Physics For Scientists And Engineers 6E - part 312

1245

O

ur  everyday  experiences  and  observations  have  to  do  with  objects  that  move  at

speeds much less than the speed of light. Newtonian mechanics was formulated by
observing  and  describing  the  motion  of  such  objects,  and  this  formalism  is  very
successful  in  describing  a  wide  range  of  phenomena  that  occur  at  low  speeds.
However, it fails to describe properly the motion of objects whose speeds approach
that of light.

Experimentally, the predictions of Newtonian theory can be tested at high speeds

by accelerating electrons or other charged particles through a large electric potential
difference.  For  example,  it  is  possible  to  accelerate  an  electron  to  a  speed  of  0.99c
(where c is the speed of light) by using a potential difference of several million volts.
According to Newtonian mechanics, if the potential difference is increased by a factor
of 4, the electron’s kinetic energy is four times greater and its speed should double to
1.98c. However, experiments show that the speed of the electron—as well as the speed
of  any  other  object  in  the  Universe—always  remains  less  than  the  speed  of  light,
regardless of the size of the accelerating voltage. Because it places no upper limit on
speed, Newtonian mechanics is contrary to modern experimental results and is clearly
a limited theory.

In  1905,  at  the  age  of  only  26,  Einstein  published  his  special  theory  of  relativity.

Regarding the theory, Einstein wrote:

The relativity theory arose from necessity, from serious and deep contradictions
in the old theory from which there seemed no escape. The strength of the new
theory lies in the consistency and simplicity with which it solves all these
difficulties . . . .

1

Although Einstein made many other important contributions to science, the special

theory  of  relativity  alone  represents  one  of  the  greatest  intellectual  achievements  of  all
time.  With  this  theory,  experimental  observations  can  be  correctly  predicted  over  the
range  of  speeds  from  v ! 0  to  speeds  approaching  the  speed  of  light.  At  low  speeds,
Einstein’s theory reduces to Newtonian mechanics as a limiting situation. It is important
to  recognize  that  Einstein  was  working  on  electromagnetism  when  he  developed  the
special theory of relativity. He was convinced that Maxwell’s equations were correct, and in
order to reconcile them with one of his postulates, he was forced into the revolutionary
notion of assuming that space and time are not absolute.

This chapter gives an introduction to the special theory of relativity, with emphasis

on  some  of  its  consequences.  The  special  theory  covers  phenomena  such  as  the
slowing down of moving clocks and the contraction of moving lengths. We also discuss
the relativistic forms of momentum and energy.

In  addition  to  its  well-known  and  essential  role  in  theoretical  physics,  the  special

theory  of  relativity  has  practical  applications,  including  the  design  of  nuclear  power
plants and modern global positioning system (GPS) units. These devices do not work if
designed in accordance with nonrelativistic principles.

1

A. Einstein and L. Infeld, The Evolution of Physics, New York, Simon and Schuster, 1961.

39.1 The Principle of Galilean Relativity

To describe a physical event, we must establish a frame of reference. You should recall
from Chapter 5 that an inertial frame of reference is one in which an object is observed
to have no acceleration when no forces act on it. Furthermore, any system moving with
constant velocity with respect to an inertial frame must also be in an inertial frame.

There  is  no  absolute  inertial  reference  frame.  This  means  that  the  results  of  an

experiment  performed  in  a  vehicle  moving  with  uniform  velocity  will  be  identical  to
the  results  of  the  same  experiment  performed  in  a  stationary  vehicle.  The  formal
statement of this result is called the 

principle of Galilean relativity:

1246

C H A P T E R   3 9 •  Relativity

The laws of mechanics must be the same in all inertial frames of reference.

Let  us  consider  an  observation  that  illustrates  the  equivalence  of  the  laws  of
mechanics in different inertial frames. A pickup truck moves with a constant velocity,
as shown in Figure 39.1a. If a passenger in the truck throws a ball straight up, and if air
effects are neglected, the passenger observes that the ball moves in a vertical path. The
motion  of  the  ball  appears  to  be  precisely  the  same  as  if  the  ball  were  thrown  by  a
person  at  rest  on  the  Earth.  The  law  of  universal  gravitation  and  the  equations  of
motion  under  constant  acceleration  are  obeyed  whether  the  truck  is  at  rest  or  in
uniform motion.

Both observers agree on the laws of physics—they each throw a ball straight up and

it rises and falls back into their hand. What about the path of the ball thrown by the
observer  in  the  truck?  Do  the  observers  agree  on  the  path?  The  observer  on  the
ground sees the path of the ball as a parabola, as illustrated in Figure 39.1b, while, as
mentioned  earlier,  the  observer  in  the  truck  sees  the  ball  move  in  a  vertical  path.
Furthermore,  according  to  the  observer  on  the  ground,  the  ball  has  a  horizontal
component of velocity equal to the velocity of the truck. Although the two observers
disagree on certain aspects of the situation, they agree on the validity of Newton’s laws
and on such classical principles as conservation of energy and conservation of linear
momentum.  This  agreement  implies  that  no  mechanical  experiment  can  detect  any
difference between the two inertial frames. The only thing that can be detected is the
relative motion of one frame with respect to the other.

