Physics For Scientists And Engineers 6E - part 302

1205

Diffraction Patterns 

and Polarization

C H A P T E R   O U T L I N E

38.1 Introduction to Diffraction

Patterns

38.2 Diffraction Patterns from

Narrow Slits

38.3 Resolution of Single-Slit and

Circular Apertures

38.4 The Diffraction Grating

38.5 Diffraction of X-Rays by

Crystals

38.6 Polarization of Light Waves

▲

The Hubble Space Telescope does its viewing above the atmosphere and does not suffer

from the atmospheric blurring, caused by air turbulence, that plagues ground-based tele-
scopes. Despite this advantage, it does have limitations due to diffraction effects. In this
chapter we show how the wave nature of light limits the ability of any optical system to distin-
guish between closely spaced objects. (©Denis Scott/CORBIS)

Chapter 38

1206

W

hen  plane  light  waves  pass  through  a  small  aperture  in  an  opaque  barrier,  the

aperture acts as if it were a point source of light, with waves entering the shadow region
behind  the  barrier.  This  phenomenon,  known  as  diffraction,  can  be  described  only
with a wave model for light, as discussed in Section 35.3. In this chapter, we investigate
the  features  of  the  diffraction  pattern that  occurs  when  the  light  from  the  aperture  is
allowed to fall upon a screen.

In Chapter 34, we learned that electromagnetic waves are transverse. That is, the

electric and magnetic field vectors associated with electromagnetic waves are perpen-
dicular  to  the  direction  of  wave  propagation.  In  this  chapter,  we  show  that  under
certain  conditions  these  transverse  waves  with  electric  field  vectors  in  all  possible
transverse  directions  can  be  polarized in  various  ways.  This  means  that  only  certain
directions of the electric field vectors are present in the polarized wave.

38.1 Introduction to Diffraction Patterns

In Section 35.3 we discussed the fact that light of wavelength comparable to or larger
than the width of a slit spreads out in all forward directions upon passing through the
slit. We call this phenomenon diffraction. This behavior indicates that light, once it has
passed through a narrow slit, spreads beyond the narrow path defined by the slit into
regions that would be in shadow if light traveled in straight lines. Other waves, such as
sound  waves  and  water  waves,  also  have  this  property  of  spreading  when  passing
through apertures or by sharp edges.

We might expect that the light passing through a small opening would simply result

in a  broad  region  of  light  on  a  screen,  due  to  the  spreading  of  the  light  as  it  passes
through  the  opening.  We  find  something  more  interesting,  however.  A 

diffraction

pattern consisting of light and dark areas is observed, somewhat similar to the interfer-
ence  patterns  discussed  earlier.  For  example,  when  a  narrow  slit  is  placed  between  a
distant  light  source  (or  a  laser  beam)  and  a  screen,  the  light  produces  a  diffraction
pattern  like  that  in  Figure  38.1.  The  pattern  consists  of  a  broad,  intense  central  band
(called the 

central maximum), flanked by a series of narrower, less intense additional

bands  (called 

side  maxima or  secondary  maxima)  and  a  series  of  intervening  dark

bands (or 

minima). Figure 38.2 shows a diffraction pattern associated with light passing

by the edge of an object. Again we see bright and dark fringes, which is reminiscent of an
interference pattern.

Figure 38.3 shows a diffraction pattern associated with the shadow of a penny. A bright

spot occurs at the center, and circular fringes extend outward from the shadow’s edge. We
can explain the central bright spot only by using the wave theory of light, which predicts
constructive interference at this point. From the viewpoint of geometric optics (in which
light is viewed as rays traveling in straight lines), we expect the center of the shadow to be
dark because that part of the viewing screen is completely shielded by the penny.

It is interesting to point out an historical incident that occurred shortly before the

central  bright  spot  was  first  observed.  One  of  the  supporters  of  geometric  optics,

Figure 38.1 The diffraction

pattern that appears on a screen

when light passes through a narrow

vertical slit. The pattern consists of

a broad central fringe and a series

of less intense and narrower side

fringes.

Simeon Poisson, argued that if Augustin Fresnel’s wave theory of light were valid, then
a central bright spot should be observed in the shadow of a circular object illuminated
by  a  point  source  of  light.  To  Poisson’s  astonishment,  the  spot  was  observed  by
Dominique  Arago  shortly  thereafter.  Thus,  Poisson’s  prediction  reinforced  the  wave
theory rather than disproving it.

38.2 Diffraction Patterns from Narrow Slits

Let us consider a common situation, that of light passing through a narrow opening
modeled as a slit, and projected onto a screen. To simplify our analysis, we assume that
the  observing  screen  is  far  from  the  slit,  so  that the  rays  reaching  the  screen  are
approximately parallel. This can also be achieved experimentally by using a converging
lens  to  focus  the  parallel  rays  on  a  nearby  screen.  In  this  model,  the  pattern  on  the
screen is called a 

Fraunhofer diffraction pattern.

1

Figure  38.4a  shows  light  entering  a  single  slit  from  the  left  and  diffracting  as  it

propagates  toward  a  screen.  Figure  38.4b  is  a  photograph  of  a  single-slit  Fraunhofer

S E C T I O N   3 8 . 2 •  Diffraction Patterns from Narrow Slits

1207

Source

Opaque object

Viewing

screen

Figure 38.2 Light from a small source passes by the edge of an opaque object and con-

tinues on to a screen. A diffraction pattern consisting of bright and dark fringes

appears on the screen in the region above the edge of the object.

