Physics For Scientists And Engineers 6E - part 297

S E C T I O N   37. 4 •  Phasor Addition of Waves

1185

in  discussing  wave  interference.  The  sinusoidal  wave  we  are  discussing  can  be  repre-
sented graphically by a phasor of magnitude E

0

rotating about the origin counterclock-

wise with an angular frequency -, as in Figure 37.8a. Note that the phasor makes an
angle  -t with  the  horizontal  axis.  The  projection  of  the  phasor  on  the  vertical  axis
represents  E

1

,  the  magnitude  of  the  wave  disturbance  at  some  time  t.  Hence,  as  the

phasor rotates in a circle about the origin, the projection E

1

oscillates along the verti-

cal axis.

Now consider a second sinusoidal wave whose electric field component is given

by

E

2

#

E

0

sin(-t ( .)

This  wave  has  the  same  amplitude  and  frequency  as  E

1

,  but  its  phase  is  . with

respect to E

1

. The phasor representing E

2

is shown in Figure 37.8b. We can obtain

the  resultant  wave,  which  is  the  sum  of  E

1

and  E

2

,  graphically  by  redrawing  the

phasors as shown in Figure 37.8c, in which the tail of the second phasor is placed
at the  tip  of  the  first.  As  with  vector  addition,  the  resultant  phasor 

E

R

runs  from

the tail of the first phasor to the tip of the second. Furthermore, 

E

R

rotates along

with  the  two  individual  phasors  at  the  same  angular  frequency  -.  The  projection
of

E

R

along  the  vertical  axis  equals  the  sum  of  the  projections  of  the  two  other

phasors: E

P

#

E

1

(

E

2

.

It is convenient to construct the phasors at t # 0 as in Figure 37.9. From the geom-

etry of one of the right triangles, we see that

which gives

E

R

#

2E

0

cos 1

Because the sum of the two opposite interior angles equals the exterior angle ., we see
that 1 # ./2; thus,

Hence, the projection of the phasor 

E

R

along the vertical axis at any time t is

This is consistent with the result obtained algebraically, Equation 37.10. The resultant
phasor has an amplitude 2E

0

cos(./2) and makes an angle ./2 with the first phasor.

E

P

#

E

R

 sin 

"

-

t (

.

2

#

#

2E

0

 cos(./2) sin 

"

-

t (

.

2

#

E

R

#

2E

0

 cos 

"

.

2

#

cos 1 #

E

R

 

/2

E

0

Figure 37.8 (a) Phasor diagram for the wave disturbance E

1

#

E

0

sin 

-

t. The phasor

is a vector of length E

0

rotating counterclockwise. (b) Phasor diagram for the wave

E

2

#

E

0

sin(

-

t (

.

). (c) The phasor E

R

represents the combination of the waves in

part (a) and (b).

Figure 37.9 A reconstruction of

the resultant phasor E

R

. From the

geometry, note that 

1

#

.

/2.

E

2

E

0

(b)

ω

t + 

φ

ω φ

t

ω

E

1

E

0

 

φ

(c)

E

P

E

0

E

R

E

2

E

1

(a)

E

0

t

ω

E

0

φ

E

0

E

R

α

α

1186

C H A P T E R   37 •  Interference of Light Waves

Furthermore, the average light intensity at point P, which varies as E

P

2

, is proportional

to cos

2

(./2), as described in Equation 37.11.

We  can  now  describe  how  to  obtain  the  resultant  of  several  waves  that  have  the

same frequency:

• Represent  the  waves  by  phasors,  as  shown  in  Figure  37.10,  remembering  to

maintain the proper phase relationship between one phasor and the next.

• The  resultant  phasor 

E

R

is  the  vector  sum  of  the  individual  phasors.  At  each

instant, the projection of 

E

R

along the vertical axis represents the time variation of

the resultant wave. The phase angle 1 of the resultant wave is the angle between 

E

R

and  the  first  phasor.  From  Figure  37.10,  drawn  for  four  phasors,  we  see  that  the
resultant wave is given by the expression E

P

#

E

R

sin(-t ( 1).

