Physics For Scientists And Engineers 6E - part 300

Problems

1197

What is the necessary condition on the path length differ-
ence  between  two  waves  that  interfere  (a)  constructively
and (b) destructively?

2. Explain  why  two  flashlights  held  close  together  do  not

produce an interference pattern on a distant screen.

3. If  Young’s  double-slit  experiment  were  performed  under

water,  how  would  the  observed  interference  pattern  be
affected?
In  Young’s  double-slit  experiment,  why  do  we  use  mono-
chromatic  light?  If  white  light  is  used,  how  would  the
pattern change?

5. A simple way to observe an interference pattern is to look

at a distant light source through a stretched handkerchief
or an opened umbrella. Explain how this works.

6. A  certain  oil  film  on  water  appears  brightest  at  the  outer

regions, where it is thinnest. From this information, what
can you say about the index of refraction of oil relative to
that of water?

7. As a soap bubble evaporates, it appears black just before it

breaks.  Explain  this  phenomenon  in  terms  of  the  phase
changes that occur on reflection from the two surfaces of
the soap film.

8. If we are to observe interference in a thin film, why must

the film not be very thick (with thickness only on the order
of a few wavelengths)?

9. A lens with outer radius of curvature R and index of refrac-

tion  n rests  on  a  flat  glass  plate.  The  combination  is

4.

1.

illuminated with white light from above and observed from
above. Is there a dark spot or a light spot at the center of
the  lens?  What  does  it  mean  if  the  observed  rings  are
noncircular?

10. Why  is  the  lens  on  a  good-quality  camera  coated  with  a

thin film?

11. Why  is  it  so  much  easier  to  perform  interference  experi-

ments with a laser than with an ordinary light source?

12. Suppose that reflected white light is used to observe a thin

transparent  coating  on  glass  as  the  coating  material  is
gradually deposited by evaporation in a vacuum. Describe
color  changes  that  might  occur  during  the  process  of
building up the thickness of the coating.

13. In  our  discussion  of  thin-film  interference,  we  looked  at

light reflecting from a thin film. What If? Consider one light
ray,  the  direct  ray,  which  transmits  through  the  film
without reflecting. Consider a second ray, the reflected ray,
that  transmits  through  the  first  surface,  reflects  from  the
second,  reflects  again  from  the  first,  and  then  transmits
out  into  the  air,  parallel  to  the  direct  ray.  For  normal
incidence,  how  thick  must  the  film  be,  in  terms  of  the
wavelength  of  light,  for  the  outgoing  rays  to  interfere
destructively?  Is  it  the  same  thickness  as  for  reflected
destructive interference?

14. Suppose  you  are  watching  television  by  connection  to  an

antenna  rather  than  a  cable  system.  If  an  airplane  flies
near your location, you may notice wavering ghost images
in the television picture. What might cause this?

Q U E S T I O N S

Section 37.1 Conditions for Interference
Section 37.2 Young’s Double-Slit Experiment

1. A  laser  beam  (& # 632.8 nm)  is  incident  on  two  slits

0.200 mm apart. How far apart are the bright interference
fringes on a screen 5.00 m away from the double slits?

2. A  Young’s  interference  experiment  is  performed  with

monochromatic  light.  The  separation  between  the  slits
is 0.500 mm,  and  the  interference  pattern  on  a  screen
3.30 m away shows the first side maximum 3.40 mm from
the center of the pattern. What is the wavelength?

Two radio antennas separated by 300 m as shown in

Figure  P37.3  simultaneously  broadcast  identical  signals  at

3.

Note: Problems 8, 9, 10, and 12 in Chapter 18 can be
assigned with these sections.

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

400 m

1000 m

300 m

Figure P37.3

1198

C H A P T E R   37 •  Interference of Light Waves

the same wavelength. A radio in a car traveling due north
receives the signals. (a) If the car is at the position of the
second  maximum,  what  is  the  wavelength  of  the  signals?
(b)  How  much  farther  must  the  car  travel  to  encounter
the  next  minimum  in  reception?  (Note: Do  not  use  the
small-angle approximation in this problem.)

