Physics For Scientists And Engineers 6E - part 310

Problems

1237

to  Figure  38.16.  A  train  of  thought  like  this,  at  a  soccer
game, led Dennis Gabor to the invention of holography.)

Section 38.5 Diffraction of X-Rays by Crystals
35. Potassium iodide (KI) has the same crystalline structure as

NaCl, with atomic planes separated by 0.353 nm. A mono-
chromatic x-ray beam shows a first-order diffraction maxi-
mum when the grazing angle is 7.60°. Calculate the x-ray
wavelength.

36. A  wavelength  of  0.129 nm  characterizes  K

2

x-rays  from

zinc.  When  a  beam  of  these  x-rays  is  incident  on  the
surface of  a  crystal  whose  structure  is  similar  to  that  of
NaCl, a first-order maximum is observed at 8.15°. Calculate
the interplanar spacing based on this information.

If the interplanar spacing of NaCl is 0.281 nm, what is

the predicted angle at which 0.140-nm x-rays are diffracted
in a first-order maximum?

38. The  first-order  diffraction  maximum  is  observed  at  12.6°

for a crystal in which the interplanar spacing is 0.240 nm.
How many other orders can be observed?

39. In  water  of  uniform  depth,  a  wide  pier  is  supported  on

pilings in several parallel rows 2.80 m apart. Ocean waves
of uniform wavelength roll in, moving in a direction that
makes  an  angle  of  80.0° with  the  rows  of  posts.  Find  the
three  longest  wavelengths  of  waves  that  will  be  strongly
reflected by the pilings.

Section 38.6 Polarization of Light Waves

40. Unpolarized light passes through two polaroid sheets. The

axis of the first is vertical, and that of the second is at 30.0°
to  the  vertical.  What  fraction  of  the  incident  light  is
transmitted?
Plane-polarized light is incident on a single polarizing disk
with  the  direction  of 

E

0

parallel  to  the  direction  of  the

transmission axis. Through what angle should the disk be
rotated  so  that  the  intensity  in  the  transmitted  beam  is
reduced by a factor of (a) 3.00, (b) 5.00, (c) 10.0?

42.

Three  polarizing  disks  whose  planes  are  parallel  are  cen-
tered on a common axis. The direction of the transmission
axis in each case is shown in Figure P38.42 relative to the

41.

Problem 34 in Chapter 34 can be assigned with this
section.

37.

common  vertical  direction.  A  plane-polarized  beam  of
light  with 

E

0

parallel  to  the  vertical  reference  direction

is incident  from  the  left  on  the  first  disk  with  intensity
I

i

"

10.0 units (arbitrary). Calculate the transmitted inten-

sity  I

f

when  (a)  !

1

"

20.0°,  !

2

"

40.0°,  and  !

3

"

60.0°;

(b) !

1

"

0°, !

2

"

30.0°, and !

3

"

60.0°.

43. The  angle  of  incidence  of  a  light  beam  onto  a  reflecting

surface is continuously variable. The reflected ray is found
to be completely polarized when the angle of incidence is
48.0°.  What  is  the  index  of  refraction  of  the  reflecting
material?

44.

Review  Problem.  (a)  A  transparent  plate  with  index  of  re-
fraction n

2

is immersed in a medium with index n

1

. Light

traveling in the surrounding medium strikes the top surface
of the plate at Brewster’s angle. Show that if and only if the
surfaces  of  the  plate  are  parallel,  the  refracted  light  will
strike  the  bottom  surface  of  the  plate  at  Brewster’s  angle 
for that interface. (b) What If? Instead of a plate, consider 
a  prism  of  index  of  refraction  n

2

separating  media  of  dif-

ferent  refractive  indices  n

1

and  n

3

.  Is  there  one  particular

apex  angle  between  the  surfaces  of  the  prism  for  which 
light can fall on both of its surfaces at Brewster’s angle as it
passes through the prism? If so, determine it.