Phasor Diagrams for Two Coherent Sources

As an example of the phasor method, consider the interference pattern produced
by  two  coherent  sources.  Figure  37.11  represents  the  phasor  diagrams  for  various
values  of  the  phase  difference  . and  the  corresponding  values  of  the  path  differ-
ence  ",  which  are  obtained  from  Equation  37.8.  The  light  intensity  at  a  point  is
a maximum when 

E

R

is a maximum; this occurs at . # 0, 2/, 4/, . . . . The light

intensity at some point is zero when 

E

R

is zero; this occurs at . # /, 3/, 5/, . . . .

These results are in complete agreement with the analytical procedure described in
the preceding section.

Three-Slit Interference Pattern

Using phasor diagrams, let us analyze the interference pattern caused by three equally
spaced slits. We can express the electric field components at a point P on the screen
caused by waves from the individual slits as

Figure 37.10 The phasor E

R

is the

resultant of four phasors of equal

amplitude E

0

. The phase of E

R

with

respect to the first phasor is 

1

. The

projection E

P

on the vertical axis

represents the combination of the

four phasors.

 

φ

E

0

E

R

 

φ

 

φ

E

0

E

0

E

0

E

P

α

t

ω

E

R 

=   2 E

0

√

λ

=

δ

= 360

°= 2

φ

π

 

 = 3  /4

δ

λ

= 270

°= 3  /4

φ

π

 

 =   /8

δ λ

= 180

°=

φ

π

= 45

°=   /4

φ

π

E

0

E

R

 = 2E

0

E

0

= 0

E

R

 = 0

E

0

E

0

180

°

E

0

270

°

E

0

E

0

E

0

360

°

E

0

E

0

90

°

E

0

E

R 

= 1.85 E

0

E

0

45

°

E

R

 = 2E

0

= 0

φ

 

 =   /2

δ λ

 

 =   /4

δ λ

= 90

°=   /2

φ

π

E

R 

=   2 E

0

√

δ

Choose any phase angle

at the Active Figures link at

http://www.pse6.com and see

the resultant phasor.

Active Figure 37.11 Phasor diagrams for a double-slit interference pattern. The

resultant phasor 

E

R

is a maximum when 

.

#

0, 2

/

, 4

/

, . . . and is zero when 

.

#

/

,

3

/

, 5

/

, . . . .

S E C T I O N   37. 4 •  Phasor Addition of Waves

1187

E

1

#

E

0

sin -t

E

2

#

E

0

sin(-t ( .)

E

3

#

E

0

sin(-t ( 2.)

where  . is  the  phase  difference  between  waves  from  adjacent  slits.  We  can  obtain
the resultant  magnitude  of  the  electric  field  at  point  P from  the  phasor  diagram  in
Figure 37.12.

The phasor diagrams for various values of . are shown in Figure 37.13. Note that

the resultant magnitude of the electric field at P has a maximum value of 3E

0

, a condi-

tion that occurs when . # 0,  % 2/, % 4/, . . . . These points are called primary max-
ima. Such primary maxima occur whenever the three phasors are aligned as shown in
Figure 37.13a. We also find secondary maxima of amplitude E

0

occurring between the

primary  maxima  at  points  where  . # % /, % 3/, . . . .  For  these  points,  the  wave
from one slit exactly cancels that from another slit (Fig. 37.13d). This means that only
light  from  the  third  slit  contributes  to  the  resultant,  which  consequently  has  a  total
amplitude  of  E

0

.  Total  destructive  interference  occurs  whenever  the  three  phasors

form  a  closed  triangle,  as  shown  in  Figure 37.13c.  These  points  where  E

R

#

0

correspond  to  . # % 2//3,  % 4//3, . . . .  You  should  be  able  to  construct  other
phasor diagrams for values of . greater than /.

