Physics For Scientists And Engineers 6E - part 301

Problems

1201

A gas is slowly leaked into the cylinder until a pressure of
1 atm  is  reached.  If  N bright  fringes  pass  on  the  screen
when  light  of  wavelength  & is  used,  what  is  the  index  of
refraction of the gas?

Additional Problems

44.

In  the  What  If? section  of  Example  37.2,  it  was  claimed
that  overlapping  fringes  in  a  two-slit  interference  pattern
for  two  different  wavelengths  obey  the  following  relation-
ship even for large values of the angle !:

(a)  Prove  this  assertion.  (b)  Using  the  data  in  Example
37.2, find the value of y on the screen at which the fringes
from the two wavelengths first coincide.

45. One  radio  transmitter  A  operating  at  60.0 MHz  is  10.0 m

from  another  similar  transmitter  B  that  is  180° out  of
phase  with  A.  How  far  must  an  observer  move  from  A
toward B along the line connecting A and B to reach the
nearest point where the two beams are in phase?

46.

Review  problem.  This  problem  extends  the  result  of
Problem  12  in  Chapter  18.  Figure  P37.46  shows  two
adjacent  vibrating  balls  dipping  into  a  tank  of  water.  At
distant  points  they  produce  an  interference  pattern  of
water waves, as shown in Figure 37.3. Let & represent the
wavelength  of  the  ripples.  Show  that  the  two  sources
produce a standing wave along the line segment, of length
d, between them. In terms of & and d, find the number of
nodes and the number of antinodes in the standing wave.
Find the number of zones of constructive and of destruc-
tive interference in the interference pattern far away from
the  sources.  Each  line  of  destructive  interference  springs
from  a  node  in  the  standing  wave  and  each  line  of
constructive interference springs from an antinode.

&

&+

#

m+

m

of  constructive  interference.  (b)  To  make  the  angles  in
the interference  pattern  easy  to  measure  with  a  plastic
protractor,  you  should  use  an  electromagnetic  wave  with
frequency  of  what  order  of  magnitude?  How  is  this  wave
classified on the electromagnetic spectrum?

48.

In  a  Young’s  double-slit  experiment  using  light  of  wave-
length &, a thin piece of Plexiglas having index of refrac-
tion  n covers  one  of  the  slits.  If  the  center  point  on  the
screen  is  a  dark  spot  instead  of  a  bright  spot,  what  is  the
minimum thickness of the Plexiglas?

49.

Review problem. A flat piece of glass is held stationary and
horizontal above the flat top end of a 10.0-cm-long vertical
metal rod that has its lower end rigidly fixed. The thin film
of air between the rod and glass is observed to be bright by
reflected light when it is illuminated by light of wavelength
500 nm. As the temperature is slowly increased by 25.0°C,
the  film  changes  from  bright  to  dark  and  back  to  bright
200  times.  What  is  the  coefficient  of  linear  expansion  of
the metal?

50.

A  certain  crude  oil  has  an  index  of  refraction  of  1.25.  A
ship dumps 1.00 m

3

of this oil into the ocean, and the oil

spreads  into  a  thin  uniform  slick.  If  the  film  produces  a
first-order  maximum  of  light  of  wavelength  500 nm
normally  incident  on  it,  how  much  surface  area  of  the
ocean  does  the  oil  slick  cover?  Assume  that  the  index  of
refraction of the ocean water is 1.34.
Astronomers  observe  a  60.0-MHz  radio  source  both
directly  and  by  reflection  from  the  sea.  If  the  receiving
dish  is  20.0 m  above  sea  level,  what  is  the  angle  of  the
radio source above the horizon at first maximum?

52.

Interference effects are produced at point P on a screen as
a result of direct rays from a 500-nm source and reflected
rays  from  the  mirror,  as  shown  in  Figure  P37.52.  Assume
the source is 100 m to the left of the screen and 1.00 cm
above the mirror. Find the distance y to the first dark band
above the mirror.

51.

Figure P37.46

Courtesy of Central Scientific Company

Figure P37.52

O

Source

P

Viewing screen

Mirror

!

y

47.