The critical angle for total internal reflection for sapphire
surrounded by air is 34.4°. Calculate the polarizing angle
for sapphire.

46.

For  a  particular  transparent  medium  surrounded  by  air,
show that the critical angle for total internal reflection and
the polarizing angle are related by cot !

p

"

sin !

c

.

47. How  far  above  the  horizon  is  the  Moon  when  its  image

reflected in calm water is completely polarized? (n

water

"

1.33)

Additional Problems

48.

In Figure P38.42, suppose that the transmission axes of the
left  and  right  polarizing  disks  are  perpendicular  to  each
other. Also, let the center disk be rotated on the common
axis  with  an  angular  speed  3. Show  that  if  unpolarized
light is incident on the left disk with an intensity I

max

, the

intensity of the beam emerging from the right disk is

This  means  that  the  intensity  of  the  emerging  beam  is
modulated at a rate that is four times the rate of rotation
of the center disk. [Suggestion: Use the trigonometric iden-
tities cos

2

! "

(1 , cos 2!)/2 and sin

2

! "

(1 ' cos 2!)/2,

and recall that ! " 3t.]

49.

You want to rotate the plane of polarization of a polarized
light beam by 45.0° with a maximum intensity reduction of
10.0%. (a) How many sheets of perfect polarizers do you
need to achieve your goal? (b) What is the angle between
adjacent polarizers?

50.

Figure P38.50 shows a megaphone in use. Construct a the-
oretical description of how a megaphone works. You may
assume that the sound of your voice radiates just through

I "

1

16

 I

 

max

 (1 ' cos 43t)

45.

I

i

I

f

3

θ

2

θ

1

θ

Figure P38.42 Problems 42 and 48.

1238

C H A P T E R   3 8 •  Diffraction Patterns and Polarization

the  opening  of  your  mouth.  Most  of  the  information  in
speech  is  carried  not  in  a  signal  at  the  fundamental  fre-
quency,  but  in  noises  and  in  harmonics,  with  frequencies
of  a  few  thousand  hertz.  Does  your  theory  allow  any  pre-
diction that is simple to test?

51.

Light  from  a  helium–neon  laser  (% " 632.8 nm)  is  inci-
dent on a single slit. What is the maximum width of the slit
for which no diffraction minima are observed?

52. What  are  the  approximate  dimensions  of  the  smallest

object  on  Earth  that  astronauts  can  resolve  by  eye  when
they  are  orbiting  250 km  above  the  Earth?  Assume  that
% "

500 nm and that a pupil diameter is 5.00 mm.

53.

Review problem. A beam of 541-nm light is incident on a dif-
fraction  grating  that  has  400  grooves/mm.  (a)  Determine
the angle of the second-order ray. (b) What If? If the entire
apparatus is immersed in water, what is the new second-order
angle of diffraction? (c) Show that the two diffracted rays of
parts (a) and (b) are related through the law of refraction.

54. The  Very  Large  Array (VLA)  is  a  set  of  27  radio  telescope

dishes  in  Caton  and  Socorro  Counties,  New  Mexico  (Fig.
P38.54).  The  antennas  can  be  moved  apart  on  railroad
tracks, and their combined signals give the resolving power
of  a  synthetic  aperture  36.0 km  in  diameter.  (a)  If  the
detectors are tuned to a frequency of 1.40 GHz, what is the
angular  resolution  of  the  VLA?  (b)  Clouds  of  hydrogen
radiate  at  this  frequency.  What  must  be  the  separation
distance of two clouds 26 000 lightyears away at the center
of the galaxy, if they are to be resolved? (c) What If? As the
telescope  looks  up,  a  circling  hawk  looks  down.  Find  the

angular resolution of the hawk’s eye. Assume that the hawk
is  most  sensitive  to  green  light  having  a  wavelength  of 
500 nm and that it has a pupil of diameter 12.0 mm. (d) A
mouse  is  on  the  ground  30.0 m  below.  By  what  distance
must the mouse’s whiskers be separated if the hawk can re-
solve them?

