Physics For Scientists And Engineers 6E - part 314

S E C T I O N   3 9 . 4 •  Consequences of the Special Theory of Relativity

1253

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can observe the bouncing of

the light pulse for various

speeds of the train.

Einstein’s thought experiment demonstrates that two observers can disagree on the

simultaneity  of  two  events.

This  disagreement,  however,  depends  on  the  transit

time of light to the observers and, therefore, does not demonstrate the deeper
meaning of relativity. In relativistic analyses of high-speed situations, relativity shows
that simultaneity is relative even when the transit time is subtracted out. In fact, all of
the relativistic effects that we will discuss from here on will assume that we are ignoring
differences caused by the transit time of light to the observers.

Time Dilation

We  can  illustrate  the  fact  that  observers  in  different  inertial  frames  can  measure
different time intervals between a pair of events by considering a vehicle moving to the
right with a speed v, such as the boxcar shown in Figure 39.6a. A mirror is fixed to the
ceiling of the vehicle, and observer O" at rest in the frame attached to the vehicle holds
a flashlight a distance d below the mirror. At some instant, the flashlight emits a pulse of
light directed toward the mirror (event 1), and at some later time after reflecting from
the mirror, the pulse arrives back at the flashlight (event 2). Observer O" carries a clock
and uses it to measure the time interval 't

p

between these two events. (The subscript p

stands for proper, as we shall see in a moment.) Because the light pulse has a speed c, the
time interval required for the pulse to travel from O" to the mirror and back is

(39.5)

Now consider the same pair of events as viewed by observer O in a second frame, as

shown in Figure 39.6b. According to this observer, the mirror and flashlight are moving to
the right with a speed v, and as a result the sequence of events appears entirely different.
By the time the light from the flashlight reaches the mirror, the mirror has moved to the
right a distance v 't/2, where 't is the time interval required for the light to travel from
O" to  the  mirror  and  back  to  O" as  measured  by  O.  In  other  words,  O concludes  that,
because  of  the  motion  of  the  vehicle,  if  the  light  is  to  hit  the  mirror,  it  must  leave  the

'

t

p

!

distance traveled

speed

!

2d

c

two  events  that  are  simultaneous  in  one  reference  frame  are  in  general  not
simultaneous in a second frame moving relative to the first. That is, simultaneity is
not  an absolute  concept  but  rather  one  that  depends  on  the  state  of  motion  of
the observer.

v

O

′

O

′

O

′

x

′

O

y

′

v

∆t

(b)

d

v

∆t

2

c

∆t

2

(c)

v

Mirror

y

′

x

′

d

O

′

(a)

Active Figure 39.6 (a) A mirror is fixed to a moving vehicle, and a light pulse is sent

out by observer O" at rest in the vehicle. (b) Relative to a stationary observer O standing

alongside the vehicle, the mirror and O" move with a speed v. Note that what observer

O measures for the distance the pulse travels is greater than 2d. (c) The right triangle

for calculating the relationship between 't and 't

p

.

In other words,

flashlight at an angle with respect to the vertical direction. Comparing Figure 39.6a and b,
we see that the light must travel farther in (b) than in (a). (Note that neither observer
“knows” that he or she is moving. Each is at rest in his or her own inertial frame.)

According to the second postulate of the special theory of relativity, both observers

must measure c for the speed of light. Because the light travels farther according to O,
it follows that the time interval 't measured by O is longer than the time interval 't

p

measured by O". To obtain a relationship between these two time intervals, it is conve-
nient to use the right triangle shown in Figure 39.6c. The Pythagorean theorem gives

Solving for 't gives

(39.6)

Because 't

p

!

2d/c, we can express this result as

(39.7)

where

(39.8)

Because  * is  always  greater  than  unity,  this  result  says  that 

the  time  interval "t

measured by an observer moving with respect to a clock is longer than the time
interval "t

p

measured by an observer at rest with respect to the clock. This effect

is known as 

time dilation.

We can see that time dilation is not observed in our everyday lives by considering

the  factor  *.  This  factor  deviates  significantly  from  a  value  of  1  only  for  very  high
speeds, as shown in Figure 39.7 and Table 39.1. For example, for a speed of 0.1c, the
value of * is 1.005. Thus, there is a time dilation of only 0.5% at one-tenth the speed of
light. Speeds that we encounter on an everyday basis are far slower than this, so we do
not see time dilation in normal situations.

The  time  interval  't

p

in  Equations  39.5  and  39.7  is  called  the 

proper  time

interval. (In German, Einstein used the term Eigenzeit, which means “own-time.”) In

* !

1

√

1 #

v

2

c

 

2

'

t !

'

t

p

√

1 #

v

2

c

 

2

!

*

 't

p

'

t !

2d

√

c

 

2

#

v

2

!

2d

c 

 

√

1 #

v

2

c

 

2

"

c 't

2

#

2

!

