Physics For Scientists And Engineers 6E - part 328

area under the curve bounded by f(x) and x, between the limits x

1

and x

2

:

(B.36)

Integrals of the type defined by Equation B.36 are called 

definite integrals.

One common integral that arises in practical situations has the form

(B.37)

This result is obvious, being that differentiation of the right-hand side with respect to x
gives f(x) # x

n

directly. If the limits of the integration are known, this integral becomes

a definite integral and is written

(B.38)

Examples

1.

2.

3.

Partial Integration

Sometimes it is useful to apply the method of partial integration (also called “integrating
by parts”) to evaluate certain integrals. The method uses the property that

(B.39)

where u and v are carefully chosen so as to reduce a complex integral to a simpler one.
In many cases, several reductions have to be made. Consider the function

This can be evaluated by integrating by parts twice. First, if we choose u # x

2

, v # e

x

,

we obtain

Now, in the second term, choose u # x, v # e

x

, which gives

'

 

x

 

2

e

 

x

  

dx #

'

 

x

 

2

  

d(e

 

x

) # x

 

2

e

 

x

"

2

'

 

e

 

x

x

  

dx $ c

1

I(x) #

'

 

x

 

2

e

 

x

 

dx

'

 

u

  

dv # uv "

'

 

v

  

du

'

5

3

 

x

  

dx #

x

 

2

2

)

5

3

#

5

2

"

3

2

2

#

8

'

b

0

 

x

 

3/2

 

dx #

x

 

5/2

5/2

)

b

0

#

2

5

b

 

5/2

'

a

0

 

x

 

2

 

dx #

x

 

3

3

)

a

0

#

a

 

3

3

'

x

 

2

x

1

 

x

n

 dx #

x

 

n$1

n $ 1

&

x

 

2

x

1

#

x

2

n$1

"

x

1

n$1

n $ 1

   

(n 4 "1)

'

 

x

 

n

 dx #

x

n$1

n $ 1

$

c

   

(n 4 "1)

Area # lim

)

x : 0

 

*

i

 

 

f

 

(x

i

) )x

i

#

'

x

 

2

x

1

  

f

 

(x) dx

A.26

Appendix B  •  Mathematics Review

∆x

i

x

2

f(x

i

)

f(x)

x

1

Figure B.14

or

The Perfect Differential

Another useful method to remember is the use of the perfect differential, in which we look
for a change of variable such that the differential of the function is the differential of the
independent variable appearing in the integrand. For example, consider the integral

This  becomes  easy  to  evaluate  if  we  rewrite  the  differential  as  d(cos  x) # "sin  x dx.
The integral then becomes

If we now change variables, letting y # cos x, we obtain

Table B.5 lists some useful indefinite integrals. Table B.6 gives Gauss’s probability

integral  and  other  definite  integrals.  A  more  complete  list  can  be  found  in  various
handbooks, such as The Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press.

'

 

cos

2

 

x 

 

sin

  

x 

 

dx # "

'

 

y

 

2

dy  # "

y

 

3

3

$

c # "

cos

3

 

x

3

$

c

'

 

cos

2

 

x 

 

sin

  

x 

 

dx # "

'

 

cos

2

 

x d(cos x)

I(x

 

) #

'

 

cos

2

 

x 

 

sin x

  

dx

'

 

x

 

2

e

 

x

 

dx # x

 

2

e

 

x

"

2xe

 

x

$

2e

 

x

$

c

 

2

'

 

x

 

2

e

 

x

  

dx # x

 

2

 

e

 

x

"

2x

 

e

 

x

$

2

'

 

e

 

x

 

dx $ c

 

1

S E C T I O N   B . 7     •     Integral Calculus

A.27

'

 

ln ax dx # (x ln ax) " x

'

x dx

a

 

2 

%

 

x

 

2

# %

 

1

2 

ln(a

 

2 

%

 

x

 

2

)

'

 

e

ax

 dx #

1
a

 e

ax

'

 

dx

x

2

"

a

2

#

1

2a

 ln 

x " a
x $ a

   

(x

 

2

"

a

2

'

0)

'

 

x(

√

x

 

2 

%

 

a

2

) dx #

1

3

(x

 

2

%

a

 

2

)

3/2

'

