Physics For Scientists And Engineers 6E - part 326

the slope of the straight line can be expressed as

(B.10)

Note that m and b can have either positive or negative values. If m ' 0, the straight

line has a positive slope, as in Figure B.1. If m ( 0, the straight line has a negative slope.
In Figure B.1, both m and b are positive. Three other possible situations are shown in
Figure B.2.

Exercises

1. Draw graphs of the following straight lines:

(a) y # 5x $ 3 (b) y # "2x $ 4 (c) y # "3x " 6

2. Find the slopes of the straight lines described in Exercise 1.

Answers (a) 5 (b) " 2 (c) " 3
3. Find the slopes of the straight lines that pass through the following sets of points:

(a) (0, "4) and (4, 2) (b) (0, 0) and (2, " 5) (c) (" 5, 2) and (4, " 2)

Answers (a) 3/2 (b) " 5/2 (c) " 4/9

Solving Simultaneous Linear Equations

Consider the equation 3x $ 5y # 15, which has two unknowns, x and y. Such an equa-
tion does not have a unique solution. For example, note that (x # 0, y # 3), (x # 5,
y # 0), and (x # 2, y # 9/5) are all solutions to this equation.

If  a  problem  has  two  unknowns,  a  unique  solution  is  possible  only  if  we  have  two

equations. In general, if a problem has n unknowns, its solution requires n equations. In
order to solve two simultaneous equations involving two unknowns, x and y, we solve one
of the equations for x in terms of y and substitute this expression into the other equation.

Slope #

y

 

2

"

y

1

x

 

2

"

x

1

#

)

y

)

x

A.18

Appendix B  •  Mathematics Review

Example 2

y

(1)

(2)

(3)

m > 0

b < 0

m < 0

b > 0

m < 0

b < 0

x

Figure B.2

Two  linear  equations  containing  two  unknowns  can  also  be  solved  by  a  graphical

method. If the straight lines corresponding to the two equations are plotted in a con-
ventional coordinate system, the intersection of the two lines represents the solution.
For example, consider the two equations

x " 2y # "1

x " y # 2

Solve the following two simultaneous equations:

Solution From Equation (2), x # y $ 2. Substitution of this
into Equation (1) gives

"

1

x # y $ 2 #

"

3

y #

6y # "18

5(y $ 2) $ y # "8

(2)

     

2x " 2y # 4

(1)

 5x $ y # "8

Alternate Solution Multiply each term in Equation (1) by
the factor 2 and add the result to Equation (2):

"

3

y # x " 2 #

"

1

x #

12x # "12

2x " 2y # 4

10x $ 2y # "16

These are plotted in Figure B.3. The intersection of the two lines has the coordinates
x # 5,  y # 3.  This  represents  the  solution  to  the  equations.  You  should  check  this
solution by the analytical technique discussed above.

Exercises

Solve the following pairs of simultaneous equations involving two unknowns:

Answers

1. x $ y # 8

x # 5, y # 3

x " y # 2

2. 98 " T # 10a

T # 65, a # 3.3

T " 49 # 5a

3. 6x $ 2y # 6

x # 2, y # " 3

8x " 4y # 28

Logarithms

Suppose that a quantity x is expressed as a power of some quantity a:

(B.11)

The number a is called the 

base number. The logarithm of x with respect to the base

a is equal to the exponent to which the base must be raised in order to satisfy the ex-
pression x # a

y

:

(B.12)

Conversely, the 

antilogarithm of y is the number x:

(B.13)

In practice, the two bases most often used are base 10, called the common logarithm

base,  and  base  e # 2.718 282,  called  Euler’s  constant  or  the  natural logarithm  base.
When common logarithms are used,

(B.14)

When natural logarithms are used,

(B.15)

For  example,  log

10

52 # 1.716,  so  that  antilog

10

1.716 # 10

1.716

#

52.  Likewise,

ln 52 # 3.951, so antiln 3.951 # e

3.951

#

52.

In general, note that you can convert between base 10 and base e with the equality

(B.16)

Finally, some useful properties of logarithms are

ln

 

x # (2.302 585) log

10

 

x

y # ln

 

x

   

(or x # e

 

y

)

y # log

10

  

x

   

(or x # 10

y

)

x # antilog

a

  

y

y # log

a

  

x

x # a

 

y

S E C T I O N   B . 2     •     Algebra

A.19

5
4
3
2
1

x – 2y = –1

1 2 3 4 5 6

(5, 3)

x

x – y = 2

y

Figure B.3

any base

ln

 

!