"

v 't

2

#

2

&

d

2

1254

C H A P T E R   3 9 •  Relativity

Time dilation

0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

10

15

20

5

1

γ

v(10

8

 m/s )

Figure 39.7 Graph of 

*

versus v. As the speed approaches that of light, 

*

increases

rapidly.

v/c

#

0.001 0

1.000 000 5

0.010

1.000 05

0.10

1.005

0.20

1.021

0.30

1.048

0.40

1.091

0.50

1.155

0.60

1.250

0.70

1.400

0.80

1.667

0.90

2.294

0.92

2.552

0.94

2.931

0.96

3.571

0.98

5.025

0.99

7.089

0.995

10.01

0.999

22.37

Approximate Values for #
at Various Speeds

Table 39.1

general, 

the  proper  time  interval  is  the  time  interval  between  two  events

measured by an observer who sees the events occur at the same point in space.

If  a  clock  is  moving  with  respect  to  you,  the  time  interval  between  ticks  of  the

moving  clock  is  observed  to  be  longer  than  the  time  interval  between  ticks  of  an
identical  clock  in  your  reference  frame.  Thus,  it  is  often  said  that  a  moving  clock  is
measured to run more slowly than a clock in your reference frame by a factor *. This
is true  for  mechanical  clocks  as  well  as  for  the  light  clock  just  described.  We  can
generalize  this  result  by  stating  that  all  physical  processes,  including  chemical  and
biological  ones,  are  measured  to  slow  down  when  those  processes  occur  in  a  frame
moving  with  respect  to  the  observer.  For  example,  the  heartbeat  of  an  astronaut 
moving  through  space  would  keep  time  with  a  clock  inside  the  spacecraft.  Both  the 
astronaut’s  clock  and heartbeat  would  be  measured  to  slow  down  according  to  an 
observer on Earth comparing time intervals with his own clock (although the astronaut
would have no sensation of life slowing down in the spacecraft).

S E C T I O N   3 9 . 4 •  Consequences of the Special Theory of Relativity

1255

Quick Quiz 39.3

Suppose the observer O" on the train in Figure 39.6 aims her

flashlight at the far wall of the boxcar and turns it on and off, sending a pulse of light
toward  the  far  wall.  Both  O" and  O measure  the  time  interval  between  when  the  pulse
leaves  the  flashlight  and  it  hits  the  far  wall.  Which  observer  measures  the  proper  time
interval between these two events? (a) O" (b) O (c) both observers (d) neither observer.

Quick Quiz 39.4

A crew watches a movie that is two hours long in a space-

craft that is moving at high speed through space. Will an Earthbound observer, who is
watching the movie through a powerful telescope, measure the duration of the movie
to be (a) longer than, (b) shorter than, or (c) equal to two hours?

▲

PITFALL PREVENTION 

39.3 The Proper Time

Interval

It  is  very important  in  relativistic
calculations  to  correctly  identify
the  observer  who  measures  the
proper time interval. The proper
time  interval  between  two  events
is  always  the  time  interval  mea-
sured  by  an  observer  for  whom
the  two  events  take  place  at  the
same position.

Strange as it may seem, time dilation is a verifiable phenomenon. An experiment

reported  by  Hafele  and  Keating  provided  direct  evidence  of  time  dilation.

4

Time

intervals  measured  with  four  cesium  atomic  clocks  in  jet  flight  were  compared  with
time intervals measured by Earth-based reference atomic clocks. In order to compare
these  results  with  theory,  many  factors  had  to  be  considered,  including  periods  of
speeding up and slowing down relative to the Earth, variations in direction of travel,
and  the  fact  that  the  gravitational  field  experienced  by  the  flying  clocks  was  weaker
than that experienced by the Earth-based clock. The results were in good agreement
with the predictions of the special theory of relativity and can be explained in terms of
the relative motion between the Earth and the jet aircraft. In their paper, Hafele and
Keating stated that “Relative to the atomic time scale of the U.S. Naval Observatory, the
flying  clocks  lost  59 % 10 ns  during  the  eastward  trip  and  gained  273 % 7 ns  during
the westward trip. . . . These results provide an unambiguous empirical resolution of
the famous clock paradox with macroscopic clocks.”

Another  interesting  example  of  time  dilation  involves  the  observation  of  muons,

unstable  elementary  particles  that  have  a  charge  equal  to  that  of  the  electron  and  a
mass  207  times  that  of  the  electron.  (We  will  study  the  muon  and  other  particles  in
Chapter 46.) Muons can be produced by the collision of cosmic radiation with atoms
high in the atmosphere. Slow-moving muons in the laboratory have a lifetime which is
measured to be the proper time interval 't

p

!