55.

A  750-nm  light  beam  hits  the  flat  surface  of  a  certain
liquid,  and  the  beam  is  split  into  a  reflected  ray  and  a
refracted ray. If the reflected ray is completely polarized at
36.0°, what is the wavelength of the refracted ray?

56.

Iridescent  peacock  feathers  are  shown  in  Figure  P38.56a.
The  surface  of  one  microscopic  barbule  is  composed  of
transparent  keratin  that  supports  rods  of  dark  brown
melanin in a regular lattice, represented in Figure P38.56b.
(Your  fingernails  are  made  of  keratin,  and  melanin  is  the
dark pigment giving color to human skin.) In a portion of
the  feather  that  can  appear  turquoise,  assume  that  the
melanin rods are uniformly separated by 0.25 /m, with air
between  them.  (a)  Explain  how  this  structure  can  appear
blue-green  when  it  contains  no  blue  or  green  pigment.

Figure P38.50

Susan Allen Sigmon/Getty Images

Figure P38.54 Some of the radio telescope dishes in the Very

Large Array.

Riccardo Giovanelli and Martha Haynes, Cornell University

(a)

(b)

Figure P38.56 (a) Iridescent peacock feathers. (b) Microscopic

section of a feather showing dark melanin rods in a pale keratin

matrix.

Photo 

©

Diane Schiumo 1988/Fundamental Photographs

Problems

1239

(b) Explain how it can also appear violet if light falls on it
in  a  different  direction.  (c)  Explain  how  it  can  present
different colors to your two eyes at the same time—a char-
acteristic of iridescence. (d) A compact disc can appear to
be any color of the rainbow. Explain why this portion of the
feather  cannot  appear  yellow  or  red.  (e)  What  could  be
different  about  the  array  of  melanin  rods  in  a  portion  of
the feather that does appear to be red?
Light of wavelength 500 nm is incident normally on a dif-
fraction grating. If the third-order maximum of the diffrac-
tion pattern is observed at 32.0°, (a) what is the number of
rulings per centimeter for the grating? (b) Determine the
total number of primary maxima that can be observed in
this situation.

58.

Light  strikes  a  water  surface  at  the  polarizing  angle.  The
part  of  the  beam  refracted  into  the  water  strikes  a  sub-
merged glass slab (index of refraction, 1.50), as shown in
Figure P38.58. The light reflected from the upper surface
of the slab is completely polarized. Find the angle between
the water surface and the glass slab.

57.

that the average wavelength of the light coming from the
screen is 550 nm.

62.

(a) Light traveling in a medium of index of refraction n

1

is

incident at an angle ! on the surface of a medium of index
n

2

.  The  angle  between  reflected  and  refracted  rays  is  ).

Show that

(Suggestion: Use  the  identity  sin(A , B) " sin A cos B ,
cos A sin B.) (b) What If ? Show that this expression for tan !
reduces to Brewster’s law when ) " 90°, n

1

"

1, and n

2

"

n.

Suppose that the single slit in Figure 38.6 is 6.00 cm wide
and in front of a microwave source operating at 7.50 GHz.
(a) Calculate the angle subtended by the first minimum in
the  diffraction  pattern.  (b)  What  is  the  relative  intensity
I/I

max

at ! " 15.0°? (c) Assume that two such sources, sep-

arated laterally by 20.0 cm, are behind the slit. What must
the  maximum  distance  between  the  plane  of  the  sources
and  the  slit  be  if  the  diffraction  patterns  are  to  be
resolved? (In this case, the approximation sin !

! tan ! is

not valid because of the relatively small value of a/%.)

64.

Two polarizing sheets are placed together with their trans-
mission axes crossed so that no light is transmitted. A third
sheet is inserted between them with its transmission axis at
an  angle  of  45.0° with  respect  to  each  of  the  other  axes.
Find  the  fraction  of  incident  unpolarized  light  intensity
transmitted by the three-sheet combination. (Assume each
polarizing sheet is ideal.)