  

dx

a

2

"

x

 

2

#

1

2a

 ln 

a $ x
a " x

   

(a

2

"

x

2

'

0)

'

 

√

x

 

2 

%

 a

 

2

 

dx #

1

2

[x

 

√

x

 

2

%

a

 

2

 % a

 

2 

 

ln(x $

√

x

 

2

%

a

 

2

)]

'

dx

a

 

2

$

x

 

2

#

1
a

 tan

"

1

 

x

a

'

 

x

 

√

a

2

"

x

2

 

dx # "

1

3

(a

2

"

x

2

)

3/2

'

 

dx

(a $ bx)

2

# "

1

b(a $ bx)

'

√

a

2

"

x

2

 dx #

1

2 

!

x

 

√

a

2

"

x

2

$

a

2

 sin

"

1 

x
a

"

'

 

dx

x(x $ a)

# "

1
a

 ln 

x $ a

x

'

  

x dx

√

x

2 

%

 a

2

#

√

x

2 

%

 a

2

'

 

xdx

a $ bx

#

x
b

"

a

b

2

 ln(a $ bx)

'

 

x dx

√

a

2

"

x

 

2

# "

√

a

2

"

x

 

2

'

 

dx

a $ bx

#

1

b

 ln(a $ bx)

'

 

dx

√

x

2 

%

 a

2

#

ln(x $

√

x

 

2

%

a

 

2

)

'

 

dx

x

#

'

x

"

1

dx # ln x

'

 

dx

√

a

 

2

"

x

 

2

#

sin

"

1

 

x
a

# "

cos

"

1

 

x
a

   

(a

2

"

x

 

2

'

0)

'

 

x

n

 

dx #

x

n$1

n $ 1

   

(provided n 4 "1)

Some Indefinite Integrals (An arbitrary constant should be added to each of these integrals.)

Table B.5

continued

A.28

Appendix B  •  Mathematics Review

(Gauss’s probability integral)

I

2n$ 1

#

(" 1)

n

 

d

n

da

n

 I

1

I

2n

#

(" 1)

n

 

d

n

da

n

 I

0

...

I

 

5

#

'

5

0

 

x

 

5

e

"

ax

 

2

 

dx #

d

 

2

I

 

1

da

 

2

#

1

a

3

I

4

#

'

5

0

 

x

4

e

"

ax

 

2

 

dx #

d

 

2

I

 

0

da

2

#

3
8

 

√

2

a

5

I

3

#

'

5

0

 

x

3

e

"

ax

 

2

 

dx # "

dI

1

da

#

1

2a

2

I

2

#

'

5

0

 

x

2

 

e

"

ax

 

2

 

dx # "

dI

0

da

#

1
4

  

√

2

a

3

I

1

#

'

5

0

 

xe

"

ax

 

2

  

dx #

1

2a

I

0

#

'

5

0

 

e

"

ax

 

2

 

dx #

1
2

  

√

2

a

'

5

0

 

x

n

 

e

"

ax

  

dx #

n!

a

n$1

Gauss’s Probability Integral and Other Definite Integrals

Table B.6

'

x dx

(x

2

$

a

2

)

3/2

# "

1

√

x

2

$

a

2

'

sin

2

 ax dx #

x

2

"

sin 2ax

4a

'

 

dx

(x

2

$

a

2

)

3/2

#

x

a

2

√

x

2

$

a

2

'

 

csc ax dx #

1
a

 ln(csc ax " cot ax) #

1
a

 ln 

!

tan 

ax

2

"

'

 

cos

"

1

 ax dx # x(cos

"

1

 ax) "

√

1 " a

 

2

x

 

2

a

'

 

sec ax dx #

1
a

 ln(sec ax $ tan ax) #

1
a

 ln 

(

tan 

!

ax

2

$

2

4

"

)

'

  

sin

"

1

 ax dx # x(sin

"

1

 ax) $

√

1 " a

 

2

 

x

 

2

a

'

 

cot ax dx #

1
a

 ln(sin ax)

'

 

cot

2

 ax dx # "

1
a

 

(cot ax) " x

'

 

tan ax dx # "

1
a

 ln(cos ax) #

1
a

 ln(sec ax)

'

 

tan

2

 ax dx #

1
a

 