Raise  your  hand  and  hold  it  flat.  Think  of  the  space
between your index finger and your middle finger as one
slit, and think of the space between middle finger and ring
finger  as  a  second  slit.  (a)  Consider  the  interference
resulting  from  sending  coherent  visible  light  perpendicu-
larly through this pair of openings. Compute an order-of-
magnitude estimate for the angle between adjacent zones

53.

The waves from a radio station can reach a home receiver
by two paths. One is a straight-line path from transmitter
to  home,  a  distance  of  30.0 km.  The  second  path  is  by
reflection  from  the  ionosphere  (a  layer  of  ionized  air
molecules high in the atmosphere). Assume this reflection
takes  place  at  a  point  midway  between  receiver  and
transmitter and that the wavelength broadcast by the radio
station  is  350 m.  Find  the  minimum  height  of  the
ionospheric layer that could produce destructive interfer-
ence  between  the  direct  and  reflected  beams.  (Assume
that no phase change occurs on reflection.)

the transmitter and indirectly from signals that reflect from
the  ground.  Assume  that  the  ground  is  level  between  the
transmitter and receiver and that a 180° phase shift occurs
upon  reflection.  Determine  the  longest  wavelengths  that
interfere (a) constructively and (b) destructively.

60.

A piece of transparent material having an index of refrac-
tion n is cut into the shape of a wedge as shown in Figure
P37.60.  The  angle  of  the  wedge  is  small.  Monochromatic
light of wavelength & is normally incident from above, and
viewed  from  above.  Let  h represent  the  height  of  the
wedge  and  ! its  width.  Show  that  bright  fringes  occur  at
the positions x # &!(m ( )/2hn and dark fringes occur at
the positions x = &!m/2hn, where m # 0, 1, 2, . . . and x
is measured as shown.

1

2

1202

C H A P T E R   37 •  Interference of Light Waves

Figure P37.59

Figure P37.60

Figure P37.61

Transmitter

Receiver

d

h

!

x

h

θ

m =0 Zero order

Viewing screen

Plastic

sheet

L

d

∆r

y

′

54.

Many  cells  are  transparent  and  colorless.  Structures  of
great interest  in  biology  and  medicine  can  be  practically
invisible  to  ordinary  microscopy.  An  interference  microscope
reveals a difference in index of refraction as a shift in inter-
ference  fringes,  to  indicate  the  size  and  shape  of  cell
structures.  The  idea  is  exemplified  in  the  following
problem: An air wedge is formed between two glass plates in
contact along one edge and slightly separated at the oppo-
site edge. When the plates are illuminated with monochro-
matic  light  from  above,  the  reflected  light  has  85  dark
fringes.  Calculate  the  number  of  dark  fringes  that  appear
if water (n # 1.33) replaces the air between the plates.
Measurements  are  made  of  the  intensity  distribution  in  a
Young’s interference pattern (see Fig. 37.7). At a particu-
lar value of y, it is found that I/I

max

#

0.810 when 600-nm

light  is  used.  What  wavelength  of  light  should  be  used  to
reduce the relative intensity at the same location to 64.0%
of the maximum intensity?

56.

Our  discussion  of  the  techniques  for  determining  con-
structive and destructive interference by reflection from a
thin film in air has been confined to rays striking the film
at nearly normal incidence. What If? Assume that a ray is
incident at an angle of 30.0° (relative to the normal) on a
film with index of refraction 1.38. Calculate the minimum
thickness  for  constructive  interference  of  sodium  light
with a wavelength of 590 nm.
The  condition  for  constructive  interference  by  reflection
from  a  thin  film  in  air  as  developed  in  Section  37.6
assumes  nearly  normal  incidence.  What  If?  Show  that  if
the  light  is  incident  on  the  film  at  a  nonzero  angle  .

1

(relative to the normal), then the condition for construc-
tive interference is 2nt cos !

2

#

(m ( )&, where !

2

is the

angle of refraction.

58.

(a) Both sides of a uniform film that has index of refrac-
tion n and thickness d are in contact with air. For normal
incidence of light, an intensity minimum is observed in the
reflected light at &

2

and an intensity maximum is observed

at  &

1

,  where  &

1

'

&

2

.  Assuming  that  no  intensity  minima

are observed between &

1

and &

2

, show that the integer m in

Equations 37.16 and 37.17 is given by m # &

1

/2(&

1

$

&

2

).

