Physics For Scientists And Engineers 6E - part 325

A.14

These  appendices  in  mathematics  are  intended  as  a  brief  review  of  operations  and
methods. Early in this course, you should be totally familiar with basic algebraic tech-
niques, analytic geometry, and trigonometry. The appendices on differential and inte-
gral calculus are more detailed and are intended for those students who have difficulty
applying calculus concepts to physical situations.

B.1 Scientific Notation

Many quantities that scientists deal with often have very large or very small values. For
example, the speed of light is about 300 000 000 m/s, and the ink required to make
the dot over an i in this textbook has a mass of about 0.000 000 001 kg. Obviously, it is
very cumbersome to read, write, and keep track of numbers such as these. We avoid
this problem by using a method dealing with powers of the number 10:

and so on. The number of zeros corresponds to the power to which 10 is raised, called
the 

exponent of  10.  For  example,  the  speed  of  light,  300 000 000 m/s,  can  be  ex-

pressed as 3 ! 10

8

m/s.

In this method, some representative numbers smaller than unity are

In  these  cases,  the  number  of  places  the  decimal  point  is  to  the  left  of  the  digit  1
equals  the  value  of  the  (negative)  exponent.  Numbers  expressed  as  some  power  of
10 multiplied by another number between 1 and 10 are said to be in 

scientific nota-

tion. For example, the scientific notation for 5 943 000 000 is 5.943 ! 10

9

and that for

0.000 083 2 is 8.32 ! 10

"

5

.

When numbers expressed in scientific notation are being multiplied, the following

general rule is very useful:

(B.1)

10

n

!

10

m

#

10

n$m

10

"

5

#

1

10 ! 10 ! 10 ! 10 ! 10

#

0.000 01

10

"

4

#

1

10 ! 10 ! 10 ! 10

#

0.000 1

10

"

3

#

1

10 ! 10 ! 10

#

0.001

10

"

2

#

1

10 ! 10

#

0.01

10

"

1

#

1

10

#

0.1

10

0

#

1

10

1

#

10

10

2

#

10 ! 10 # 100

10

3

#

10 ! 10 ! 10 # 1000

10

4

#

10 ! 10 ! 10 ! 10 # 10 000

10

5

#

10 ! 10 ! 10 ! 10 ! 10 # 100 000

Appendix B  •  Mathematics Review

where n and m can be any numbers (not necessarily integers). For example, 10

2

!

10

5

#

10

7

. The rule also applies if one of the exponents is negative: 10

3

!

10

"

8

#

10

"

5

.

When dividing numbers expressed in scientific notation, note that

(B.2)

Exercises

With help from the above rules, verify the answers to the following:

1. 86 400 # 8.64 ! 10

4

2. 9 816 762.5 # 9.816 762 5 ! 10

6

3. 0.000 000 039 8 # 3.98 ! 10

"

8

4. (4 ! 10

8

) (9 ! 10

9

) # 3.6 ! 10

18

5. (3 ! 10

7

) (6 ! 10

"

12

) # 1.8 ! 10

"

4

6.

7.

B.2 Algebra

Some Basic Rules

When algebraic operations are performed, the laws of arithmetic apply. Symbols such
as x, y, and z are usually used to represent quantities that are not specified, what are
called the 

unknowns.

First, consider the equation

8x # 32

If we wish to solve for x, we can divide (or multiply) each side of the equation by the same
factor without destroying the equality. In this case, if we divide both sides by 8, we have

Next consider the equation

x $ 2 # 8

In this type of expression, we can add or subtract the same quantity from each side. If
we subtract 2 from each side, we obtain

In general, if x $ a # b, then x # b " a.

Now consider the equation

If we multiply each side by 5, we are left with x on the left by itself and 45 on the right:

x # 45

!

x

5

"

(5) # 9 ! 5

x

5

#

9

x # 6

x $ 2 " 2 # 8 " 2

x # 4

8x

8

#

32

8

(3 ! 10

6

)(8 ! 10

"

2

)

(2 ! 10

17

)(6 ! 10

5

)

#

2 ! 10

"

18

75 ! 10

"

11

5 ! 10

"

3

#

1.5 ! 10

"

7

10

n

10

m

#

10

n

!

10

"

m

#

10

n"m

S E C T I O N   B . 2     •     Algebra

A.15

In  all  cases,  whatever  operation  is  performed  on  the  left  side  of  the  equality  must  also  be  per-
formed on the right side.