65.

Two  wavelengths  % and  % , (% (with  (% ++ %)  are  inci-
dent on a diffraction grating. Show that the angular sepa-
ration  between  the  spectral  lines  in  the  mth-order
spectrum is

where d is the slit spacing and m is the order number.

66.

Two closely spaced wavelengths of light are incident on a
diffraction grating. (a) Starting with Equation 38.10, show
that the angular dispersion of the grating is given by

(b)  A  square  grating  2.00 cm  on  each  side  containing
8 000 equally spaced slits is used to analyze the spectrum of
mercury. Two closely spaced lines emitted by this element
have wavelengths of 579.065 nm and 576.959 nm. What is
the  angular  separation  of  these  two  wavelengths  in  the
second-order spectrum?

67.

The scale of a map is a number of kilometers per centime-
ter,  specifying  the  distance  on  the  ground  that  any  dis-
tance on the map represents. The scale of a spectrum is its
dispersion, a number of nanometers per centimeter, which
specifies  the  change  in  wavelength  that  a  distance  across
the spectrum represents. One must know the dispersion in
order to compare one spectrum with another and to make
a measurement of (for example) a Doppler shift. Let y rep-
resent  the  position  relative  to  the  center  of  a  diffraction
pattern projected onto a flat screen at distance L by a dif-
fraction grating with slit spacing d. The dispersion is d%/dy.

d!

d

 

%

"

m

d cos !

(

! "

(

%

√

(d/m)

2

'

%

2

63.

tan ! "

n

2

 sin )

n

1

'

n

2

 cos )

θ

p

θ

Air

Water

θ

Figure P38.58

59.

A  beam  of  bright  red  light  of  wavelength  654 nm  passes
through a diffraction grating. Enclosing the space beyond
the grating is a large screen forming one half of a cylinder
centered on the grating, with its axis parallel to the slits in
the  grating.  Fifteen  bright  spots  appear  on  the  screen.
Find  the  maximum  and  minimum  possible  values  for  the
slit separation in the diffraction grating.

60.

A pinhole camera has a small circular aperture of diameter D.
Light from distant objects passes through the aperture into
an otherwise dark box, falling on a screen located a distance
L away.  If  D is  too  large,  the  display  on  the  screen  will  be
fuzzy,  because  a  bright  point  in  the  field  of  view  will  send
light onto a circle of diameter slightly larger than D. On the
other hand, if D is too small, diffraction will blur the display
on the screen. The screen shows a reasonably sharp image if
the diameter of the central disk of the diffraction pattern,
specified  by  Equation  38.9,  is  equal  to  D at  the  screen.
(a) Show  that  for  monochromatic  light  with  plane  wave
fronts and L 44 D, the condition for a sharp view is fulfilled
if D

2

"

2.44%L. (b) Find the optimum pinhole diameter for

500-nm light projected onto a screen 15.0 cm away.

61.

An  American  standard  television  picture  is  composed  of
about  485  horizontal  lines  of  varying  light  intensity.
Assume that your ability to resolve the lines is limited only
by the Rayleigh criterion and that the pupils of your eyes
are 5.00 mm in diameter. Calculate the ratio of minimum
viewing  distance  to  the  vertical  dimension  of  the  picture
such that you will not be able to resolve the lines. Assume

1240

C H A P T E R   3 8 •  Diffraction Patterns and Polarization

(a) Prove that the dispersion is given by

(b)  Calculate  the  dispersion  in  first  order  for  light  with  a
mean wavelength of 550 nm, analyzed with a grating having
8 000 rulings/cm, and projected onto a screen 2.40 m away.

68.

Derive Equation 38.12 for the resolving power of a grating,
R " Nm, where N is the number of slits illuminated and m
is  the  order  in  the  diffraction  pattern.  Remember  that
Rayleigh’s  criterion  (Section  38.3)  states  that  two
wavelengths will be resolved when the principal maximum
for one falls on the first minimum for the other.

