Physics For Scientists And Engineers 6E - part 288

Combination of Thin Lenses

If two thin lenses are used to form an image, the system can be treated in the following
manner. First, the image formed by the first lens is located as if the second lens were not
present. Then a ray diagram is drawn for the second lens, with the image formed by the
first lens now serving as the object for the second lens. The second image formed is the
final image of the system. If the image formed by the first lens lies on the back side of the
second lens, then that image is treated as a 

virtual object for the second lens (that is, in

the thin lens equation, p is negative). The same procedure can be extended to a system
of three or more lenses. Because the magnification due to the second lens is performed
on the magnified image due to the first lens, the overall magnification of the image due
to the combination of lenses is the product of the individual magnifications. 

Let us consider the special case of a system of two lenses of focal lengths f

1

and f

2

in contact with each other. If p

1

"

p is the object distance for the combination, applica-

tion of the thin lens equation (Eq. 36.16) to the first lens gives

1
p

&

1

q

 

1

"

1

f

 

1

S E C T I O N   3 6 . 4 •  Thin Lenses

1149

this case, the thin lens equation gives

$

3.33 cm

q "

  

1

5.00 cm

&

1

q

"

1

$

10.0 cm

 

and the magnification of the image is

This  confirms  that  the  image  is  virtual,  smaller  than  the
object, and upright.

&

0.667

M " $

$

$

3.33 cm

5.00 cm

%

"

Example 36.11 A Lens Under Water

equation by the second gives

Because f

air

"

40.0 cm, we find that

f

water

"

3.71f

air

"

3.71(40.0 cm) "

The  focal  length  of  any  lens  is  increased  by  a  factor
(n $ 1)/(n! $ 1)  when  the  lens  is  immersed  in  a  fluid,
where n! is the ratio of the index of refraction n of the lens
material to that of the fluid.

148 cm

f

 

water

f

 

air

"

n $ 1

n! $ 1

"

1.52 $ 1
1.14 $ 1

"

3.71

A  converging  glass  lens  (n " 1.52)  has  a  focal  length  of
40.0 cm in air. Find its focal length when it is immersed in
water, which has an index of refraction of 1.33.

Solution We can use the lens makers’ equation (Eq. 36.15)
in both cases, noting that R

1

and R

2

remain the same in air

and water:

where  n! is  the  ratio  of  the  index  of  refraction  of  glass
to that  of  water:  n! " 1.52/1.33 " 1.14.  Dividing  the  first

 

1

f

 

water

"

(n! $ 1) 

$

1

R

1

$

1

R

 

2

%

   

1

f

 

air

"

(n $ 1) 

$

1

R

1

$

1

R

 

2

%

Investigate the image formed for various object positions and lens focal lengths at the Interactive Worked Example link at
http://www.pse6.com.

Light from a distant object is brought into focus

by two converging lenses.

Henry Leap and Jim Lehman

where q

1

is the image distance for the first lens. Treating this image as the object for

the second lens, we see that the object distance for the second lens must be p

2

" $

q

1

.

(The distances are the same because the lenses are in contact and assumed to be infini-
tesimally thin. The object distance is negative because the object is virtual.) Therefore,
for the second lens,

where q " q

2

is the final image distance from the second lens, which is the image distance

for the combination. Adding the equations for the two lenses eliminates q

1

and gives

If we consider replacing the combination with a single lens that will form an image at
the same location, we see that its focal length is related to the individual focal lengths
by

(36.17)

Therefore, 

two thin lenses in contact with each other are equivalent to a single

thin lens having a focal length given by Equation 36.17.

1

f

 

"

1

f

 

1

&

1

f

 

2

 

1

p

 

&

1
q

 

"

1

f

 

1

&

1

f

 

2

 $

1

q

 

1

&

1
q

 

"

1

f

 

2

 

1

p

 

2

&

1

q

 

2

"

1

f

 

2

1150

C H A P T E R   3 6 •  Image Formation

Focal length for a combination

of two thin lenses in contact

Example 36.12 Where Is the Final Image?

