Physics For Scientists And Engineers 6E - part 296

S E C T I O N   37. 2 •  Young’s Double-Slit Experiment

1181

▲

PITFALL PREVENTION 

37.3 It May Not Be True

That L !! d

Equations  37.2,  37.3,  37.5,  and
37.6  were  developed  under  the
assumption that L '' d. This is a
very  common  situation,  but  you
are likely to encounter some situ-
ations in which this assumption is
not valid. In those cases, the geo-
metric construction will be more
complicated,  but  the  general
approach  outlined  here  will  be
similar.

▲

PITFALL PREVENTION 

37.2 It May Not Be True

That ! Is Small

The  approximation  sin!

! tan!

is  true  to  three-digit  precision
only for angles less than about 4°.
If  you  are  considering  fringes
that  are  far  removed  from  the
central  fringe,  tan! # y/L is  still
true, but the small-angle approxi-
mation  may  not  be  valid.  In  this
case,  Equations  37.5  and  37.6
cannot  be  used.  These  problems
can  be  solved,  but  the  geometry
is not as simple.

A  viewing  screen  is  separated  from  a  double-slit  source  by
1.2 m. The distance between the two slits is 0.030 mm. The
second-order  bright  fringe  (m # 2)  is  4.5 cm  from  the
center line.

(A)

Determine the wavelength of the light.

Solution We  can  use  Equation  37.5,  with  m # 2,  y

bright

#

4.5 * 10

$

2

m, L # 1.2 m, and d # 3.0 * 10

$

5

m:

which is in the green range of visible light.

560 nm

#

5.6 * 10

$

7

 m #

& #

y

bright

d

mL

#

(4.5 * 10

$

2

 m)(3.0 * 10

$

5

 m)

2(1.2 m)

(B)

Calculate the distance between adjacent bright fringes.

Solution From  Equation  37.5  and  the  results  of  part  (A),
we obtain

2.2 cm

#

2.2 * 10

$

2

 m #

#

&

L

d

#

(5.6 * 10

$

7

 m)(1.2 m)

3.0 * 10

$

5

 m

y

m(1

$

y

m

#

&

L

d

 

 (m ( 1) $

&

L

d

 

 m

Example 37.1 Measuring the Wavelength of a Light Source

Interactive

we see that

y # L tan!

! L sin!

(37.4)

Solving  Equation  37.2  for  sin! and  substituting  the  result  into  Equation  37.4,  we
see that  the  positions  of  the  bright  fringes  measured  from  O are  given  by  the
expression

(37.5)

Using Equations 37.3 and 37.4, we find that the dark fringes are located at

(37.6)

As  we  demonstrate  in  Example  37.1,  Young’s  double-slit  experiment  provides  a

method for measuring the wavelength of light. In fact, Young used this technique to do
just that. Additionally, his experiment gave the wave model of light a great deal of cred-
ibility. It was inconceivable that particles of light coming through the slits could cancel
each other in a way that would explain the dark fringes.

y

 

dark

#

&

L

d

 (m (

1

2

)

   

(m # 0, %1, %2,

 

  )  )  ))

y

 

bright

#

&

L

d

 m

   

(m # 0, %1, %2,

 

  )  )  ))

Quick  Quiz  37.1

If  you  were  to  blow  smoke  into  the  space  between  the

barrier and the viewing screen of Figure 37.5a, the smoke would show (a) no evidence
of interference between the barrier and the screen (b) evidence of interference every-
where between the barrier and the screen.

Quick Quiz 37.2

In a two-slit interference pattern projected on a screen, the

fringes  are  equally  spaced  on  the  screen  (a)  everywhere  (b)  only  for  large  angles
(c) only for small angles.

Quick Quiz 37.3

Which of the following will cause the fringes in a two-slit

interference pattern to move farther apart? (a) decreasing the wavelength of the light
(b) decreasing the screen distance L (c) decreasing the slit spacing d (d) immersing
the entire apparatus in water.

Investigate the double-slit interference pattern at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

1182

C H A P T E R   37 •  Interference of Light Waves

A  light  source  emits  visible  light  of  two  wavelengths:
& #

430 nm  and  &+ # 510 nm.  The  source  is  used  in  a

double-slit  interference  experiment  in  which  L # 1.50 m
and d # 0.025 0 mm. Find the separation distance between
the third-order bright fringes.