69.

Figure  P38.69a  is  a  three-dimensional  sketch  of  a  birefrin-
gent  crystal.  The  dotted  lines  illustrate  how  a  thin  parallel-
faced slab of material could be cut from the larger specimen
with the optic axis of the crystal parallel to the faces of the
plate. A section cut from the crystal in this manner is known
as a retardation plate. When a beam of light is incident on the
plate  perpendicular  to  the  direction  of  the  optic  axis,  as
shown  in  Figure  P38.69b,  the  O  ray  and  the  E  ray  travel
along a single straight line, but with different speeds. (a) Let
the thickness of the plate be d and show that the phase dif-
ference between the O ray and the E ray is

where  % is  the  wavelength  in  air.  (b)  In  a  particular  case
the  incident  light  has  a  wavelength  of  550 nm.  Find  the
minimum value of d for a quartz plate for which ! " */2.
Such a plate is called a quarter-wave plate. (Use values of n

O

and n

E

from Table 38.1.)

! "

2*d

%

 

"n

O

'

n

E

"

d

 

%

dy

"

L

2

d

m(L

2

,

y

2

)

3/2

maximum  of  the  central  maximum  of  the  single-slit
Fraunhofer diffraction pattern. You can evaluate this angle
of spreading in this problem and in the next. (a) In Equa-
tion  38.4,  define  )/2 " 5 and  show  that,  at  the  point
where  I " 0.5I

max

,  we  must  have  sin 5 " 5/ .  (b)  Let

y

1

"

sin 5 and y

2

"

5

/ . Plot y

1

and y

2

on the same set

of axes over a range from 5 " 1 rad to 5 " */2 rad. De-
termine 5 from the point of intersection of the two curves.
(c) Then show that, if the fraction %/a is not large, the an-
gular full width at half maximum of the central diffraction
maximum is (! " 0.886 %/a.

Another method to solve the equation 5 "

sin 5 in

Problem 70 is to guess a first value of 5, use a computer or
calculator to see how nearly it fits, and continue to update
your estimate until the equation balances. How many steps
(iterations) does this take?

72.

In the diffraction pattern of a single slit, described by

the equation

with ) " (2*a sin !)/%, the central maximum is at ) " 0
and the side maxima are approximately at )/2 " (m , )*
for  m " 1,  2,  3, .  .  .  .  Determine  more  precisely  (a)  the
location  of  the  first  side  maximum,  where  m " 1,  and
(b) the location of the second side maximum. Observe in
Figure 38.10a that the graph of intensity versus )/2 has a
horizontal tangent at maxima and also at minima. You will
need to solve a transcendental equation.

73.

Light  of  wavelength  632.8 nm  illuminates  a  single  slit,

and a diffraction pattern is formed on a screen 1.00 m from
the slit. Using the data in the table below, plot relative inten-
sity versus position. Choose an appropriate value for the slit
width a and on the same graph used for the experimental
data, plot the theoretical expression for the relative intensity

What value of a gives the best fit of theory and experiment?

I

!

I

 

max

"

 

sin

2

()/2)

()/2)

2

1

2

I

!

"

I

 

max

 

sin

2

()/2)

()/2)

2

√

2

71.

√

2

√

2

(b)

(a)

Optic

axis

Optic

axis

Wave front

E ray

O ray

d

Figure P38.69

Position Relative to

Relative Intensity

Central Maximum (mm)

1.00

0

0.95

0.8

0.80

1.6

0.60

2.4

0.39

3.2

0.21

4.0

0.079

4.8

0.014

5.6

0.003

6.5

0.015

7.3

0.036

8.1

0.047

8.9

0.043

9.7

0.029

10.5

0.013

11.3

0.002

12.1

0.000 3

12.9

0.005

13.7

70.

How  much  diffraction  spreading  does  a  light  beam

undergo?  One  quantitative  answer  is  the full  width  at  half