Physics For Scientists And Engineers 6E - part 287

Various  lens  shapes  are  shown  in  Figure  36.27.  Note  that  a  converging  lens  is

thicker at the center than at the edge, whereas a diverging lens is thinner at the center
than at the edge.

Magnification of Images

Consider a thin lens through which light rays from an object pass. As with mirrors (Eq.
36.2), we could analyze a geometric construction to show that the lateral magnification
of the image is

From this expression, it follows that when M is positive, the image is upright and on
the same side of the lens as the object. When M is negative, the image is inverted and
on the side of the lens opposite the object.

Ray Diagrams for Thin Lenses

Ray diagrams are convenient for locating the images formed by thin lenses or systems
of  lenses.  They  also  help  clarify  our  sign  conventions.  Figure  36.28  shows  such  dia-
grams for three single-lens situations. 

To locate the image of a converging lens (Fig. 36.28a and b), the following three rays

are drawn from the top of the object:

M "

h!

h

" $

q

p

S E C T I O N   3 6 . 4 •  Thin Lenses

1145

(a)

(b)

Convex–

concave

Convex–

concave

Plano–

concave

Plano–

convex

Biconvex

Biconcave

Figure 36.27 Various lens shapes.

(a) Converging lenses have a posi-

tive focal length and are thickest at

the middle. (b) Diverging lenses

have a negative focal length and

are thickest at the edges.

O

(a)

F

1

Front

F

2

Back

I

1

2

3

I

(b)

F

1

Front

F

2

Back

O

1

2

3

O

(c)

F

1

Front

F

2

Back

I

1

2

3

Active Figure 36.28 Ray diagrams for locating the image formed

by a thin lens. (a) When the object is in front of and outside the

focal point of a converging lens, the image is real, inverted, and on

the back side of the lens. (b) When the object is between the focal

point and a converging lens, the image is virtual, upright, larger

than the object, and on the front side of the lens. (c) When an

object is anywhere in front of a diverging lens, the image is virtual,

upright, smaller than the object, and on the front side of the lens.

At the Active Figures link at http://www.pse6.com, you

can move the objects and change the focal length of the

lenses to see the effect on the images.

• Ray 1 is drawn parallel to the principal axis. After being refracted by the lens, this

ray passes through the focal point on the back side of the lens.

• Ray  2  is  drawn  through  the  center  of  the  lens  and  continues  in  a  straight 

line.

• Ray  3  is  drawn  through  the  focal  point  on  the  front  side  of  the  lens  (or  as  if

coming from the focal point if p * f ) and emerges from the lens parallel to the
principal axis.

To  locate  the  image  of  a  diverging lens  (Fig.  36.28c),  the  following  three  rays  are

drawn from the top of the object:

1146

C H A P T E R   3 6 •  Image Formation

• Ray 1 is drawn parallel to the principal axis. After being refracted by the lens,

this  ray  emerges  directed  away  from  the  focal  point  on  the  front  side  of  the
lens.

• Ray  2  is  drawn  through  the  center  of  the  lens  and  continues  in  a  straight 

line.

• Ray 3 is drawn in the direction toward the focal point on the back side of the lens

and emerges from the lens parallel to the principal axis.

For the converging lens in Figure 36.28a, where the object is to the left of the focal

point  (p + f ),  the  image  is  real  and  inverted.  When  the  object  is  between  the  focal
point and the lens (p * f ), as in Figure 36.28b, the image is virtual and upright. For a
diverging lens (see Fig. 36.28c), the image is always virtual and upright, regardless of
where the object is placed. These geometric constructions are reasonably accurate only
if the distance between the rays and the principal axis is much less than the radii of the
lens surfaces.

Note that refraction occurs only at the surfaces of the lens. A certain lens design

takes  advantage  of  this  fact  to  produce  the Fresnel  lens, a  powerful  lens  without  great
thickness. Because only the surface curvature is important in the refracting qualities of
the  lens,  material  in  the  middle  of  a  Fresnel  lens  is  removed,  as  shown  in  the  cross
sections  of  lenses  in  Figure  36.29.  Because  the  edges  of  the  curved  segments  cause
some  distortion,  Fresnel  lenses  are  usually  used  only  in  situations  in  which  image
quality  is  less  important  than  reduction  of  weight.  A  classroom  overhead  projector
often uses a Fresnel lens; the circular edges between segments of the lens can be seen
by looking closely at the light projected onto a screen.

