Physics For Scientists And Engineers 6E - part 315

S E C T I O N   3 9 . 4 •  Consequences of the Special Theory of Relativity

1257

The Twin Paradox

An intriguing consequence of time dilation is the so-called  twin paradox (Fig. 39.10).
Consider an experiment involving a set of twins named Speedo and Goslo. When they
are 20 yr old, Speedo, the more adventuresome of the two, sets out on an epic journey
to  Planet  X,  located  20 ly  from  the  Earth.  (Note  that  1  lightyear  (ly)  is  the  distance
light travels through free space in 1 year.) Furthermore, Speedo’s spacecraft is capable
of  reaching  a  speed  of  0.95c relative  to  the  inertial  frame  of  his  twin  brother
back home.  After  reaching  Planet  X,  Speedo  becomes  homesick  and  immediately
returns to the Earth at the same speed 0.95c. Upon his return, Speedo is shocked to
discover that Goslo has aged 42 yr and is now 62 yr old. Speedo, on the other hand,
has aged only 13 yr.

At this point, it is fair to raise the following question—which twin is the traveler and

which is really younger as a result of this experiment? From Goslo’s frame of reference,
he was at rest while his brother traveled at a high speed away from him and then came
back. According to Speedo, however, he himself remained stationary while Goslo and
the  Earth  raced  away  from  him  and  then  headed  back.  This  leads  to  an  apparent

Suppose  you  are  driving  your  car  on  a  business  trip  and
are  traveling  at  30 m/s.  Your  boss,  who  is  waiting  at  your
destination,  expects  the  trip  to  take  5.0 h.  When  you
arrive  late,  your  excuse  is  that  your  car  clock  registered
the passage of 5.0 h but that you were driving fast and so
your clock ran more slowly than your boss’s clock. If your
car clock actually did indicate a 5.0-h trip, how much time
passed  on  your  boss’s  clock,  which  was  at  rest  on  the
Earth?

Solution We begin by calculating * from Equation 39.8:

!

1

√

1 # 10

#

14

* !

1

√

1 #

v

2

c

2

!

1

√

1 #

(3 $ 10

1

 m/s)

2

(3 $ 10

8

 m/s)

2

If  you  try  to  determine  this  value  on  your  calculator,  you
will  probably  obtain  * ! 1.  However,  if  we  perform  a
binomial expansion, we can more precisely determine the
value as

This  result  indicates  that  at  typical  automobile  speeds,  * is
not much different from 1.

Applying  Equation  39.7,  we  find  't,  the  time  interval

measured by your boss, to be

'

t ! * 't

p

!

(1 & 5.0 $ 10

#

15

)(5.0 h)

!

5.0 h & 2.5 $ 10

#

14

h !

Your  boss’s  clock  would  be  only  0.09 ns  ahead  of  your  car
clock. You might want to think of another excuse!

5.0 h & 0.09 ns

* !

(1 # 10

#

14

)

#

1/2

% 1 &

1

2

 

(10

#

14

) ! 1 & 5.0 $ 10

#

15

Example 39.2 How Long Was Your Trip?

(a)

(b)

Speedo

Goslo

Speedo

Goslo

Figure 39.10 (a) As one twin leaves his brother on the Earth, both are the same age.

(b) When Speedo returns from his journey to Planet X, he is younger than his twin Goslo.

1258

C H A P T E R   3 9 •  Relativity

contradiction  due  to  the  apparent  symmetry  of  the  observations.  Which  twin  has
developed signs of excess aging?

The situation in our current problem is actually not symmetrical. To resolve this

apparent paradox, recall that the special theory of relativity describes observations
made  in  inertial  frames  of  reference  moving  relative  to  each  other.  Speedo,
the space  traveler,  must  experience  a  series  of  accelerations  during  his  journey
because  he  must  fire  his  rocket  engines  to  slow  down  and  start  moving  back
toward Earth.  As  a  result,  his  speed  is  not  always  uniform,  and  consequently  he
is not  in  an  inertial  frame.  Therefore,  there  is  no  paradox—only  Goslo,  who  is
always  in  a  single  inertial  frame,  can  make  correct  predictions  based  on  special
relativity.  During  each  passing  year  noted  by  Goslo,  slightly  less  than  4  months
elapses for Speedo.