4.

In  a  location  where  the  speed  of  sound  is  354 m/s,  a
2 000-Hz sound wave impinges on two slits 30.0 cm apart.
(a) At what angle is the first maximum located? (b) What
If? If the sound wave is replaced by 3.00-cm microwaves,
what  slit  separation  gives  the  same  angle  for  the  first
maximum? (c) What If? If the slit separation is 1.00 3m,
what  frequency  of  light  gives  the  same  first  maximum
angle?

Young’s  double-slit  experiment  is  performed  with

589-nm  light  and  a  distance  of  2.00 m  between  the  slits
and  the  screen.  The  tenth  interference  minimum  is
observed 7.26 mm from the central maximum. Determine
the spacing of the slits.

6.

The two speakers of a boom box are 35.0 cm apart. A single
oscillator makes the speakers vibrate in phase at a frequency
of  2.00 kHz.  At  what  angles,  measured  from  the  perpen-
dicular  bisector  of  the  line  joining  the  speakers,  would  a
distant observer hear maximum sound intensity? Minimum
sound intensity? (Take the speed of sound as 340 m/s.)
Two  narrow,  parallel  slits  separated  by  0.250 mm  are
illuminated  by  green  light  (& # 546.1 nm).  The  interfer-
ence pattern is observed on a screen 1.20 m away from the
plane  of  the  slits.  Calculate  the  distance  (a)  from  the
central maximum to the first bright region on either side
of  the  central  maximum  and  (b)  between  the  first  and
second dark bands.

8. Light with wavelength 442 nm passes through a double-slit

system that has a slit separation d # 0.400 mm. Determine
how far away a screen must be placed in order that a dark
fringe  appear  directly  opposite  both  slits,  with  just  one
bright fringe between them.

9.

A  riverside  warehouse  has  two  open  doors  as  shown  in
Figure  P37.9.  Its  walls  are  lined  with  sound-absorbing
material. A boat on the river sounds its horn. To person A
the  sound  is  loud  and  clear.  To  person  B  the  sound  is
barely  audible.  The  principal  wavelength  of  the  sound
waves  is  3.00 m.  Assuming  person  B  is  at  the  position  of
the  first  minimum,  determine  the  distance  between  the
doors, center to center.

7.

5.

10. Two  slits  are  separated  by  0.320 mm.  A  beam  of  500-nm

light  strikes  the  slits,  producing  an  interference  pattern.
Determine the number of maxima observed in the angular
range $ 30.0° 2 ! 2 30.0°.

11.

Young’s  double-slit  experiment  underlies  the Instrument
Landing System used to guide aircraft to safe landings when
the  visibility  is  poor.  Although  real  systems  are  more
complicated  than  the  example  described  here,  they
operate  on  the  same  principles.  A  pilot  is  trying  to  align
her  plane  with  a  runway,  as  suggested  in  Figure  P37.11a.
Two radio antennas A

1

and A

2

are positioned adjacent to

the runway, separated by 40.0 m. The antennas broadcast
unmodulated coherent radio waves at 30.0 MHz. (a) Find
the  wavelength  of  the  waves.  The  pilot  “locks  onto”  the
strong  signal  radiated  along  an  interference  maximum,
and steers the plane to keep the received signal strong. If
she  has  found  the  central  maximum,  the  plane  will  have
just the right heading to land when it reaches the runway.
(b) What If? Suppose instead that the plane is flying along
the first side maximum (Fig. P37.11b). How far to the side
of  the  runway  centerline  will  the  plane  be  when  it  is
2.00 km  from  the  antennas?  (c)  It  is  possible  to  tell  the
pilot  she  is  on  the  wrong  maximum  by  sending  out  two
signals from each antenna and equipping the aircraft with
a  two-channel  receiver.  The  ratio  of  the  two  frequencies
must  not  be  the  ratio  of  small  integers  (such  as  3/4).
Explain  how  this  two-frequency  system  would  work,  and
why  it  would  not  necessarily  work  if  the  frequencies  were
related by an integer ratio.