Solution Using Equation 37.5, with m # 3, we find that the
fringe positions corresponding to these two wavelengths are

Hence, the separation distance between the two fringes is

,

y # 9.18 * 10

$

2

m $ 7.74 * 10

$

2

m

What If?

What if we examine the entire interference pattern

due to the two wavelengths and look for overlapping fringes?
Are  there  any  locations  on  the  screen  where  the  bright
fringes from the two wavelengths overlap exactly?

Answer We  could  find  such  a  location  by  setting  the
location of any bright fringe due to & equal to one due to &+,

1.40 cm

#

1.40 * 10

$

2

 m #

#

9.18 * 10

$

2

 m

y

 

+

bright

#

&+

L

d

 

 

m # 3 

 

&+

L

d

#

3 

 

(510 * 10

$

9

 m)(1.50 m)

0.025

 

0 * 10

$

3

 m

#

7.74 * 10

$

2

 m

y

 

bright

#

&

L

d

 

 

m # 3

 

 

&

L

d

#

3

 

 

(430 * 10

$

9

 m)(1.50 m)

0.025

 

0 * 10

$

3

 m

using Equation 37.5:

Substituting the wavelengths, we have

This  might  suggest  that  the  51st  bright  fringe  of  the

430-nm light would overlap with the 43rd bright fringe of
the 510-nm light. However, if we use Equation 37.5 to find
the value of y for these fringes, we find

This  value  of  y is  comparable  to  L,  so  that  the  small-angle
approximation used in Equation 37.4 is not valid. This suggests
that  we  should  not  expect  Equation  37.5  to  give  us  the
correct result.  If  you  use  the  exact  relationship  y # L tan!,
you can show that the bright fringes do indeed overlap when
the  same  condition,  m+/m # &/&+,  is  met  (see  Problem  44).
Thus,  the  51st  fringe  of  the  430-nm  light  does  overlap  with
the 43rd fringe of the 510-nm light, but not at the location of
1.32 m.  You  are  asked  to  find  the  correct  location  as  part
of Problem 44.

y # 51 

(430 * 10

$

9

 m)(1.5 m)

0.025 * 10

$

3

 m

#

1.32 m # y+

m+

m

#

&

&+

#

430 nm
510 nm

#

43
51

&

&+

#

m+

m

&

L

d

 m #

&+

L

d

 m+

Example 37.2 Separating Double-Slit Fringes of Two Wavelengths

37.3 Intensity Distribution of the Double-Slit

Interference Pattern

Note that the edges of the bright fringes in Figure 37.2b are not sharp—there is a
gradual change from bright to dark. So far we have discussed the locations of only
the centers  of  the  bright  and  dark  fringes  on  a  distant  screen.  Let  us  now  direct
our attention  to  the  intensity  of  the  light  at  other  points  between  the  positions
of maximum  constructive  and  destructive  interference.  In  other  words,  we  now
calculate  the  distribution  of  light  intensity  associated  with  the  double-slit  interfer-
ence pattern.

Again,  suppose  that  the  two  slits  represent  coherent  sources  of  sinusoidal  waves

such  that  the  two  waves  from  the  slits  have  the  same  angular  frequency  - and  a
constant phase difference .. The total magnitude of the electric field at point 

P on the

screen  in  Figure  37.6  is  the  superposition  of  the  two  waves.  Assuming  that  the  two
waves have the same amplitude E

0

, we can write the magnitude of the electric field at

point P due to each wave separately as

E

1

#

E

0

sin -t

and

E

2

#

E

0

sin(-t ( .)

(37.7)

Although the waves are in phase at the slits, their phase difference . at P depends on the
path  difference " # r

2

$

r

1

#

d sin!. A  path  difference  of  & (for  constructive  interfer-

ence) corresponds to a phase difference of 2/ rad. A path difference of " is the same
fraction of & as the phase difference . is of 2/. We can describe this mathematically

O

y

d

r

2

r

1

L

S

2

S

1

P

Figure 37.6 Construction for

analyzing the double-slit

interference pattern. A bright

fringe, or intensity maximum, is

observed at O.

S E C T I O N   37. 3 •  Intensity Distribution of the Double-Slit Interference Pattern

1183

with the ratio

which gives us

(37.8)

This equation tells us precisely how the phase difference . depends on the angle ! in
Figure 37.5.

Using the superposition principle and Equation 37.7, we can obtain the magnitude

of the resultant electric field at point P :

E

P

#

E

1

(

E

2

#

E

0

[sin -t ( sin(-t ( .)]