▲

PITFALL PREVENTION 

38.1 Diffraction vs.

Diffraction Pattern

Diffraction refers  to  the  general
behavior  of  waves  spreading  out
as  they  pass  through  a  slit.  We
used diffraction in explaining the
existence  of  an  interference  pat-
tern  in  Chapter  37.  A  diffraction
pattern is actually a misnomer but
is  deeply  entrenched  in  the  lan-
guage of  physics.  The diffraction
pattern seen on a screen when a
single  slit  is  illuminated  is  really
another  interference  pattern.
The interference is between parts
of the incident light illuminating
different regions of the slit.

Figure 38.3 Diffraction pattern

created by the illumination of a

penny, with the penny positioned

midway between screen and light

source. Note the bright spot at the

center.

P.M. Rinard,

Am. J. Phys.

44:70, 

1976

1

If the screen is brought close to the slit (and no lens is used), the pattern is a Fresnel diffraction pat-

tern. The Fresnel pattern is more difficult to analyze, so we shall restrict our discussion to Fraunhofer
diffraction.

Slit

Incoming

wave

Viewing screen

(a)

θ

Active Figure 38.4 (a) Fraunhofer

diffraction pattern of a single slit. The

pattern consists of a central bright fringe

flanked by much weaker maxima

alternating with dark fringes. (Drawing not

to scale.) (b) Photograph of a single-slit

Fraunhofer diffraction pattern.

M. Cagnet, M. Francon, and J. C. Thierr

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the slit width and

the wavelength of the light to

see the effect on the diffraction

pattern.

(b)

diffraction pattern. A bright fringe is observed along the axis at ! " 0, with alternating
dark and bright fringes on each side of the central bright fringe.

Until now, we have assumed that slits are point sources of light. In this section, we

abandon that assumption and see how the finite width of slits is the basis for under-
standing Fraunhofer diffraction. We can deduce some important features of this phe-
nomenon  by  examining  waves  coming  from  various  portions  of  the  slit,  as  shown  in
Figure  38.5.  According  to  Huygens’s  principle, 

each  portion  of  the  slit  acts  as  a

source  of  light  waves. Hence,  light  from  one  portion  of  the  slit  can  interfere  with
light  from  another  portion,  and  the  resultant  light  intensity  on  a  viewing  screen
depends  on  the  direction  !.  Based  on  this  analysis,  we  recognize  that  a  diffraction
pattern is actually an interference pattern, in which the different sources of light are
different portions of the single slit!

To analyze the diffraction pattern, it is convenient to divide the slit into two halves,

as shown in Figure 38.5. Keeping in mind that all the waves are in phase as they leave
the slit, consider rays 1 and 3. As these two rays travel toward a viewing screen far to the
right of the figure, ray 1 travels farther than ray 3 by an amount equal to the path dif-
ference  (a/2)sin!,  where  a is  the  width  of  the  slit.  Similarly,  the  path  difference
between rays 2 and 4 is also (a/2) sin !, as is that between rays 3 and 5. If this path dif-
ference  is  exactly  half  a  wavelength  (corresponding  to  a  phase  difference  of  180°),
then the two waves cancel each other and destructive interference results. If this is true
for two such rays, then it is true for any two rays that originate at points separated by
half  the  slit  width  because  the  phase  difference  between  two  such  points  is  180°.
Therefore, waves from the upper half of the slit interfere destructively with waves from
the lower half when

or when

If we divide the slit into four equal parts and use similar reasoning, we find that the

viewing screen is also dark when

Likewise, we can divide the slit into six equal parts and show that darkness occurs on
the screen when

Therefore, the general condition for destructive interference is

(38.1)

This  equation  gives  the  values  of  !

dark

for  which  the  diffraction  pattern  has  zero

light  intensity—that  is,  when  a  dark  fringe  is  formed.  However,  it  tells  us  nothing
about the variation in light intensity along the screen. The general features of the
intensity  distribution  are  shown  in  Figure  38.6.  A  broad  central  bright  fringe  is
observed; this fringe is flanked by much weaker bright fringes alternating with dark
fringes.  The  various  dark  fringes  occur  at  the  values  of  !

dark

that  satisfy  Equation

38.1. Each bright-fringe peak lies approximately halfway between its bordering dark-
fringe  minima.  Note  that  the  central  bright  maximum  is  twice  as  wide  as  the  sec-
ondary maxima.

m " #1, #2, #3,

  $  $  $

sin !

dark

"

m

 

 

%
a

sin ! " #

3%

a

sin ! " #

2%

a

sin ! " #

%
a

a
2

 sin ! " #

%
2

1208

C H A P T E R   3 8 •  Diffraction Patterns and Polarization

a/2

a

a/2

a

2

sin

3

2

5

4

1

θ

θ

Figure 38.5 Paths of light rays that

encounter a narrow slit of width a

and diffract toward a screen in the

direction described by angle 

!

.

Each portion of the slit acts as a

point source of light waves. The

path difference between rays 1 and

3, rays 2 and 4, or rays 3 and 5 is

(a/2) sin 

!

. (Drawing not to scale.)

▲

PITFALL PREVENTION 

38.2 Similar Equation

Warning!

Equation  38.1  has  exactly  the
same form as Equation 37.2, with
d,  the  slit  separation,  used  in
Equation  37.2  and  a,  the  slit
width,  in  Equation  38.1.  How-
ever, Equation 37.2 describes the
bright regions  in  a  two-slit  inter-
ference  pattern  while  Equation
38.1 describes the dark regions in
a  single-slit  diffraction  pattern.
Furthermore,  m " 0  does  not
represent a dark fringe in the dif-
fraction pattern.

Condition for destructive

interference for a single slit