Physics For Scientists And Engineers 6E - part 327

The following relationships apply to any triangle, as shown in Figure B.10:

Table B.3 lists a number of useful trigonometric identities.

a

sin ,

#

b

sin -

#

c

sin .

Law of sines

c

 

2

#

a

 

2

$

b

 

2

"

2ab cos .

Law of cosines

   

b

 

2

#

a

 

2

$

c

 

2

"

2ac cos -

a

 

2

#

b

 

2

$

c

 

2

"

2bc cos ,

, $ - $ . #

180+

A.22

Appendix B  •  Mathematics Review

cos A " cos B # 2 sin[

1

2

(A $ B)]sin[

1

2

(B " A)]

cos A $ cos B # 2 cos[

1

2

(A $ B)]cos[

1

2

(A " B)]

sin A % sin B # 2 sin[

1

2

(A % B)]cos[

1

2

(A / B)]

cos(A % B) # cos A cos B / sin A sin B

sin(A % B) # sin A cos B % cos A sin B

tan

 

*

2

#

√

1 " cos 

*

1 $ cos 

*

tan 2

*

#

2 tan 

*

1 " tan

2

 

*

1 " cos 

*

#

2 sin

2

  

*

2

cos 2

*

#

cos

2

 

*

"

sin

2

 

*

cos

2

  

*

2

#

1

2

(1 $ cos 

*

)

sin 2

*

#

2 sin 

*

 cos 

*

sin

2

  

*

2

#

1

2

(1 " cos 

*

)

sec

2

 

*

#

1 $ tan

2

 

*

csc

2

 

*

#

1 $ cot

2

 

*

sin

2

 

*

$

cos

2

 

*

#

1

Some Trigonometric Identities

Table B.3

Example 3

a

b

c

β

α

γ

Figure B.10

5

4

3

θ

φ

Figure B.12

Exercises

1. In  Figure  B.12,  identify  (a)  the  side  opposite  * (b)  the  side  adjacent  to  0.  Then

find (c) cos * (d) sin 0 (e) tan 0.

Answers (a) 3 (b) 3 (c) 

(d) 

(e) 

2. In a certain right triangle, the two sides that are perpendicular to each other are

5 m and 7 m long. What is the length of the third side?

Answer 8.60 m

4

3

4

5

4

5

Consider  the  right  triangle  in  Figure  B.11,  in  which  a # 2,
b # 5, and c is unknown. From the Pythagorean theorem, we
have

To find the angle *, note that

From a table of functions or from a calculator, we have

tan * #

a

b

#

2
5

#

0.400

5.39

c #

√

29 #

c

 

2

#

a

 

2

$

b

 

2

#

2

2

$

5

2

#

4 $ 25 # 29

where  tan

"

1

(0.400)  is  the  notation  for  “angle  whose  tan-

gent is 0.400,” sometimes written as arctan (0.400).

21.8+

* #

tan

"

1

(0.400) #

a = 2

c

θ

b = 5

Figure B.11 (Example 3).

3. A right triangle has a hypotenuse of length 3 m, and one of its angles is 30°. What

is the length of (a) the side opposite the 30° angle (b) the side adjacent to the 30°
angle?

Answers (a) 1.5 m (b) 2.60 m

B.5 Series Expansions

For x (( 1, the following approximations can be used

1

:

B.6 Differential Calculus

In various branches of science, it is sometimes necessary to use the basic tools of calcu-
lus, invented by Newton, to describe physical phenomena. The use of calculus is funda-
mental in the treatment of various problems in Newtonian mechanics, electricity, and
magnetism. In this section, we simply state some basic properties and “rules of thumb”
that should be a useful review to the student.

First, a function must be specified that relates one variable to another (such as a co-

ordinate as a function of time). Suppose one of the variables is called y (the dependent
variable), the other x (the independent variable). We might have a function relation-
ship such as

If a, b, c, and d are specified constants, then y can be calculated for any value of x. We usu-
ally deal with continuous functions, that is, those for which y varies “smoothly” with x.