(37.9)

To simplify this expression, we use the trigonometric identity

Taking A # -t ( . and B # -t, we can write Equation 37.9 in the form

(37.10)

This result indicates that the electric field at point P has the same frequency - as the
light  at  the  slits,  but  that  the  amplitude  of  the  field  is  multiplied  by  the  factor
2 cos(./2).  To  check  the  consistency  of  this  result,  note  that  if  . # 0,  2/,  4/, . . .,
then the magnitude of the electric field at point P is 2E

0

, corresponding to the condi-

tion  for  maximum  constructive  interference.  These  values  of  . are  consistent  with
Equation 37.2 for constructive interference. Likewise, if . # /, 3/, 5/, . . ., then the
magnitude of the electric field at point P is zero; this is consistent with Equation 37.3
for total destructive interference.

Finally, to obtain an expression for the light intensity at point P, recall from Section

34.3  that  the  intensity  of  a  wave  is  proportional  to  the  square  of  the  resultant  electric  field
magnitude at that point (Eq. 34.21). Using Equation 37.10, we can therefore express the
light intensity at point P as

Most light-detecting instruments measure time-averaged light intensity, and the time-
averaged value of sin

2

(-t ( ./2) over one cycle is  . (See Figure 33.5.) Therefore, we

can write the average light intensity at point P as

(37.11)

where I

max

is the maximum intensity on the screen and the expression represents the

time average. Substituting the value for . given by Equation 37.8 into this expression,
we find that

(37.12)

Alternatively,  because  sin!

! y/L for  small  values  of  ! in  Figure  37.5,  we  can  write

Equation 37.12 in the form

(37.13)

I

! I

 

max

 cos

2

 

"

/

d 

&

L

 

 y

#

I # I

 

max

 cos

2

 

"

/

d sin

 

!

&

#

I # I

 

max 

cos

2

 

"

.

2

#

1

2

I 0 E

P

2

#

4E

0

2

 cos

2

 

"

.

2

#

 sin

2

 

"

-

t (

.

2

#

E

P

#

2E

0

 cos 

"

.

2

#

 sin 

"

-

t (

.

2

#

sin A ( sin B # 2 sin 

"

A ( B

2

#

 cos 

"

A $ B

2

#

. #

2/

&

 " #

2/

&

 d sin !

"
&

#

.

2/

Phase difference

Constructive interference, which produces light intensity maxima, occurs when the

quantity / dy/&L is an integral multiple of /, corresponding to y # (&L/d)m. This is
consistent with Equation 37.5.

A  plot  of  light  intensity  versus  d sin ! is  given  in  Figure  37.7.  The  interference

pattern consists of equally spaced fringes of equal intensity. Remember, however, that
this  result  is  valid  only  if  the  slit-to-screen  distance  L is  much  greater  than  the  slit
separation, and only for small values of !.

1184

C H A P T E R   37 •  Interference of Light Waves

Quick  Quiz  37.4

At  dark  areas  in  an  interference  pattern,  the  light

waves have canceled. Thus, there is zero intensity at these regions and, therefore, no
energy is arriving. Consequently, when light waves interfere and form an interference
pattern, (a) energy conservation is violated because energy disappears in the dark areas
(b) energy transferred by the light is transformed to another type of energy in the dark
areas (c) the total energy leaving the slits is distributed among light and dark areas and
energy is conserved.

I

–2

–

λ

λ

2

I

max

d sin

θ

λ

λ

Figure 37.7 Light intensity versus

d sin 

!

for a double-slit interference

pattern when the screen is far from

the two slits (L '' d).

M. Cagnet, M. Francon, J.C. Thierr

37.4 Phasor Addition of Waves

In the preceding section, we combined two waves algebraically to obtain the resultant
wave  amplitude  at  some  point  on  a  screen.  Unfortunately,  this  analytical  procedure
becomes  cumbersome  when  we  must  add  several  wave  amplitudes.  Because  we  shall
eventually  be  interested  in  combining  a  large  number  of  waves,  we  now  describe  a
graphical procedure for this purpose.

Let us again consider a sinusoidal wave whose electric field component is given

by

E

1

#

E

0

sin -t

where  E

0

is  the  wave  amplitude  and  - is  the  angular  frequency.  We  used  phasors  in

Chapter 33 to analyze AC circuits, and again we find the use of phasors to be valuable