Only  Goslo,  who  is  in  a  single  inertial  frame,  can  apply  the  simple  time-dilation

formula  to  Speedo’s  trip.  Thus,  Goslo  finds  that  instead  of  aging  42 yr,  Speedo  ages
only  (1 # v

2

/c

2

)

1/2

(42 yr) ! 13 yr.  Thus,  according  to  Goslo,  Speedo  spends  6.5 yr

traveling to Planet X and 6.5 yr returning, for a total travel time of 13 yr, in agreement
with our earlier statement.

Quick  Quiz  39.5

Suppose  astronauts  are  paid  according  to  the  amount

of time  they  spend  traveling  in  space.  After  a  long  voyage  traveling  at  a  speed
approaching  c,  would  a  crew  rather  be  paid  according  to  (a)  an  Earth-based  clock,
(b) their spacecraft’s clock, or (c) either clock?

Length Contraction

The  measured  distance  between  two  points  also  depends  on  the  frame  of  reference.
The  proper  length  L

p

of  an  object  is  the  length  measured  by  someone  at  rest

relative to the object. The length of an object measured by someone in a reference
frame that is moving with respect to the object is always less than the proper length.
This effect is known as 

length contraction.

Consider a spacecraft traveling with a speed v from one star to another. There

are two observers: one on the Earth and the other in the spacecraft. The observer
at rest  on  the  Earth  (and  also  assumed  to  be  at  rest  with  respect  to  the  two  stars)
measures  the  distance  between  the  stars  to  be  the  proper  length  L

p

.  According  to

this observer, the time interval required for the spacecraft to complete the voyage is
'

t ! L

p

/v. The  passages  of  the  two  stars  by  the  spacecraft  occur  at  the  same

position  for  the  space  traveler.  Thus,  the  space  traveler  measures  the  proper  time
interval  't

p

.  Because  of  time  dilation,  the  proper  time  interval  is  related  to

the Earth-measured  time  interval  by  't

p

! '

t/*. Because  the  space  traveler

reaches the  second  star  in  the  time  't

p

,  he  or  she  concludes  that  the  distance  L

between the stars is

Because the proper length is L

p

!

v 't, we see that

(39.9)

where 

is  a  factor  less  than  unity. 

If  an  object  has  a  proper  length  L

p

when it is measured by an observer at rest with respect to the object, then when
it  moves  with  speed v in  a  direction  parallel  to  its  length,  its  length  L is
measured to be shorter according to 

.

L ! L

p

 

√

1 # v

 

2

/c

 

2

!

L

p

  

/

 

#

 

√

1 # v

 

2

/c

 

2

L !

L

p

*

!

L

p

 

 

√

1 #

v

 

2

c

 

2

L ! v 't

p

!

v

 

 

'

t

*

▲

PITFALL PREVENTION 

39.4 The Proper Length

As with the proper time interval,
it  is  very important  in  relativistic
calculations  to  correctly  identify
the  observer  who  measures  the
proper  length.  The  proper
length  between  two  points  in
space  is  always  the  length  mea-
sured by an observer at rest with
respect  to  the  points.  Often  the
proper  time  interval  and  the
proper  length  are  not measured
by the same observer.

Length contraction

For example, suppose that a meter stick moves past a stationary Earth observer with

speed v, as in Figure 39.11. The length of the stick as measured by an observer in a frame
attached to the stick is the proper length L

p

shown in Figure 39.11a. The length of the

stick L measured by the Earth observer is shorter than L

p

by the factor (1 # v

2

/c

2

)

1/2

.

Note that 

length contraction takes place only along the direction of motion.