The derivative of y with respect to x is defined as the limit, as )x approaches zero,

of the slopes of chords drawn between two points on the y versus x curve. Mathemati-
cally, we write this definition as

(B.28)

where )y and )x are defined as )x # x

2

"

x

1

and )y # y

2

"

y

1

(Fig. B.13). It is impor-

tant to note that dy/dx does not mean dy divided by dx, but is simply a notation of the
limiting process of the derivative as defined by Equation B.28.

dy

dx

#

lim

)

x : 0

  

)

y

)

x

#

lim

)

x : 0

  

y(x $ )x) " y(x)

)

x

y(x) # ax

 

3

$

bx

 

2

$

cx $ d

ln(1 % x)

% %x 

 tan x

% x

e

 

x

% 1 $ x

 cos x

% 1

(1 $ x)

n

% 1 $ nx

   

sin x

% x

tan x # x $

x

 

3

3

$

2x

 

5

15

$ 1 1 1

   

& x & ( 2/2

cos x # 1 "

x

 

2

2!

$

x

 

4

4!

" 1 1 1

sin x # x "

x

 

3

3!

$

x

 

5

5!

" 1 1 1

ln(1 % x) # %x "  

1

2

x

 

2

%

 

1

3

x

 

3

" 1 1 1

e

x

#

1 $ x $

x

 

2

2!

$

x

 

3

3!

$ 1 1 1

(1 $ x)

n

#

1 $ nx $

n(n " 1)

2!

 

x

 

2

$ 1 1 1

(a $ b)

n

#

a

n

$

n

1!

 

a

n"1

b $

n(n " 1)

2!

 

a

n"2

b

 

2

$ 1 1 1

S E C T I O N   B . 6     •     Differential Calculus

A.23

1

The approximations for the functions sin x, cos x, and tan x are for x 3 0.1 rad.

x in radians

y

y

2

y

1

x

1

x

2

x

∆x

∆y

Figure B.13

#

A  useful  expression  to  remember  when  y(x) # ax

n

,  where  a is  a  constant and  n is

any positive or negative number (integer or fraction), is

(B.29)

If y(x) is a polynomial or algebraic function of x, we apply Equation B.29 to each

term  in  the  polynomial  and  take  d[constant]/dx # 0.  In  Examples  4  through  7,  we
evaluate the derivatives of several functions.

Special Properties of the Derivative

A. Derivative  of  the  product  of  two  functions If  a  function  f(x)  is  given  by

the product  of  two  functions,  say,  g(x)  and  h(x),  then  the  derivative  of  f(x)  is
defined as

(B.30)

B. Derivative of the sum of two functions If a function f(x) is equal to the sum

of two  functions,  then  the  derivative  of  the  sum  is  equal  to  the  sum  of  the
derivatives:

(B.31)

C. Chain rule of differential calculus If y # f(x) and x # g(z), then dy/dz can be

written as the product of two derivatives:

(B.32)

D. The second derivative The second derivative of y with respect to x is defined as the

derivative of the function dy/dx (the derivative of the derivative). It is usually written

(B.33)

d

 

2

y

dx

 

2

#

d

dx

  

!

dy

dx

"

dy
dz

#

dy

dx

  

dx

dz

d

dx

  

f

 

(x) #

d

dx

 

[g

 

(x) $ h(x)] #

  

dg
dx

$

dh
dx

d

dx

  

f

 

(x) #

d

dx

 

[g

 

(x)h(x)] # g

   

dh
dx

$

h

  

dg

dx

dy

dx

#

nax

 

n"1

A.24

Appendix B  •  Mathematics Review

Example 4

Substituting this into Equation B.28 gives

3ax

 

2

$

b

dy

dx

#

dy

dx

#

lim

)

x : 0

 

)

y

)

x

#

lim

)

x : 0

[3ax

 

2

$

3x

 

)

x $ )x

 

2

] $ b

Example 5

Suppose y(x) (that is, y as a function of x) is given by

where a and b are constants. Then it follows that

so

)

y # y(x $ )x) " y(x) # a(3x

 

2

 

)

x $ 3x

  

)

x

 

2

$ )

x

 

3

) $ b

 