(tan ax) " x

'

 

cos ax dx #

1
a

 sin ax

'

 

dx

cos

2

 

ax

#

1
a

 tan ax

'

 

sin ax dx # "

1
a

 cos ax

'

 

dx

sin

2

 

ax

# "

1
a

 cot ax

'

 

dx

a $ be

cx

#

x
a

"

1

ac

 ln(a $ be

cx

)

'

 

cos

2

 

ax dx #

x
2

$

sin 2ax

4a

'

 

xe

ax

 dx #

e

ax

a

2

 

(ax " 1)

Some Indefinite Integrals (An arbitrary constant should be added to each of these integrals.) 

continued

Table B.5

B.8 Propagation of Uncertainty

In laboratory experiments, a common activity is to take measurements that act as raw
data.  These  measurements  are  of  several  types — length,  time  interval,  temperature,
voltage,  etc. — and  are  taken  by  a  variety  of  instruments.  Regardless  of  the  measure-

ment and the quality of the instrumentation, 

there is always uncertainty associated

with  a  physical  measurement. This uncertainty is a combination of that associated
with the instrument and that related to the system being measured. An example of the
former is the inability to exactly determine the position of a length measurement be-
tween the lines on a meter stick. An example of uncertainty related to the system being
measured is the variation of temperature within a sample of water so that a single tem-
perature for the sample is difficult to determine.

Uncertainties can be expressed in two ways. 

Absolute uncertainty refers to an un-

certainty expressed in the same units as the measurement. Thus, a length might be ex-
pressed as (5.5 % 0.1) cm, as was the length of the computer disk label in Section 1.7.
The  uncertainty  of  % 0.1 cm  by  itself  is  not  descriptive  enough  for  some  purposes,
however. This is a large uncertainty if the measurement is 1.0 cm, but it is a small un-
certainty if the measurement is 100 m. To give a more descriptive account of the uncer-
tainty, 

fractional uncertainty or percent uncertainty is used. In this type of descrip-

tion,  the  uncertainty  is  divided  by  the  actual  measurement.  Thus,  the  length  of  the
computer disk label could be expressed as

or as

When combining measurements in a calculation, the uncertainty in the final result

is larger than the uncertainty in the individual measurements. This is called 

propaga-

tion of uncertainty and is one of the challenges of experimental physics. As a calcula-
tion becomes more complicated, there is increased propagation of uncertainty and the
uncertainty in the value of the final result can grow to be quite large.

There are simple rules that can provide a reasonable estimate of the uncertainty in

a calculated result:

Multiplication and division: When measurements with uncertainties are multiplied
or divided, add the percent uncertainties to obtain the percent uncertainty in the result.

Example: The Area of a Rectangular Plate

Addition and subtraction: When measurements with uncertainties are added or
subtracted,  add  the  absolute  uncertainties to  obtain  the  absolute  uncertainty  in  the
result.

Example: A Change in Temperature

Powers:  If  a  measurement  is  taken  to  a  power,  the  percent  uncertainty  is  multi-
plied by that power to obtain the percent uncertainty in the result.

Example: The Volume of a Sphere

Notice that uncertainties in a calculation always add. As a result, an experiment involv-
ing a subtraction should be avoided if possible. This is especially true if the measure-
ments being subtracted are close together. The result of such a calculation is a small
difference in the measurements and uncertainties that add together. It is possible that
the uncertainty in the result could be larger than the result itself!

 # (998 % 60) cm

3

V #

4

3

2

r

  

3

#

4

3

2

(6.20 cm % 2.0%)

3

#

998 cm

3

%

6.0%

 # 71.6+C % 4.2%

∆T # T

2

"

T

1

#

(99.2 % 1.5)+C " (27.6 % 1.5)+C # (71.6 % 3.0)+C

 # (35 % 1) cm

2

A # !w # (5.5 cm % 1.8%) ! (6.4 cm % 1.6%) # 35 cm

2

%

3.4%

! #

5.5 cm % 1.8%

   

(percent uncertainty)

! #

5.5 cm %

0.1 cm
5.5 cm

#

5.5 cm % 0.018

   

(fractional uncertainty)

S E C T I O N   B . 8     •     Propogation of Uncertainty

A.29