Physics For Scientists And Engineers 6E - part 286

36.4 Thin Lenses

Lenses are commonly used to form images by refraction in optical instruments, such
as  cameras,  telescopes,  and  microscopes.  We  can  use  what  we  just  learned  about
images formed by refracting surfaces to help us locate the image formed by a lens.
We  recognize  that  light  passing  through  a  lens  experiences  refraction  at  two
surfaces.  The  development  we  shall  follow  is  based  on  the  notion  that 

the  image

S E C T I O N   3 6 . 4 •  Thin Lenses

1141

3.0 cm

2.0 cm

q

n

2

n

1

n

1

 > n

2

Figure 36.21 (Example 36.7) Light rays from a coin embedded

in a plastic sphere form a virtual image between the surface

of the object and the sphere surface. Because the object is inside

the sphere, the front of the refracting surface is the interior of

the sphere.

from Table 36.2 that R is negative, we obtain

The negative sign for q indicates that the image is in front of
the  surface—in  other  words,  in  the  same  medium  as  the
object, as shown in Figure 36.21. Being in the same medium
as  the  object,  the  image  must  be  virtual. (See  Table  36.2.)
The  coin  appears  to  be  closer  to  the  paperweight  surface
than it actually is.

$

1.7 cm

q "

  

1.50

2.0 cm

&

1

q

"

1.00 $ 1.50

$

3.0 cm

 

 

n

1

p

&

n

2

q

"

n

2

$

n

1

R

 

Example 36.8 The One That Got Away

The apparent height h! of the fish is 

and  the  fish  appears  to  be  approximately  three-fourths  its
actual height.

 " 0.752h

h! " q

 

top

$

q

 

bottom

" $

0.752d $ [$0.752(d & h)]

A small fish is swimming at a depth d below the surface of a
pond (Fig. 36.22). What is the apparent depth of the fish, as
viewed from directly overhead?

Solution Because the refracting surface is flat, R is infinite.
Hence, we can use Equation 36.9 to determine the location
of  the  image  with  p " d.  Using  the  indices  of  refraction
given in Figure 36.22, we obtain

Because  q is  negative,  the  image  is  virtual,  as  indicated  by
the  dashed  lines  in  Figure  36.22.  The  apparent  depth  is
approximately three-fourths the actual depth.

What  If?

What  if  you  look  more  carefully  at  the  fish  and

measure  its  apparent height,  from  its  upper  fin  to  its  lower
fin?  Is  the  apparent  height  h! of  the  fish  different  from  the
actual height h?

Answer Because  all  points  on  the  fish  appear  to  be  frac-
tionally  closer  to  the  observer,  we  would  predict  that  the
height  would  be  smaller.  If  we  let  the  distance  d in  Figure
36.22  be  measured  to  the  top  fin  and  the  distance  to  the
bottom fin be d & h, then the images of the top and bottom
of the fish are located at

q

 

bottom

" $

0.752(d & h)

q

 

top

" $

0.752d

$

0.752d

q " $

n

2

n

1

 p " $

1.00
1.33

 d "

d

q

n

2

 = 1.00

n

1

 = 1.33

Figure 36.22 (Example 36.8) The apparent depth q of the

fish is less than the true depth d. All rays are assumed to be

paraxial.

formed by one refracting surface serves as the object for the second surface.
We shall analyze a thick lens first and then let the thickness of the lens be approxi-
mately zero.

Consider  a  lens  having  an  index  of  refraction  n and  two  spherical  surfaces  with

radii of curvature R

1

and R

2

, as in Figure 36.23. (Note that R

1

is the radius of curva-

ture of the lens surface that the light from the object reaches first and that R

2

is the

radius of curvature of the other surface of the lens.) An object is placed at point O at a
distance p

1

in front of surface 1. 

Let us begin with the image formed by surface 1. Using Equation 36.8 and assum-

ing that n

1

"

1 because the lens is surrounded by air, we find that the image I

1

formed

by surface 1 satisfies the equation

(36.10)

where  q

1

is  the  position  of  the  image  due  to  surface  1.  If  the  image  due  to

surface 1 is virtual (Fig. 36.23a), q

1

is negative, and it is positive if the image is real

(Fig. 36.23b).

Now we apply Equation 36.8 to surface 2, taking n

1

"

n and n

2

"

1. (We make this

switch  in  index  because  the  light  rays  approaching  surface  2  are  in  the  material  of  the
lens, and this material has index n.) Taking p

2

as the object distance for surface 2 and

q

2

as the image distance gives

(36.11)

We  now  introduce  mathematically  the  fact  that  the  image  formed  by  the  first

surface  acts  as  the  object  for  the  second  surface.  We  do  this  by  noting  from  Figure
36.23 that p

2

, measured from surface 2, is related to q

1

as follows:

Virtual image from surface 1 (Fig. 36.23a):

p

2

" $

q

1

&

t

(q

1

is negative)

Real image from surface 1 (Fig. 36.23b):

p

2

" $

q

1

&

t

(q

1

is positive)

n

p

 

2

&

1

q

 

2

"

1 $ n

R

 

2

1

p

 

1

&

n

q

 

1

"

n $ 1

R

 

1

1142

C H A P T E R   3 6 •  Image Formation

t

p

1

q

1

p

2

O

I

1

C

1

Surface 1

R

1

n

Surface 2

R

2

n

1

 = 1

t

p

1

q

1

O

C

1

Surface 1

R

1

n

Surface 2

R

2

n

1

 = 1

p

2

I

1

(a)

(b)