1
a

"

# "

ln

 

a

ln

 

e

 

a

#

a

ln

 

e # 1

log(a

n

) # n

  

log

 

a

log(a/b) # log

 

a " log

 

b

log(ab) # log

 

a $ log

 

b

#

B.3 Geometry

The

distance d between two points having coordinates (x

1

, y

1

) and (x

2

, y

2

) is

(B.17)

Radian measure: The arc length s of a circular arc (Fig. B.4) is proportional to

the radius r for a fixed value of * (in radians):

(B.18)

Table  B.2  gives  the  areas  and  volumes  for  several  geometric  shapes  used  throughout
this text:

s # r

 

*

* #

s

r

d #

√

(x

 

2

"

x

 

1

)

2

$

(y

 

2

"

y

 

1

)

2

A.20

Appendix B  •  Mathematics Review

Shape

Area or Volume

Shape

Area or Volume

Useful Information for Geometry

Table B.2

r

θ

s

Figure B.4

y

0

b

a

x

Figure B.6

Rectangle

w

r

Circle

Triangle

h

Sphere

r

Cylinder

Rectangular box

r

!

Lateral surface

area = 2

  r!

Volume = 

  r

2

!

Surface area = 4

  r

2

Surface area =

2(!h + !w + hw)

Volume = !wh

w

h

Area =  r

2

(Circumference = 2

  r)

Area = !w

b

!

!

Area =   bh

1

2

Volume = 4  r

3

3

π

π

π

π

π

π

b

0

y

m = slope

x

Figure B.5

The equation of a

straight line (Fig. B.5) is

(B.19)

where b is the y intercept and m is the slope of the line.

The equation of a

circle of radius R centered at the origin is

(B.20)

The equation of an

ellipse having the origin at its center (Fig. B.6) is

(B.21)

x

 

2

a

 

2

$

y

 

2

b

 

2

#

1

x

 

2

$

y

 

2

#

R

 

2

y # mx $ b

where a is the length of the semimajor axis (the longer one) and b is the length of the
semiminor axis (the shorter one).

The equation of a

parabola the vertex of which is at y # b (Fig. B.7) is

(B.22)

The equation of a

rectangular hyperbola (Fig. B.8) is

(B.23)

B.4 Trigonometry

That  portion  of  mathematics  based  on  the  special  properties  of  the  right  triangle  is
called trigonometry. By definition, a right triangle is one containing a 90° angle. Con-
sider the right triangle shown in Figure B.9, where side a is opposite the angle *, side b
is adjacent to the angle *, and side c is the hypotenuse of the triangle. The three basic
trigonometric functions defined by such a triangle are the sine (sin), cosine (cos), and
tangent (tan) functions. In terms of the angle *, these functions are defined by

(B.24)

(B.25)

(B.26)

The Pythagorean theorem provides the following relationship among the sides of a

right triangle:

(B.27)

From the above definitions and the Pythagorean theorem, it follows that

The cosecant, secant, and cotangent functions are defined by

The relationships below follow directly from the right triangle shown in Figure B.9:

Some properties of trigonometric functions are

tan ("*) # "tan *

cos ("*) # cos *

sin ("*) # "sin *

cot * # tan(90+ " *)

cos * # sin(90+ " *)

sin * # cos(90+ " *)

csc * 

$ 

1

sin *

   

sec * 

$ 

1

cos *

   

cot * 

$ 

1

tan *

tan * #

sin *

cos *

sin

2

 * $ cos

2

 * # 1

c

 

2

#

a

 

2

$

b

 

2

xy # constant

y # ax

 

2

$

b

S E C T I O N   B . 4     •     Trigonometry

A.21

y

b

0

x

Figure B.7

0

y

x

Figure B.8

a = opposite side

b = adjacent side

c = hypotenuse

90

°–

θ

c

a

b

90

°

θ

θ

Figure B.9

tan

 

*

 

$ 

side opposite *

side adjacent to *

#

a
b

cos

 

*

 

$ 

side adjacent to *

hypotenuse

#

b
c

sin

 

*

 

$ 

side opposite *

hypotenuse

#

a

c