)

x

y(x $ )x) # a(x

 

3

$

3x

 

2

 

)

x $ 3x

  

)

x

 

2

$

∆x

 

3

) $ b(x $ )x) $ c

y(x $ )x) # a(x $ )x)

3

$

b(x $

∆x) $ c

y(x) # ax

 

3

$

bx $ c

Find the derivative of

Solution Applying  Equation  B.29  to  each  term  indepen-
dently, and remembering that d/dx (constant) # 0, we have

y(x) # 8x

 

5

$

4x

 

3

$

2x $ 7

40x

 

4

$

12x

 

2

$

2

dy

dx

#

dy

dx

#

8(5)x

4

$

4(3)x

 

2

$

2(1)x

 

0

$

0

Some of the more commonly used derivatives of functions are listed in Table B.4.

B.7 Integral Calculus

We think of integration as the inverse of differentiation. As an example, consider the
expression

(B.34)

which was the result of differentiating the function

in Example 4. We can write Equation B.34 as dy # f(x) dx # (3ax

2

$

b) dx and obtain

y(x) by “summing” over all values of x. Mathematically, we write this inverse operation

For the function f(x) given by Equation B.34, we have

where c is a constant of the integration. This type of integral is called an indefinite inte-
gral because its value depends on the choice of c.

A general

indefinite integral I(x) is defined as

(B.35)

where f(x) is called the integrand and 

For a general continuous function f(x), the integral can be described as the area un-

der the curve bounded by f(x) and the x axis, between two specified values of x, say, x

1

and x

2

, as in Figure B.14.

The area of the blue element is approximately 

. If we sum all these area el-

ements from x

1

and x

2

and take the limit of this sum as 

, we obtain the true

)

x

i

:

0

f

 

(x

i

)

 

)

x

i

f

 

(x) # dI(x)/dx.

I(x) #

'

 

f

 

(x) dx

y(x) #

'

 

(3ax

 

2

$

b) dx # ax

 

3

$

bx $ c

y(x) #

'

 

f

 

(x) dx

y(x) # ax

 

3

$

bx $ c

f

 

(x) #

dy

dx

#

3ax

 

2

$

b

S E C T I O N   B . 7     •     Integral Calculus

A.25

Example 6

Find the derivative of y(x) # x

3

/(x $ 1)

2

with respect to x.

Solution We can rewrite this function as y(x) # x

3

(x $ 1)

"

2

and apply Equation B.30:

dy

dx

#

(x $ 1)

"

2

  

d

dx

 

(x

 

3

) $ x

 

3

  

d

dx

 

(x $ 1)

"

2

3x

2

(x $ 1)

2

"

2x

3

(x $ 1)

3

dy

dx

#

 # (x $ 1)

"

2

 

3x

 

2

$

x

 

3

("2)(x $ 1)

"

3

Example 7

A useful formula that follows from Equation B.30 is the de-
rivative of the quotient of two functions. Show that

Solution We can write the quotient as gh

"

1

and then apply

Equations B.29 and B.30:

d

dx

 

(

g

 

(x)

h(x)

)

#

h 

dg
dx

"

g 

dh
dx

h

2

 #

h 

dg
dx

"

g 

dh
dx

h

2

 # "gh

"

2

  

dh
dx

$

h

"

1

  

dg

dx

d

dx

 

!

g

h

"

#

d

dx

 

(

 

gh

"

1

) # g

   

d

dx

 

(h

"

1

) $ h

"

1

 

d

dx

 

(g)

d

dx

 (ln ax) #

1
x

d

dx

 

(csc x) # "cot x csc x

d

dx

 

(sec x) # tan x sec x

d

dx

 

(cot ax) # "a csc

2

dx

d

dx

 

(tan ax) # a sec

2

 ax

d

dx

 (cos ax) # "a sin ax

d

dx

 (sin ax) # a cos ax

d

dx

 (e

 

ax

) # ae

 

ax

d

dx

 

(ax

n

) # nax

n" 1

d

dx

 (a) # 0

Derivative for Several
Functions

Table B.4

Note: The symbols a and n
represent constants.