Figure 36.23 To locate the image formed

by a lens, we use the virtual image at I

1

formed by surface 1 as the object for the

image formed by surface 2. The point C

1

is

the center of curvature of surface 1. (a) The

image due to surface 1 is virtual so that I

1

is

to the left of the surface. (b) The image due

to surface 1 is real so that I

1

is to the right of

the surface.

where  t is  the  thickness  of  the  lens.  For  a  thin lens  (one  whose  thickness  is  small
compared to the radii of curvature), we can neglect t. In this approximation, we see
that p

2

" $

q

1

for either type of image from surface 1. (If the image from surface 1

is real, the image acts as a virtual object, so p

2

is negative.) Hence, Equation 36.11

becomes

(36.12)

Adding Equations 36.10 and 36.12, we find that

(36.13)

For a thin lens, we can omit the subscripts on p

1

and q

2

in Equation 36.13 and call the

object  distance  p and  the  image  distance  q,  as  in  Figure  36.24.  Hence,  we  can  write
Equation 36.13 in the form

(36.14)

This expression relates the image distance q of the image formed by a thin lens to the
object  distance  p and  to  the  lens  properties  (index  of  refraction  and  radii  of  curva-
ture).  It  is  valid  only  for  paraxial  rays  and  only  when  the  lens  thickness  is  much  less
than R

1

and R

2

.

The 

focal length f of a thin lens is the image distance that corresponds to an infi-

nite  object  distance,  just  as  with  mirrors.  Letting  p approach  ' and  q approach  f in
Equation 36.14, we see that the inverse of the focal length for a thin lens is

(36.15)

This relationship is called the 

lens makers’ equation because it can be used to deter-

mine  the  values  of  R

1

and  R

2

that  are  needed  for  a  given  index  of  refraction  and  a

desired focal length f. Conversely, if the index of refraction and the radii of curvature
of a lens are given, this equation enables a calculation of the focal length. If the lens is
immersed in something other than air, this same equation can be used, with n inter-
preted  as  the  ratio  of  the  index  of  refraction  of  the  lens  material  to  that  of  the  sur-
rounding fluid.

Using Equation 36.15, we can write Equation 36.14 in a form identical to Equation

36.6 for mirrors:

(36.16)

1
p

&

1

q

"

1
f

1

f

"

(n $ 1) 

$

1

R

 

1

$

1

R

 

2

%

1
p

&

1
q

 

"

(n $ 1) 

$

1

R

 

1

$

1

R

 

2

%

1

p

 

1

&

1

q

 

2

"

(n $ 1) 

$

1

R

 

1

$

1

R

 

2

%

$

n

q

 

1

&

1

q

 

2

"

1 $ n

R

 

2

S E C T I O N   3 6 . 4 •  Thin Lenses

1143

C

1

C

2

O

p

q

I

R

2

R

1

Figure 36.24 Simplified geometry for a thin lens.

Lens makers’ equation

Thin lens equation

1144

C H A P T E R   3 6 •  Image Formation

f

f

f

f

(a)

(b)

F

1

F

2

F

1

F

2

F

1

F

2

F

1

F

2

Figure 36.25 (Left) Effects of a converging lens (top) and a diverging lens (bottom)

on parallel rays. (Right) Parallel light rays pass through (a) a converging lens and 

(b) a diverging lens. The focal length is the same for light rays passing through a given

lens in either direction. Both focal points F

1

and F

2

are the same distance from the lens.

Henry Leap and Jim Lehman

Front

p positive

q negative

Incident light

Back

p negative

q positive

Refracted light

Figure 36.26 A diagram for

obtaining the signs of p and q for a

thin lens. (This diagram also

applies to a refracting surface.)

Quantity

Positive When

Negative When

Object location (p)

Object is in front of 

Object is in back of

lens (real object)

lens (virtual object)

Image location (q)

Image is in back of 

Image is in front of

lens (real image)

lens (virtual image)

Image height (h!)

Image is upright

Image is inverted

R

1

and R

2

Center of curvature 

Center of curvature

is in back of lens

is in front of lens

Focal length (f )

Converging lens

Diverging lens

Sign Conventions for Thin Lenses

Table 36.3

This equation, called the 

thin lens equation, can be used to relate the image distance

and object distance for a thin lens.

Because light can travel in either direction through a lens, each lens has two focal

points,  one  for  light  rays  passing  through  in  one  direction  and  one  for  rays  passing
through in the other direction. This is illustrated in Figure 36.25 for a biconvex lens
(two convex surfaces, resulting in a converging lens) and a biconcave lens (two con-
cave surfaces, resulting in a diverging lens). 

Figure 36.26 is useful for obtaining the signs of p and q, and Table 36.3 gives the

sign  conventions  for  thin  lenses.  Note  that  these  sign  conventions  are  the  same  as
those for refracting surfaces (see Table 36.2). Applying these rules to a biconvex lens,
we  see  that  when  p + f ,  the  quantities  p,  q,  and  R

1

are  positive,  and  R

2

is  negative.

Therefore, p, q, and f are all positive when a converging lens forms a real image of an
object. For a biconcave lens, p and R

2

are positive and q and R

1

are negative, with the

result that f is negative.

▲

PITFALL PREVENTION 

36.5 A Lens Has Two

Focal Points but
Only One Focal
Length

A  lens  has  a  focal  point  on  each
side,  front  and  back.  However,
there  is  only  one  focal  length—
each  of  the  two  focal  points  is
located  the  same  distance  from
the lens (Fig, 36.25). This can be
seen  mathematically  by  inter-
changing  R

1

and  R

2

in  Equation

36.15 (and changing the signs of
the  radii  because  back  and  front
have  been  interchanged).  As  a
result, the lens forms an image of
an  object  at  the  same  point  if  it
is turned around. In practice this
might  not  happen,  because  real
lenses are not infinitesimally thin.