(b)  Determine  the  thickness  of  the  film,  assuming
n # 1.40, &

1

#

500 nm, and &

2

#

370 nm.

59.

Figure P37.59 shows a radio-wave transmitter and a receiver
separated by a distance d and both a distance h above the
ground. The receiver can receive signals both directly from

1

2

57.

55.

Consider  the  double-slit  arrangement  shown  in  Figure

P37.61, where the slit separation is d and the slit to screen
distance  is  L.  A  sheet  of  transparent  plastic  having  an
index  of  refraction  n and  thickness  t  is  placed  over  the
upper  slit.  As  a  result,  the  central  maximum  of  the  inter-
ference pattern moves upward a distance y+. Find y+.

61.

62.

A  plano-convex  lens  has  index  of  refraction  n.  The  curved
side of the lens has radius of curvature R and rests on a flat
glass surface of the same index of refraction, with a film of
index n

film

between them, as shown in Fig. 37.18a. The lens

is illuminated from above by light of wavelength &. Show that
the dark Newton’s rings have radii given approximately by

where m is an integer and r is much less than R.

r

!

√

m&R

  

n

film

Problems

1203

63.

In  a  Newton’s-rings  experiment,  a  plano-convex  glass
(n # 1.52) lens having diameter 10.0 cm is placed on a flat
plate as shown in Figure 37.18a. When 650-nm light is inci-
dent  normally,  55  bright  rings  are  observed  with  the  last
one right on the edge of the lens. (a) What is the radius of
curvature  of  the  convex  surface  of  the  lens?  (b)  What  is
the focal length of the lens?

64.

A  plano-concave  lens  having  index  of  refraction  1.50  is
placed on a flat glass plate, as shown in Figure P37.64. Its
curved surface, with radius of curvature 8.00 m, is on the
bottom.  The  lens  is  illuminated  from  above  with  yellow
sodium  light  of  wavelength  589 nm,  and  a  series  of  con-
centric bright and dark rings is observed by reflection. The
interference  pattern  has  a  dark  spot  at  the  center,  sur-
rounded  by  50  dark  rings,  of  which  the  largest  is  at  the
outer edge of the lens. (a) What is the thickness of the air
layer at the center of the interference pattern? (b) Calcu-
late  the  radius  of  the  outermost  dark  ring.  (c)  Find  the 
focal length of the lens.

(a)  Locate  the  first  red  (& # 680 nm)  interference  band.
(b)  Determine  the  film  thickness  at  the  positions  of  the
violet  and  red  bands.  (c)  What  is  the  wedge  angle  of  the
film?

68. Compact  disc  (CD)  and  digital  video  disc  (DVD)  players

use  interference  to  generate  a  strong  signal  from  a  tiny
bump. The depth of a pit is chosen to be one quarter of the
wavelength  of  the  laser  light  used  to  read  the  disc.  Then
light reflected from the pit and light reflected from the ad-
joining  flat  differ  in  path  length  traveled  by  one-half 
wavelength, to interfere destructively at the detector. As the
disc rotates, the light intensity drops significantly every time
light is reflected from near a pit edge. The space between
the leading and trailing edges of a pit determines the time
between the fluctuations. The series of time intervals is de-
coded into a series of zeros and ones that carries the stored
information. Assume that infrared light with a wavelength
of  780 nm  in  vacuum  is  used  in  a  CD  player.  The  disc  is
coated  with  plastic  having  an  index  of  refraction  of  1.50.
What should be the depth of each pit? A DVD player uses
light  of  a  shorter  wavelength,  and  the  pit  dimensions  are
correspondingly  smaller.  This  is  one  factor  resulting  in
greater storage capacity on a DVD compared to a CD.

69.

Interference  fringes  are  produced  using  Lloyd’s  mirror
and  a  606-nm  source  as  shown  in  Figure  37.15.  Fringes
1.20 mm  apart  are  formed  on  a  screen  2.00 m  from  the
real  source  S.  Find  the  vertical  distance  h of  the  source
above the reflecting surface.

70.