The proper length and the proper time interval are defined differently. The proper

length is measured by an observer for whom the end points of the length remain fixed in
space. The proper time interval is measured by someone for whom the two events take
place  at  the  same  position  in  space.  As  an  example  of  this  point,  let  us  return  to  the
decaying muons moving at speeds close to the speed of light. An observer in the muon’s
reference frame would measure the proper lifetime, while an Earth-based observer would
measure the proper length (the distance from creation to decay in Figure 39.8). In the
muon’s reference frame, there is no time dilation but the distance of travel to the surface
is observed to be shorter when measured in this frame. Likewise, in the Earth observer’s
reference frame, there is time dilation, but the distance of travel is measured to be the
proper length. Thus, when calculations on the muon are performed in both frames, the
outcome of the experiment in one frame is the same as the outcome in the other frame—
more muons reach the surface than would be predicted without relativistic effects.

S E C T I O N   3 9 . 4 •  Consequences of the Special Theory of Relativity

1259

L

p

y

′

O

′

(a)

x

′

L

y

O

(b)

x

v

Active Figure 39.11 (a) A meter

stick measured by an observer in a

frame attached to the stick (that is,

both have the same velocity) has its

proper length L

p

. (b) The stick

measured by an observer in a frame

in which the stick has a velocity 

v

relative to the frame is measured to

be shorter than its proper length

L

p

by a factor (1 # v

2

/c

2

)

1/2

.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can view the meter stick from

the points of view of two

observers to compare the

measured length of the stick.

Quick  Quiz  39.6

You  are  packing  for  a  trip  to  another  star.  During  the

journey, you will be traveling at 0.99c. You are trying to decide whether you should buy
smaller  sizes  of  your  clothing,  because  you  will  be  thinner  on  your  trip,  due  to  length
contraction. Also, you are considering saving money by reserving a smaller cabin to sleep
in, because you will be shorter when you lie down. Should you (a) buy smaller sizes of
clothing, (b) reserve a smaller cabin, (c) do neither of these, or (d) do both of these?

Quick Quiz 39.7

You are observing a spacecraft moving away from you. You

measure it to be shorter than when it was at rest on the ground next to you. You also
see a clock through the spacecraft window, and you observe that the passage of time on
the clock is measured to be slower than that of the watch on your wrist. Compared to
when the spacecraft was on the ground, what do you measure if the spacecraft turns
around and comes toward you at the same speed? (a) The spacecraft is measured to be
longer and the clock runs faster. (b) The spacecraft is measured to be longer and the
clock  runs  slower.  (c)  The  spacecraft  is  measured  to  be  shorter  and  the  clock  runs
faster. (d) The spacecraft is measured to be shorter and the clock runs slower.

Space–Time Graphs

It  is  sometimes  helpful  to  make  a  space–time  graph,  in  which  ct is  the  ordinate  and
position x is the abscissa. The twin paradox is displayed in such a graph in Figure 39.12

World-line of Speedo

World-line of light beam

World-line

of Goslo

ct

x

Figure 39.12 The twin paradox on a

space–time graph. The twin who stays on

the Earth has a world-line along the ct axis.

The path of the traveling twin through

space–time is represented by a world-line

that changes direction.

from the point of view of Goslo. A path through space–time is called a 

world-line. At

the origin, the world-lines of Speedo and Goslo coincide because the twins are in the
same location at the same time. After Speedo leaves on his trip, his world-line diverges
from  that  of  his  brother.  Goslo’s  world-line  is  vertical  because  he  remains  fixed  in
location. At their reunion, the two world-lines again come together. Note that it would
be impossible for Speedo to have a world-line that crossed the path of a light beam that
left the Earth when he did. To do so would require him to have a speed greater than c
(not possible, as shown in Sections 39.6 and 39.7).