The magnification of this image is

The  image  formed  by  this  lens  acts  as  the  object  for  the
second lens. Thus, the object distance for the second lens is
20.0 cm $ 15.0 cm " 5.00 cm. We again apply the thin lens
equation to find the location of the final image:

The magnification of the second image is

Thus, the overall magnification of the system is

To finalize the problem, note that the negative sign on the
overall  magnification  indicates  that  the  final  image  is
inverted with respect to the initial object. The fact that the
absolute value of the magnification is less than one tells us
that the final image is smaller than the object. The fact that
q

2

is negative tells us that the final image is on the front, or

left,  side  of  lens  2.  All  of  these  conclusions  are  consistent
with the ray diagram in Figure 36.32b.

$

0.667

M " M

1

M

2

"

($0.500)(1.33) "

&

1.33

M

2

" $

q

 

2

p

 

2

" $

($6.67 cm)

5.00 cm

"

$

6.67 cm

q

 

2

"

  

1

5.00 cm

&

1

q

 

2

"

1

20.0 cm

 

$

0.500

M

1

" $

q

 

1

p

 

1

" $

15.0 cm
30.0 cm

"

Two  thin  converging  lenses  of  focal  lengths  f

1

"

10.0 cm

and f

2

"

20.0 cm are separated by 20.0 cm, as illustrated in

Figure  36.32a.  An  object  is  placed  30.0 cm  to  the  left  of
lens 1. Find the position and the magnification of the final
image.

Solution Conceptualize  by  imagining  light  rays  passing
through  the  first  lens  and  forming  a  real  image  (because
p + f )  in  the  absence  of  the  second  lens.  Figure  36.32b
shows these light rays forming the inverted image I

1

. Once

the  light  rays  converge  to  the  image  point,  they  do  not
stop. They continue through the image point and interact
with  the  second  lens.  The  rays  leaving  the  image  point
behave in the same way as the rays leaving an object. Thus,
the image of the first lens serves as the object of the second
lens. We categorize this problem as one in which we apply
the  thin  lens  equation,  but  in  stepwise  fashion  to  the  two
lenses.

To  analyze  the  problem,  we  first draw  a  ray  diagram

(Figure 36.32b) showing where the image from the first lens
falls and how it acts as the object for the second lens. The
location  of  the  image  formed  by  lens  1  is  found  from  the
thin lens equation:

&

15.0 cm

q

 

1

"

  

1

30.0 cm

&

1

q

 

1

"

1

10.0 cm

 

 

1

p

 

1

&

1

q

 

1

"

1

f

 

Interactive

S E C T I O N   3 6 . 4 •  Thin Lenses

1151

30.0 cm

20.0 cm

Object

f

1

 = 10.0 cm f

2

 = 20.0 cm

(a)

(b)

I

2

I

1

Lens 1

Lens 2

20.0 cm

6.67 cm

15.0 cm

10.0 cm

O

1

30.0 cm

What If?

Suppose we want to create an upright image with

this  system  of  two  lenses.  How  must  the  second  lens  be
moved in order to achieve this?

Answer Because  the  object  is  farther  from  the  first  lens
than  the  focal  length  of  that  lens,  we  know  that  the  first
image is inverted. Consequently, we need the second lens to

invert  the  image  once  again  so  that  the  final  image  is
upright. An inverted image is only formed by a converging
lens if the object is outside the focal point. Thus, the image
due to the first lens must be to the left of the focal point of
the second lens in Figure 36.32b. To make this happen, we
must move the second lens at least as far away from the first
lens as the sum q

1

&

f

2

"

15.0 cm & 20.0 cm " 35.0 cm.

Figure 36.32 (Example 36.12) (a) A combination of two converging lenses. (b) The

ray diagram showing the location of the final image due to the combination of lenses.

The black dots are the focal points of lens 1 while the red dots are the focal points of

lens 2.

Investigate the image formed by a combination of two lenses at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

Conceptual Example 36.13 Watch Your p’s and q’s!

related  according  to  the  same  equation—the  thin  lens
equation.