Monochromatic  light  of  wavelength  620 nm  passes
through  a  very  narrow  slit  S  and  then  strikes  a  screen  in
which are two parallel slits, S

1

and S

2

, as in Figure P37.70.

Slit  S

1

is  directly  in  line  with  S  and  at  a  distance  of

L # 1.20 m away from S, whereas S

2

is displaced a distance

d to one side. The light is detected at point P on a second
screen, equidistant from S

1

and S

2

. When either one of the

slits S

1

and S

2

is open, equal light intensities are measured

at  point  P.  When  both  are  open,  the  intensity  is  three
times larger. Find the minimum possible value for the slit
separation d.

Figure P37.64

Figure P37.65

Figure P37.70

R

r

S

1

S

2

S

d

P

L

Viewing

screen

65.

A  plano-convex  lens  having  a  radius  of  curvature  of
r # 4.00 m is placed on a concave glass surface whose radius
of  curvature  is  R # 12.0 m,  as  shown  in  Figure  P37.65.
Determine  the  radius  of  the  100th  bright  ring,  assuming
500-nm  light  is  incident  normal  to  the  flat  surface  of  the
lens.

66. Use  phasor  addition  to  find  the  resultant  amplitude  and

phase  constant  when  the  following  three  harmonic
functions  are  combined:  E

1

#

sin(-t ( //6),  E

2

#

3.0 sin(-t ( 7//2), and E

3

#

6.0 sin(-t ( 4//3).

67.

A  soap  film  (n # 1.33)  is  contained  within  a  rectangular
wire  frame.  The  frame  is  held  vertically  so  that  the  film
drains  downward  and  forms  a  wedge  with  flat  faces.  The
thickness of the film at the top is essentially zero. The film
is  viewed  in  reflected  white  light  with  near-normal
incidence,  and  the  first  violet  (& # 420 nm)  interference
band  is  observed  3.00 cm  from  the  top  edge  of  the  film.

71.

Slit 1 of a double slit is wider than slit 2, so that the light
from 1 has an amplitude 3.00 times that of the light from
2. Show that for this situation, Equation 37.11 is replaced
by the equation I # (4I

max

/9)(1 ( 3 cos

2

.

/2).

Answers to Quick Quizzes
37.1 (b). The geometrical construction shown in Figure 37.5 is

important for developing the mathematical description of
interference. It is subject to misinterpretation, however, as
it might suggest that the interference can only occur at the
position of the screen. A better diagram for this situation is
Figure 37.2, which shows paths of destructive and construc-
tive  interference  all  the  way  from  the  slits  to  the  screen.
These paths would be made visible by the smoke.

37.2 (c). Equation 37.5, which shows positions y proportional

to order number m, is only valid for small angles.

37.3 (c). Equation 37.5 shows that decreasing & or L will bring

the  fringes  closer  together.  Immersing  the  apparatus  in
water decreases the wavelength so that the fringes move
closer together.

37.4 (c).  Conservation  of  energy  cannot  be  violated.  While

there  is  no  energy  arriving  at  the  location  of  a  dark
fringe, there is more energy arriving at the location of a
bright fringe than there would be without the double slit.

37.5 The graph is shown in the next column. The width of the

primary  maxima  is  slightly  narrower  than  the  N # 5
primary width but wider than the N # 10 primary width.
Because  N # 6,  the  secondary  maxima  are 

as  intense

as the primary maxima.

1

36

37.6 (a). One of the materials has a higher index of refraction

than  water,  the  other  lower.  For  the  material  with  a
higher index of refraction, there is a 180° phase shift for
the  light  reflected  from  the  upper  surface,  but  no  such
phase change from the lower surface, because the index
of  refraction  for  water  on  the  other  side  is  lower  than
that  of  the  film.  Thus,  the  two  reflections  are  out  of
phase and interfere destructively.

37.7 (a). At the left edge, the air wedge has zero thickness and

the  only  contribution  to  the  interference  is  the  180°
phase shift as the light reflects from the upper surface of
the glass slide.

1204

C H A P T E R   37 •  Interference of Light Waves

 

I

I

max

0

–

2

λ

–

2

λ

λ

λ

λ

λ

d sin 

θ

θ