The  following  rules  for  multiplying,  dividing,  adding,  and  subtracting  fractions

should be recalled, where a, b, and c are three numbers:

A.16

Appendix B  •  Mathematics Review

Rule

Example

Multiplying

Dividing

Adding

2
3

"

4
5

  #

(2)(5) " (4)(3)

(3)(5)

# "

2

15

 

a

b

%

c

d

#

ad % bc

bd

2/3
4/5

 #

(2)(5)
(4)(3)

#

10
12

 

(a/b)

(c/d)

#

ad

bc

!

2
3

"!

4
5

"

#

8

15

 

!

a

b

"!

c

d

"

#

ac

bd

Exercises

In the following exercises, solve for x:

Answers

1.

2.

3.

4.

Powers

When powers of a given quantity x are multiplied, the following rule applies:

(B.3)

For example, x

2

x

4

#

x

2$4

#

x

6

.

When dividing the powers of a given quantity, the rule is

(B.4)

For example, x

8

/x

2

#

x

8"2

#

x

6

.

A power that is a fraction, such as  , corresponds to a root as follows:

(B.5)

For example, 

. (A scientific calculator is useful for such calculations.)

Finally, any quantity x

n

raised to the mth power is

(B.6)

Table B.1 summarizes the rules of exponents.

Exercises

Verify the following:

1. 3

2

!

3

3

#

243

2. x

5

x

"

8

#

x

"

3

(x

 

n

)

m

#

x

 

nm

4

1/3

#

√

3

4 # 1.5874

x

1/n

#

√

n

x

1

3

x

 

n

x

 

m

 

#

x

 

n"m

x

 

n

 

x

 

m

#

x

 

n$m

5

2x $ 6

#

3

4x $ 8

   

x # "

11

7

ax " 5 # bx $ 2

 x #

7

a " b

3x " 5 # 13

 x # 6

a #

1

1 $ x

 x #

1 " a

a

(x

 

n

)

m

#

x

nm

x

 

1/n

#

√

n

x

x

 

n

/x

 

m

#

x

 

n"m

x

 

n

x

 

m

#

x

 

n$m

x

 

1

#

x

x

 

0

#

1

Rules of Exponents

Table B.1

3. x

10

/x

"

5

#

x

15

4. 5

1/3

#

1.709 975

(Use your calculator.)

5. 60

1/4

#

2.783 158

(Use your calculator.)

6. (x

4

)

3

#

x

12

Factoring

Some useful formulas for factoring an equation are

Quadratic Equations

The general form of a quadratic equation is

(B.7)

where x is the unknown quantity and a, b, and c are numerical factors referred to as
coefficients of the equation. This equation has two roots, given by

(B.8)

If b

2

&

4ac, the roots are real.

x #

"

b %

√

b

 

2

"

4ac

2a

ax

 

2

$

bx $ c # 0

a

 

2

"

b

 

2

#

(a $ b)(a " b)

   

differences of squares

a

 

2

$

2ab $ b

 

2

#

(a $ b)

2

 perfect square

ax $ ay $ az # a(x $ y $ z)

 common factor

S E C T I O N   B . 2     •     Algebra

A.17

Example 1

Exercises

Solve the following quadratic equations:

Answers

1.
2.
3.

Linear Equations

A linear equation has the general form

(B.9)

where m and b are constants. This equation is referred to as being linear because the
graph of y versus x is a straight line, as shown in Figure B.1. The constant b, called the
y-intercept, represents  the  value  of  y at  which  the  straight  line  intersects  the  y axis.
The  constant  m is  equal  to  the

slope  of  the  straight  line.  If  any  two  points  on  the

straight line are specified by the coordinates (x

1

, y

1

) and (x

2

, y

2

), as in Figure B.1, then

y # mx $ b

2x

 

2

"

4x " 9 # 0

   

x

$

#

1 $

√

22/2

   

x

"

#

1 "

√

22/2

2x

 

2

"

5x $ 2 # 0

   

x

$

#

2

 

 

x

"

#

1

2

x

 

2

$

2x " 3 # 0

 x

$

#

1

 

 

x

"

# "

3

The equation x

2

$

5x $ 4 # 0 has the following roots corre-

sponding to the two signs of the square-root term:

x #

"

5 %

√

5

2

"

(4)(1)(4)

2(1)

#

"

5 %

√

9

2

#

"

5 % 3

2

where x

$

refers to the root corresponding to the positive sign

and x

"

refers to the root corresponding to the negative sign.

"

4

x

"

#

"

5 " 3

2

#

"

1

x

$

#

"

5 $ 3

2

#

y

(x

1

, y

1

)

(x

2

, y

2

)

∆y

∆x

(0, b)

(0, 0)

x

Figure B.1