Figure  37.14  shows  multiple-slit  interference  patterns  for  a  number  of  config-

urations.  For  three  slits,  note  that  the  primary  maxima  are  nine  times  more
intense than  the  secondary  maxima  as  measured  by  the  height  of  the  curve.  This  is
because the intensity varies as E

R

2

. For N slits, the intensity of the primary maxima is

N

2

times  greater  than  that  due  to  a  single  slit.  As  the  number  of  slits  increases,  the

primary  maxima  increase  in  intensity  and  become  narrower,  while  the secondary
maxima decrease in intensity relative to the primary maxima. Figure 37.14 also shows
that as the number of slits increases, the number of secondary maxima also increases.
In  fact,  the  number  of  secondary  maxima  is  always  N $ 2  where  N is  the  number  of
slits.  In  Section  38.4  (next  chapter),  we  shall  investigate  the  pattern  for  a  very  large
number of slits in a device called a diffraction grating.

Active Figure 37.13 Phasor diagrams for three equally spaced slits at various values of

.

. Note from (a) that there are primary maxima of amplitude 3E

0

and from (d) that

there are secondary maxima of amplitude E

0

.

Choose any phase angle at the Active Figures link at

http://www.pse6.com and see the resultant phasor.

180

°

= 0
= 

0

(a)

(d)

120

°

120

°

60

°

60

°

E

R

 = E

0

E

R

 = 0

E

R

 = 2E

0

E

R

E

R

 = 3E

0

E

0

E

0

E

0

(b)

(c)

φ

δ

= 60

° =   /3

= 

  /6

φ

π

λ

δ

= 120

°= 2  /3

= 

  /3

φ

π

λ

δ

= 180

° =

= 

  /2

φ

π

λ

δ

Figure 37.12 Phasor diagram for

three equally spaced slits.

φ

φ

α

t

E

R

ω

Quick  Quiz  37.5

Using  Figure  37.14  as  a  model,  sketch  the  interference

pattern from six slits.

1188

C H A P T E R   37 •  Interference of Light Waves

37.5 Change of Phase Due to Reflection

Young’s method for producing two coherent light sources involves illuminating a pair of
slits with a single source. Another simple, yet ingenious, arrangement for producing an
interference pattern with a single light source is known as Lloyd’s mirror

1

(Fig. 37.15). A

point light source is placed at point S close to a mirror, and a viewing screen is positioned
some distance away and perpendicular to the mirror. Light waves can reach point P on
the screen either directly from S to P or by the path involving reflection from the mirror.
The reflected ray can be treated as a ray originating from a virtual source at point S+. As a
result, we can think of this arrangement as a double-slit source with the distance between
points S and S+ comparable to length d in Figure 37.5. Hence, at observation points far
from the source (L '' d) we expect waves from points S and S+ to form an interference
pattern just like the one we see from two real coherent sources. An interference pattern is
indeed  observed.  However,  the  positions  of  the  dark  and  bright  fringes  are  reversed
relative to the pattern created by two real coherent sources (Young’s experiment). This
can only occur if the coherent sources at points S and S+ differ in phase by 180°.

To illustrate this further, consider point P+, the point where the mirror intersects

the screen. This point is equidistant from points S and S+. If path difference alone were
responsible for the phase difference, we would see a bright fringe at point P+ (because
the path difference is zero for this point), corresponding to the central bright fringe of

Figure 37.14 Multiple-slit interference patterns. As N, the number of slits, is increased,

the primary maxima (the tallest peaks in each graph) become narrower but remain

fixed in position and the number of secondary maxima increases. For any value of N,

the decrease in intensity in maxima to the left and right of the central maximum,

indicated by the blue dashed arcs, is due to diffraction patterns from the individual slits,

which are discussed in Chapter 38.

Figure 37.15 Lloyd’s mirror. An

interference pattern is produced at

point P on the screen as a result of

the combination of the direct

ray (blue) and the reflected ray

(brown). The reflected ray

undergoes a phase change of 180°.

Single

slit

N = 2

N = 3

N = 4

N = 5

N = 10

0

–

2

λ

–

2

λ

λ

λ

λ

λ

Primary maximum
Secondary maximum

 I

I

max

d sin 

θ

θ

S

′

S

Real

source

Viewing

screen

Mirror

P

P

′

Virtual

source

1

Developed in 1834 by Humphrey Lloyd (1800–1881), Professor of Natural and Experimental

Philosophy, Trinity College, Dublin.