The curve in the upper right portion of the f " & 10 cm

graph corresponds to an object located on the front side of a
lens, which we have drawn as the left side of the lens in our
previous  diagrams.  When  the  object  is  at  positive  infinity,  a
real image forms at the focal point on the back side (the posi-
tive side) of the lens, q " f. (The incoming rays are parallel in
this case.) As the object moves closer to the lens, the image

Use a spreadsheet or a similar tool to create two graphs of
image  distance  as  a  function  of  object  distance—one  for  a
lens for which the focal length is 10 cm and one for a lens
for which the focal length is $ 10 cm.

Solution The  graphs  are  shown  in  Figure  36.33.  In  each
graph,  a  gap  occurs  where  p " f,  which  we  shall
discuss. Note  the  similarity  in  the  shapes—a  result  of  the
fact  that image  and  object  distances  for  both  lenses  are

36.5 Lens Aberrations

Our analysis of mirrors and lenses assumes that rays make small angles with the princi-
pal  axis  and  that  the  lenses  are  thin.  In  this  simple  model,  all  rays  leaving  a  point
source focus at a single point, producing a sharp image. Clearly, this is not always true.
When  the  approximations  used  in  this  analysis  do  not  hold,  imperfect  images  are
formed.

A precise analysis of image formation requires tracing each ray, using Snell’s law at

each refracting surface and the law of reflection at each reflecting surface. This proce-
dure shows that the rays from a point object do not focus at a single point, with the
result that the image is blurred. The departures of actual images from the ideal pre-
dicted by our simplified model are called 

aberrations.

Spherical Aberrations

Spherical aberrations occur because the focal points of rays far from the principal axis of
a  spherical  lens  (or  mirror)  are  different  from  the  focal  points  of  rays  of  the  same
wavelength passing near the axis. Figure 36.34 illustrates spherical aberration for parallel
rays passing through a converging lens. Rays passing through points near the center of

1152

C H A P T E R   3 6 •  Image Formation

–50 –40 –30 –20 –10 0 10 20 30 40 50

–50

–40

–30

–20

–10

0

10

20

30

40

50

Virtual object

Real object

Real image

Virtual image

q(cm)

p(cm)

f = 10 cm

(a)

–50 –40 –30 –20 –10 0 10 20 30 40 50

–50

–40

–30

–20

–10

0

10

20

30

40

50

Virtual object

Real object

Real image

Virtual image

q(cm)

p(cm)

f = –10 cm

(b)

Figure 36.33 (Conceptual Example 36.13) (a) Image position as a function of object

position for a lens having a focal length of & 10 cm. (b) Image position as a function of

object position for a lens having a focal length of $ 10 cm.

moves  farther  from  the  lens,  corresponding  to  the  upward
path of the curve. This continues until the object is located at
the focal point on the near side of the lens. At this point, the
rays leaving the lens are parallel, making the image infinitely
far  away.  This  is  described  in  the  graph  by  the  asymptotic
approach of the curve to the line p " f " 10 cm.

As  the  object  moves  inside  the  focal  point,  the  image

becomes  virtual  and  located  near  q " $ '.  We  are  now
following  the  curve  in  the  lower  left  portion  of  Figure
36.33a.  As  the  object  moves  closer  to  the  lens,  the  virtual
image also moves closer to the lens. As p : 0, the image dis-
tance  q also  approaches  0.  Now  imagine  that  we  bring  the
object to the back side of the lens, where p * 0. The object
is now a virtual object, so it must have been formed by some
other lens. For all locations of the virtual object, the image

distance is positive and less than the focal length. The final
image is real, and its position approaches the focal point as
p becomes more and more negative.

The f " $ 10 cm graph shows that a distant real object

forms an image at the focal point on the front side of the
lens. As the object approaches the lens, the image remains
virtual  and  moves  closer  to  the  lens.  But  as  we  continue
toward the left end of the p axis, the object becomes virtual.
As  the  position  of  this  virtual  object  approaches  the  focal
point,  the  image  recedes  toward  infinity.  As  we  pass  the
focal  point,  the  image  shifts  from  a  location  at  positive
infinity  to  one  at  negative  infinity.  Finally,  as  the  virtual
object  continues  moving  away  from  the  lens,  the  image
is virtual,  starts  moving  in  from  negative  infinity,  and
approaches the focal point.

Figure 36.34 Spherical aberration

caused by a converging lens. Does

a diverging lens cause spherical

aberration?