Figure P37.9

20.0 m

150 m

A

B

Figure P37.11

(a)

A

1

A

2

A

1

A

2

40 m

(b)

12.

A  student  holds  a  laser  that  emits  light  of  wavelength
633 nm. The beam passes though a pair of slits separated
by 0.300 mm, in a glass plate attached to the front of the
laser.  The  beam  then  falls  perpendicularly  on  a  screen,
creating an interference pattern on it. The student begins
to walk directly toward the screen at 3.00 m/s. The central
maximum  on  the  screen  is  stationary.  Find  the  speed  of
the first-order maxima on the screen.

Problems

1199

In  Figure  37.5  let  L # 1.20 m  and  d # 0.120 mm  and
assume that the slit system is illuminated with monochro-
matic  500-nm  light.  Calculate  the  phase  difference
between  the  two  wave  fronts  arriving  at  P when  (a)  ! #
0.500° and (b) y # 5.00 mm. (c) What is the value of ! for
which  the  phase  difference  is  0.333 rad?  (d)  What  is  the
value of ! for which the path difference is &/4?

14.

Coherent  light  rays  of  wavelength  & strike  a  pair  of  slits
separated by distance d at an angle !

1

as shown in Figure

P37.14.  Assume  an  interference  maximum  is  formed  at
an angle  !

2

a  great  distance  from  the  slits.  Show  that

d(sin!

2

$

sin!

1

) # m&, where m is an integer.

13.

separated by a distance d from its neighbor. (a) Show that
the time-averaged intensity as a function of the angle ! is

(b)  Determine  the  ratio  of  the  intensities  of  the  primary
and secondary maxima.

Section 37.4 Phasor Addition of Waves

21.

Marie  Cornu,  a  physicist  at  the  Polytechnic  Institute  in
Paris, invented phasors in about 1880. This problem helps
you  to  see  their  utility.  Find  the  amplitude  and  phase
constant  of  the  sum  of  two  waves  represented  by  the
expressions

E

1

#

(12.0 kN/C) sin(15x $ 4.5t)

and

E

2

#

(12.0 kN/C) sin(15x $ 4.5t ( 704)

(a)  by  using  a  trigonometric  identity  (as  from  Appendix
B), and (b) by representing the waves by phasors. (c) Find
the amplitude and phase constant of the sum of the three
waves represented by

E

1

#

(12.0 kN/C) sin(15x $ 4.5t ( 704),

E

2

#

(15.5 kN/C) sin(15x $ 4.5t $ 804),

and

E

3

#

(17.0 kN/C) sin(15x $ 4.5t ( 1604)

22.

The  electric  fields  from  three  coherent  sources  are
described  by  E

1

#

E

0

sin -t,  E

2

#

E

0

sin(-t ( .),  and 

E

3

#

E

0

sin(-t ( 2.).  Let  the  resultant  field  be  repre-

sented by E

P

#

E

R

sin(-t ( 1). Use phasors to find E

R

and

1

when  (a)  . # 20.0°,  (b)  . # 60.0°,  and  (c)  . # 120°.

(d) Repeat when . # (3//2) rad.

Determine  the  resultant  of  the  two  waves  given  by

E

1

#

6.0 sin(100 /t) and E

2

#

8.0 sin(100 /t ( //2).

24.

Suppose  the  slit  openings  in  a  Young’s  double-slit  experi-
ment  have  different  sizes  so  that  the  electric  fields 
and  intensities  from  each  slit  are  different.  With 
E

1

#

E

01

sin(-t) and E

2

#

E

02

sin(-t ( .), show that the

resultant electric field is E # E

0

sin(-t ( !), where

and

25. Use  phasors  to  find  the  resultant  (magnitude  and  phase

angle)  of  two  fields  represented  by  E

1

#

12 sin -t and

E

2

#

18  sin(-t ( 60°).  (Note  that  in  this  case  the  ampli-

tudes of the two fields are unequal.)