(b)

(a)

Figure 39.1 (a) The observer in the truck sees the ball move in a vertical path when

thrown upward. (b) The Earth observer sees the path of the ball as a parabola.

Principle of Galilean relativity

Quick Quiz 39.1

Which observer in Figure 39.1 sees the ball’s correct path?

(a) the observer in the truck (b) the observer on the ground (c) both observers.

S E C T I O N   3 9 . 1 •  The Principle of Galilean Relativity

1247

Suppose  that  some  physical  phenomenon,  which  we  call  an  event,  occurs  and  is

observed by an observer at rest in an inertial reference frame. The event’s location and
time of occurrence can be specified by the four coordinates (x, y, z, t). We would like
to  be  able  to  transform  these  coordinates  from  those  of  an  observer  in  one  inertial
frame  to  those  of  another  observer  in  a  frame  moving  with  uniform  relative  velocity
compared to the first frame. When we say an observer is “in a frame,” we mean that the
observer is at rest with respect to the origin of that frame.

Consider  two  inertial  frames  S  and  S" (Fig.  39.2).  The  frame  S" moves  with  a

constant velocity 

v along the common x and x" axes, where v is measured relative to S.

We  assume  that  the  origins  of  S  and  S" coincide  at  t ! 0  and  that  an  event  occurs
at point  P in  space  at  some  instant  of  time.  An  observer  in  S  describes  the  event
with space–time coordinates (x, y, z, t), whereas an observer in S" uses the coordinates
(x", y", z", t") to describe the same event. As we see from the geometry in Figure 39.2,
the relationships among these various coordinates can be written

x" ! x # vt

y" ! y

z" ! z

t" ! t

(39.1)

These equations are the 

Galilean space–time transformation equations. Note that

time is assumed to be the same in both inertial frames. That is, within the framework
of  classical  mechanics,  all  clocks  run  at  the  same  rate,  regardless  of  their  velocity,  so
that the time at which an event occurs for an observer in S is the same as the time for
the  same  event  in  S".  Consequently,  the  time  interval  between  two  successive  events
should be the same for both observers. Although this assumption may seem obvious, it
turns out to be incorrect in situations where v is comparable to the speed of light.

Now suppose that a particle moves through a displacement of magnitude dx along

the  x axis  in  a  time  interval  dt as  measured  by  an  observer  in  S.  It  follows  from
Equations 39.1 that the corresponding displacement dx" measured by an observer in S"
is dx" ! dx # v dt, where frame S" is moving with speed v in the x direction relative to
frame S. Because dt ! dt", we find that

or

u"

x

!

u

x

#

v

(39.2)

where  u

x

and  u"

x

are  the  x components  of  the  velocity  of  the  particle  measured  by

observers  in  S  and  S",  respectively.  (We  use  the  symbol 

u for  particle  velocity  rather

than 

v,  which  is  used  for  the  relative  velocity  of  two  reference  frames.)  This  is  the

Galilean velocity transformation equation. It is consistent with our intuitive notion
of time and space as well as with our discussions in Section 4.6. As we shall soon see,
however, it leads to serious contradictions when applied to electromagnetic waves.

dx

 

"

dt

 

"

!

dx

dt

#

v

y

0

x

y

′

0

′

x

′

x

vt

x

′

P (event)

v

S

′

S

Figure 39.2 An event occurs at a

point P. The event is seen by two

observers in inertial frames S and

S", where S" moves with a velocity 

v

relative to S.

Galilean transformation

equations

▲

PITFALL PREVENTION 

39.1 The Relationship

Between the S and
S! Frames

Many of the mathematical repre-
sentations in this chapter are true
only for the specified relationship
between the S and S" frames. The
x and  x" axes  coincide,  except
that  their  origins  are  different.
The y and y" axes (and the z and
z" axes),  are  parallel,  but  do  not
coincide due to the displacement
of the origin of S" with respect to
that  of  S.  We  choose  the  time
t ! 0  to  be  the  instant  at  which
the origins of the two coordinate
systems  coincide.  If  the  S" frame
is  moving  in  the  positive  x direc-
tion  relative  to  S,  v is  positive;
otherwise it is negative.

Quick  Quiz  39.2

A  baseball  pitcher  with  a  90-mi/h  fastball  throws  a  ball

while  standing  on  a  railroad  flatcar  moving  at  110 mi/h.  The  ball  is  thrown  in  the
same direction  as  that  of  the  velocity  of  the  train.  Applying  the  Galilean  velocity
transformation  equation,  the  speed  of  the  ball  relative  to  the  Earth  is  (a)  90 mi/h
(b) 110 mi/h (c) 20 mi/h (d) 200 mi/h (e) impossible to determine.