World-lines  for  light  beams  are  diagonal  lines  on  space–time  graphs,  typically

drawn at 45° to the right or left of vertical (assuming that the x and ct axes have the
same  scales),  depending  on  whether  the  light  beam  is  traveling  in  the  direction  of
increasing or decreasing x. These two world-lines mean that all possible future events
for Goslo and Speedo lie within two 45° lines extending from the origin. Either twin’s
presence  at  an  event  outside  this  “light  cone”  would  require  that  twin  to  move  at  a
speed greater than c, which we have said is not possible. Also, the only past events that
Goslo and Speedo could have experienced occurred within two similar 45° world-lines
that approach the origin from below the x axis.

1260

C H A P T E R   3 9 •  Relativity

A  spacecraft  is  measured  to  be  120.0 m  long  and  20.0 m
in diameter  while  at  rest  relative  to  an  observer.  If
this spacecraft  now  flies  by  the  observer  with  a  speed  of
0.99c,  what  length  and  diameter  does  the  observer
measure?

Solution From Equation 39.9, the length measured by the

observer is

The diameter measured by the observer is still 20.0 m because
the diameter is a dimension perpendicular to the motion and
length contraction occurs only along the direction of motion.

17 m

!

L ! L

p

 

√

1 #

v

 

2

c

 

2

!

(120.0 m) 

√

1 #

(0.99c)

2

c

 

2

The twin paradox, discussed earlier, is a classic “paradox”
in relativity.  Another  classic  “paradox”  is  this:  Suppose  a
runner  moving  at  0.75c carries  a  horizontal  pole  15 m
long toward a barn that is 10 m long. The barn has front
and  rear  doors.  An  observer  on  the  ground  can  instantly
and  simultaneously  open  and  close  the  two  doors  by
remote control. When the runner and the pole are inside
the barn, the ground observer closes and then opens both
doors  so  that  the  runner  and  pole  are  momentarily
captured  inside  the  barn  and  then  proceed  to  exit  the
barn  from  the  back  door.  Do  both  the  runner  and  the
ground  observer  agree  that  the  runner  makes  it  safely
through the barn?

Solution From  our  everyday  experience,  we  would  be
surprised to see a 15-m pole fit inside a 10-m barn. But the
pole is in motion with respect to the ground observer, who
measures  the  pole  to  be  contracted  to  a  length  L

pole

,

where

Thus, the ground observer measures the pole to be slightly
shorter than the barn and there is no problem with momen-
tarily  capturing  the  pole  inside  it.  The  “paradox”  arises
when  we  consider  the  runner’s  point  of  view.  The  runner

L

 

pole

!

L

p

 

 

√

1 #

v

2

c

 

2

!

(15 m) 

√

1 # (0.75)

2

!

9.9 m

sees the barn contracted to

Because  the  pole  is  in  the  rest  frame  of  the  runner,  the
runner measures it to have its proper length of 15 m. How
can  a  15-m  pole  fit  inside  a  6.6-m  barn?  While  this  is  the
classic question that is often asked, this is not the question
we have asked, because it is not the important question. We
asked if the runner can make it safely through the barn.

The  resolution  of  the  “paradox”  lies  in  the  relativity  of

simultaneity. The closing of the two doors is measured to be
simultaneous by the ground observer. Because the doors are
at different positions, however, they do not close simultane-
ously as measured by the runner. The rear door closes and
then  opens  first,  allowing  the  leading  edge  of  the  pole  to
exit.  The  front  door  of  the  barn  does  not  close  until  the
trailing edge of the pole passes by.

We  can  analyze  this  using  a  space-time  graph.  Figure

39.13a  is  a  space–time  graph  from  the  ground  observer’s
point  of  view.  We  choose  x ! 0  as  the  position  of  the  front
door of the barn and t ! 0 as the instant at which the leading
end of the pole is located at the front door of the barn. The
world-lines for the two ends of the barn are separated by 10 m
and are vertical because the barn is not moving relative to this
observer.  For  the  pole,  we  follow  two  tilted  world-lines,  one

6.6 m

L

 

barn

!

L

p

 

 

√

1 #

v

2

c

 

2

!

(10 m) 

√

1 # (0.75)

2

!

Example 39.3 The Contraction of a Spacecraft

Example 39.4 The Pole-in-the-Barn Paradox

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