26. Two coherent waves are described by

E

1

#

E

0

 sin 

"

2/x

1

&

$

2/ft (

/

6

#

sin

 

! #

5

02

 sin

 

.

5

0

E

0

#

E

01

2

(

E

02

2

(

2E

 

01

E

 

02

 

cos

 

.

23.

Note: Problems 4, 5, and 6 in Chapter 18 can be assigned
with this section.

I(!) # I

 

max

 

 

$

1 ( 2

 

cos 

"

2/d sin

 

!

&

#

%

2

Figure P37.14

1

d

2

θ

θ

15.

In a double-slit arrangement of Figure 37.5, d # 0.150 mm,
L # 140 cm, & # 643 nm, and y # 1.80 cm. (a) What is the
path difference " for the rays from the two slits arriving at
P ? (b) Express this path difference in terms of &. (c) Does
P correspond  to  a  maximum,  a  minimum,  or  an  interme-
diate condition?

Section 37.3 Intensity Distribution of the

Double-Slit Interference Pattern

16.

The intensity on the screen at a certain point in a double-
slit  interference  pattern  is  64.0%  of  the  maximum  value.
(a) What minimum phase difference (in radians) between
sources produces this result? (b) Express this phase differ-
ence as a path difference for 486.1-nm light.

In  Figure  37.5,  let  L # 120 cm  and  d # 0.250 cm.

The  slits  are  illuminated  with  coherent  600-nm  light.
Calculate  the  distance  y above  the  central  maximum  for
which the average intensity on the screen is 75.0% of the
maximum.

18. Two  slits  are  separated  by  0.180 mm.  An  interference

pattern  is  formed  on  a  screen  80.0 cm  away  by  656.3-nm
light.  Calculate  the  fraction  of  the  maximum  intensity
0.600 cm above the central maximum.
Two narrow parallel slits separated by 0.850 mm are illumi-
nated  by  600-nm  light,  and  the  viewing  screen  is  2.80 m
away  from  the  slits.  (a)  What  is  the  phase  difference
between  the  two  interfering  waves  on  a  screen  at  a  point
2.50 mm  from  the  central  bright  fringe?  (b)  What  is  the
ratio  of  the  intensity  at  this  point  to  the  intensity  at  the
center of a bright fringe?

20.

Monochromatic coherent light of amplitude E

0

and angu-

lar  frequency  - passes  through  three  parallel  slits  each

19.

17.

Determine  the  relationship  between  x

1

and  x

2

that

produces constructive interference when the two waves are
superposed.

27. When illuminated, four equally spaced parallel slits act as

multiple  coherent  sources,  each  differing  in  phase  from
the adjacent one by an angle .. Use a phasor diagram to
determine the smallest value of . for which the resultant
of  the  four  waves  (assumed  to  be  of  equal  amplitude)  is
zero.

28.

Sketch a phasor diagram to illustrate the resultant of E

1

#

E

01

sin -t and E

2

#

E

02

sin(-t ( .), where E

02

#

1.50E

01

and //6 6 . 6 //3. Use the sketch and the law of cosines
to  show  that,  for  two  coherent  waves,  the  resultant  inten-
sity can be written in the form 

.

Consider  N coherent  sources  described  as  follows:  E

1

#

E

0

sin(-t ( .), E

2

#

E

0

sin(-t ( 2.), E

3

#

E

0

sin(-t ( 3.),

. . . ,  E

N

#

E

0

sin(-t ( N.).  Find  the  minimum  value  of

.

for which E

R

#

E

1

(

E

2

(

E

3

( ) ) ) (

E

N

is zero.

Section 37.5 Change of Phase Due to Reflection
Section 37.6 Interference in Thin Films
30. A soap bubble (n # 1.33) is floating in air. If the thickness

of the bubble wall is 115 nm, what is the wavelength of the
light that is most strongly reflected?
An  oil  film  (n # 1.45)  floating  on  water  is  illuminated  by
white  light  at  normal  incidence.  The  film  is  280 nm  thick.
Find (a) the color of the light in the visible spectrum most
strongly  reflected  and  (b)  the  color  of  the  light  in  the
spectrum most strongly transmitted. Explain your reasoning.