The Speed of Light

It  is  quite  natural  to  ask  whether  the  principle  of  Galilean  relativity  also  applies  to
electricity,  magnetism,  and  optics.  Experiments  indicate  that  the  answer  is  no.
Recall from  Chapter  34  that  Maxwell  showed  that  the  speed  of  light  in  free  space  is
c ! 3.00 $ 10

8

m/s. Physicists of the late 1800s thought that light waves moved through a

medium called the ether and that the speed of light was c only in a special, absolute frame

at  rest  with  respect  to  the  ether.  The  Galilean  velocity  transformation  equation  was
expected to hold for observations of light made by an observer in any frame moving at
speed v relative to the absolute ether frame. That is, if light travels along the x axis and
an observer moves with velocity 

v along the x axis, the observer will measure the light to

have speed c % v, depending on the directions of travel of the observer and the light.

Because the existence of a preferred, absolute ether frame would show that light

was similar to other classical waves and that Newtonian ideas of an absolute frame were
true, considerable importance was attached to establishing the existence of the ether
frame. Prior to the late 1800s, experiments involving light traveling in media moving at
the  highest  laboratory  speeds  attainable  at  that  time  were  not  capable  of  detecting
differences  as  small  as  that  between  c and  c % v.  Starting  in  about  1880,  scientists
decided to use the Earth as the moving frame in an attempt to improve their chances
of detecting these small changes in the speed of light.

As  observers  fixed  on  the  Earth,  we  can  take  the  view  that  we  are  stationary

and that the absolute ether frame containing the medium for light propagation moves
past  us  with  speed  v.  Determining  the  speed  of  light  under  these  circumstances  is
just like  determining  the  speed  of  an  aircraft  traveling  in  a  moving  air  current,  or
wind; consequently, we speak of an “ether wind” blowing through our apparatus fixed
to the Earth.

A direct method for detecting an ether wind would use an apparatus fixed to the

Earth to measure the ether wind’s influence on the speed of light. If v is the speed of
the ether relative to the Earth, then light should have its maximum speed c & v when
propagating downwind, as in Figure 39.3a. Likewise, the speed of light should have its
minimum value c # v when the light is propagating upwind, as in Figure 39.3b, and an
intermediate value (c

2

#

v

2

)

1/2

in the direction perpendicular to the ether wind, as in

Figure 39.3c. If the Sun is assumed to be at rest in the ether, then the velocity of the
ether wind would be equal to the orbital velocity of the Earth around the Sun, which
has  a  magnitude  of  approximately  3 $ 10

4

m/s.  Because  c ! 3 $ 10

8

m/s,  it  is

necessary to detect a change in speed of about 1 part in 10

4

for measurements in the

upwind  or  downwind  directions.  However,  while  such  a  change  is  experimentally
measurable,  all  attempts  to  detect  such  changes  and  establish  the  existence  of  the
ether  wind  (and  hence  the  absolute  frame)  proved  futile!  We  explore  the  classic
experimental search for the ether in Section 39.2.

The  principle  of  Galilean  relativity  refers  only  to  the  laws  of  mechanics.  If  it  is

assumed that the laws of electricity and magnetism are the same in all inertial frames, a
paradox concerning the speed of light immediately arises. We can understand this by
recognizing that Maxwell’s equations seem to imply that the speed of light always has
the fixed value 3.00 $ 10

8

m/s in all inertial frames, a result in direct contradiction to

what is expected based on the Galilean velocity transformation equation. According to
Galilean relativity, the speed of light should not be the same in all inertial frames.

To resolve this contradiction in theories, we must conclude that either (1) the laws

of electricity and magnetism are not the same in all inertial frames or (2) the Galilean
velocity transformation equation is incorrect. If we assume the first alternative, then a
preferred reference frame in which the speed of light has the value c must exist and the
measured speed must be greater or less than this value in any other reference frame, in
accordance with the Galilean velocity transformation equation. If we assume the second
alternative, then we are forced to abandon the notions of absolute time and absolute
length that form the basis of the Galilean space–time transformation equations.

39.2 The Michelson–Morley Experiment

The most famous experiment designed to detect small changes in the speed of light was
first  performed  in  1881  by  Albert  A.  Michelson  (see  Section  37.7)  and  later  repeated
under various conditions by Michelson and Edward W. Morley (1838–1923). We state at
the outset that the outcome of the experiment contradicted the ether hypothesis.

1248

C H A P T E R   3 9 •  Relativity

c + v

(a) Downwind

(b) Upwind

(c) Across wind

v

c

v

c – v

c

v

c

c 

2 

– v

2

√

Figure 39.3 If the velocity of the

ether wind relative to the Earth

is 

v and the velocity of light relative

to the ether is 

c, then the speed

of light relative to the Earth is

(a) c & v in the downwind

direction, (b) c # v in the upwind

direction, and (c) (c

2

#

v

2

)

1/2

in the direction perpendicular to

the wind.