 10 11 12 ..