32. A  thin  film  of  oil  (n # 1.25)  is  located  on  a  smooth  wet

pavement.  When  viewed  perpendicular  to  the  pavement,
the  film  reflects  most  strongly  red  light  at  640 nm  and
reflects no blue light at 512 nm. How thick is the oil film?

33. A possible means for making an airplane invisible to radar

is to coat the plane with an antireflective polymer. If radar
waves  have  a  wavelength  of  3.00 cm  and  the  index  of
refraction of the polymer is n # 1.50, how thick would you
make the coating?

34. A material having an index of refraction of 1.30 is used as

an  antireflective  coating  on  a  piece  of  glass  (n # 1.50).
What  should  be  the  minimum  thickness  of  this  film  in
order to minimize reflection of 500-nm light?

35. A film of MgF

2

(n # 1.38) having thickness 1.00 * 10

$

5

cm

is  used  to  coat  a  camera  lens.  Are  any  wavelengths  in  the
visible spectrum intensified in the reflected light?

36.

Astronomers observe the chromosphere of the Sun with a
filter  that  passes  the  red  hydrogen  spectral  line  of  wave-
length 656.3 nm, called the H

1

line. The filter consists of a

transparent  dielectric  of  thickness  d held  between  two
partially  aluminized  glass  plates.  The  filter  is  held  at  a
constant  temperature.  (a)  Find  the  minimum  value  of  d
that produces maximum transmission of perpendicular H

1

light, if the dielectric has an index of refraction of 1.378.
(b) What  If?  If  the  temperature  of  the  filter  increases

31.

29.

I

R

#

I

1

(

I

2

(

2 I

1

I

2

 cos

 

.

E

2 

#

E

0

 sin 

"

2/x

2

&

$

2/ft (

/

8

#

above the normal value, what happens to the transmitted
wavelength?  (Its  index  of  refraction  does  not  change
significantly.)  (c)  The  dielectric  will  also  pass  what  near-
visible wavelength? One of the glass plates is colored red to
absorb this light.

37.

A beam of 580-nm light passes through two closely spaced
glass plates, as shown in Figure P37.37. For what minimum
nonzero value of the plate separation d is the transmitted
light bright?

1200

C H A P T E R   37 •  Interference of Light Waves

Figure P37.37

Figure P37.39 Problems 39 and 40.

d

38.

When a liquid is introduced into the air space between the
lens  and  the  plate  in  a  Newton’s-rings  apparatus,  the
diameter of the tenth ring changes from 1.50 to 1.31 cm.
Find the index of refraction of the liquid.

An  air  wedge  is  formed  between  two  glass  plates

separated  at  one  edge  by  a  very  fine  wire,  as  shown  in
Figure P37.39. When the wedge is illuminated from above
by  600-nm  light  and  viewed  from  above,  30  dark  fringes
are observed. Calculate the radius of the wire.

39.

40.

Two  glass  plates  10.0 cm  long  are  in  contact  at  one  end
and  separated  at  the  other  end  by  a  thread  0.050 0 mm
in diameter  (Fig.  P37.39).  Light  containing  the  two
wavelengths  400 nm  and  600 nm  is  incident  perpendicu-
larly  and  viewed  by  reflection.  At  what  distance  from  the
contact point is the next dark fringe?

Section 37.7 The Michelson Interferometer

Mirror  M

1

in  Figure  37.22  is  displaced  a  distance  ,L.

During this displacement, 250 fringe reversals (formation
of successive dark or bright bands) are counted. The light
being  used  has  a  wavelength  of  632.8 nm.  Calculate  the
displacement ,L.

42. Monochromatic  light  is  beamed  into  a  Michelson  inter-

ferometer.  The  movable  mirror  is  displaced  0.382 mm,
causing  the  interferometer  pattern  to  reproduce  itself
1 700 times. Determine the wavelength of the light. What
color is it?

43. One leg of a Michelson interferometer contains an evacu-

ated cylinder of length L, having glass plates on each end.

41.