ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 13

Задание №3062

В треугольнике ABC BC=72, AC=21, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=9

Ответ: 9

Задание №1559

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 119. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=29,75

Ответ: 29,75

Задание №4240

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 18+9√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=9

Ответ: 9

Задание №4010

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 156°. Рассчитайте число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156

180*n – 360 = 156 * n

n=15

Ответ: 15

Задание №1918

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 15, 39, 53. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=15+39+53=107

Ответ: 107

Задание №5583

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 66. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 66 / 4 = 16,5

Ответ: 16,5

Задание №5056

Площадь параллелограмма ABCD равна 123. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=61,5

Ответ: 61,5

Задание №2369

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 105, основание равно 126 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=5292

Подствавим значения и найдём полупериметр P=168

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=5292/168=31,5

Ответ: 31,5

Задание №1547

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 24 и 10. Радиус описанной окружности равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=12

HO=5

Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+5=17

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 17

Задание №5206

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 63, периметр P= 257 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=65,5

Ответ: 65,5

Задание №4990

Основания равнобедренной трапеции равны 120 и 24. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=80

Ответ: 80

Задание №4909

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 28° и 139°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 28 градусов равен 180-28=152 градусов

угол противоположный углу 139 градусов равен 180-139=41 градусов

Больший из неизвестных углов 152 градусов

Ответ: 152

Задание №4885

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 17 и 29 . Найдите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 46 / 2 = 23

Ответ: 23

Задание №1528

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 89, AB= 96 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 370

Ответ: 370

Задание №3062

Площадь параллелограмма ABCD равна 121. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=90,75

Ответ: 90,75

Задание №1211

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 210. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит:

AB / 6 = P / 6 =210 / 6 = 35

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*35=70

Ответ: 70

Задание №4495

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 39, BC=11, CD=83. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=39+83-11=111

Ответ: 111

Задание №4105

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 82, ее большая боковая сторона равна 37 . Вычислите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2

Ответ: 2

Задание №4541

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 35 и 11, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=11

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=92+22=114

Ответ: 114

Задание №3710

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 143. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=107,25

Ответ: 107,25

содержание .. 11 12 13 14 ..