2.2 +s. If we assume that the speed of

atmospheric muons is close to the speed of light, we find that these particles can travel
a distance of approximately (3.0 $ 10

8

m/s)(2.2 $ 10

#

6

s)

% 6.6 $ 10

2

m before they

decay  (Fig.  39.8a).  Hence,  they  are  unlikely  to  reach  the  surface  of  the  Earth  from

4

J.  C.  Hafele  and  R.  E.  Keating,  “Around  the  World  Atomic  Clocks:  Relativistic  Time  Gains

Observed,” Science, 177:168, 1972.

(a)

≈ 4.8 

×

 10

3

 m

(b)

≈ 6.6 

×

 10

2

 m

Muon is created

Muon decays

Muon is created

Muon decays

Figure 39.8 (a) Without relativis-

tic considerations, muons created

in the atmosphere and traveling

downward with a speed of 0.99c

travel only about 6.6 $ 10

2

m

before decaying with an average

lifetime of 2.2

+

s. Thus, very few

muons reach the surface of the

Earth. (b) With relativistic

considerations, the muon’s lifetime

is dilated according to an observer

on Earth. As a result, according to

this observer, the muon can travel

about 4.8 $ 10

3

m before decaying.

This results in many of them

arriving at the surface.

1256

C H A P T E R   3 9 •  Relativity

high in the atmosphere where they are produced. However, experiments show that a
large  number  of  muons  do reach  the  surface.  The  phenomenon  of  time  dilation
explains this effect. As measured by an observer on Earth, the muons have a dilated
lifetime equal to * '

t

p

. For example, for v ! 0.99c, *

% 7.1 and * 't

p

% 16 +s. Hence,

the  average  distance  traveled  by  the  muons  in  this  time  as  measured  by  an  observer
on Earth is approximately (0.99)(3.0 $ 10

8

m/s)(16 $ 10

#

6

s)

% 4.8 $ 10

3

m, as indi-

cated in Figure 39.8b.

In 1976, at the laboratory of the European Council for Nuclear Research (CERN)

in Geneva, muons injected into a large storage ring reached speeds of approximately
0.999 4c. Electrons produced by the decaying muons were detected by counters around
the ring, enabling scientists to measure the decay rate and hence the muon lifetime.
The lifetime of the moving muons was measured to be approximately 30 times as long
as that of the stationary muon (Fig. 39.9), in agreement with the prediction of relativity
to within two parts in a thousand.

Muon

at rest

Muon moving

at 0.999 4c

50

100

150

0.5

1.0

Fraction 

of 

muons 

remaining

t(  s)

µ

Figure 39.9 Decay curves for muons

at rest and for muons traveling at a

speed of 0.999 4c.

Example 39.1 What Is the Period of the Pendulum?

The period of a pendulum is measured to be 3.00 s in the
reference frame of the pendulum. What is the period when
measured by an observer moving at a speed of 0.950c rela-
tive to the pendulum?

Solution To  conceptualize  this  problem,  let  us  change
frames of reference. Instead of the observer moving at 0.950c,
we can take the equivalent point of view that the observer is at
rest and the pendulum is moving at 0.950c past the stationary
observer.  Hence,  the  pendulum  is  an  example  of  a  clock
moving at high speed with respect to an observer and we can
categorize this problem as one involving time dilation.

To  analyze  the  problem,  note  that  the  proper  time

interval,  measured  in  the  rest  frame  of  the  pendulum,  is
'

t

p

!

3.00 s.  Because  a  clock  moving  with  respect  to  an

observer  is  measured  to  run  more  slowly  than  a  stationary
clock by a factor *, Equation 39.7 gives

To  finalize  this  problem,  we  see  that  indeed  a  moving
pendulum is measured to take longer to complete a period

9.60 s

!

(3.20)(3.00 s) !

'

t ! * 't

p

!

1

√

1 #

(0.950c)

2

c

2

 't

p

!

1

√

1 # 0.902

 't

p

than  a  pendulum  at  rest  does.  The  period  increases  by  a
factor of * ! 3.20. We see that this is consistent with Table
39.1, where this value lies between those for * for v/c ! 0.94
and v/c ! 0.96.

What If?

What if we increase the speed of the observer by

5.00%? Does the dilated time interval increase by 5.00%?

Answer Based  on  the  highly  nonlinear  behavior  of  * as  a
function  of  v in  Figure  39.7,  we  would  guess  that  the
increase in 't would be different from 5.00%. Increasing v
by 5.00% gives us

v

new

!

(1.050 0)(0.950c) ! 0.997 5c

(Because * varies so rapidly with v when v is this large, we will
keep one additional significant figure until the final answer.)
If we perform the time dilation calculation again, we find that

Thus, the 5.00% increase in speed has caused over a 300%
increase in the dilated time!

!

(14.15)(3.00 s) ! 42.5 s

'

t ! * 't

p

!

1

√

1 #

(0.997 5c)

2

c

 

2

 't

p

!

1

√

1 # 0.995 0

 't

p