Figure 36.29 The Fresnel lens on

the left has the same focal length as

the thick lens on the right but is

made of much less glass.

Quick  Quiz  36.7

What  is  the  focal  length  of  a  pane  of  window  glass?

(a) zero (b) infinity (c) the thickness of the glass (d) impossible to determine

Quick  Quiz  36.8

Diving  masks  often  have  a  lens  built  into  the  glass  for

divers  who  do  not  have  perfect  vision.  This  allows  the  individual  to  dive  without  the
necessity  for  glasses,  because  the  lenses  in  the  faceplate  perform  the  necessary
refraction to provide clear vision. The proper design allows the diver to see clearly with
the mask on both under water and in the open air. Normal eyeglasses have lenses that
are curved on both the front and back surfaces. The lenses in a diving mask should be
curved (a) only on the front surface (b) only on the back surface (c) on both the front
and back surfaces.

Example 36.9 Images Formed by a Converging Lens 

Solution

(A) First  we  construct  a  ray  diagram  as  shown  in  Figure
36.30a.  The  diagram  shows  that  we  should  expect  a  real,
inverted, smaller image to be formed on the back side of the
lens. The thin lens equation, Equation 36.16, can be used to
find the image distance:

 

1
p

&

1

q

"

1

f

 

A  converging  lens  of  focal  length  10.0 cm  forms  images  of
objects placed

(A)

30.0 cm,

(B)

10.0 cm, and

(C)

5.00 cm from the lens.

In  each  case,  construct  a  ray  diagram,  find  the  image
distance and describe the image.

Interactive

S E C T I O N   3 6 . 4 •  Thin Lenses

1147

The  positive  sign  for  the  image  distance  tells  us  that  the
image is indeed real and on the back side of the lens. The
magnification of the image is

Thus,  the  image  is  reduced  in  height  by  one  half,  and  the
negative sign for M tells us that the image is inverted. 

(B) No  calculation  is  necessary  for  this  case  because
we know  that,  when  the  object  is  placed  at  the  focal
point, the  image  is  formed  at  infinity.  This  is  readily
verified  by  substituting  p " 10.0 cm  into  the  thin  lens
equation.

(C) We now move inside the focal point. The ray diagram
in Figure 36.30b shows that in this case the lens acts as a
magnifying glass; that is, the image is magnified, upright,
on  the  same  side  of  the  lens  as  the  object,  and  virtual.
Because the object distance is 5.00 cm, the thin lens equa-
tion gives

$

10.0 cm

q "

  

1

5.00 cm

&

1

q

"

1

10.0 cm

 

$

0.500

M " $

q
p

" $

15.0 cm
30.0 cm

"

&

15.0 cm

q "

  

1

30.0 cm

&

1

q

"

1

10.0 cm

 

and the magnification of the image is

The negative image distance tells us that the image is virtual
and formed on the side of the lens from which the light is
incident, the front side. The image is enlarged, and the posi-
tive sign for M tells us that the image is upright.

What  If?

What  if  the  object  moves  right  up  to  the  lens

surface, so that p B 0? Where is the image?

Answer In this case, because p ** R , where R is either of the
radii of the surfaces of the lens, the curvature of the lens can
be ignored and it should appear to have the same effect as a
plane piece of material. This would suggest that the image is
just on the front side of the lens, at q " 0. We can verify this
mathematically by rearranging the thin lens equation:

If we let p : 0, the second term on the right becomes very
large  compared  to  the  first  and  we  can  neglect  1/f.  The
equation becomes

Thus,  q is  on  the  front  side  of  the  lens  (because  it  has  the
opposite sign as p), and just at the lens surface.

q " $p " 0

1

q

" $

1
p

1

q

"

1

f

$

1
p

&

2.00

M " $

q
p

" $

$

$

10.0 cm

5.00 cm

%

"

(b)

O

F

2

I, F

1

10.0 cm

5.00 cm

10.0 cm

(a)

O

F

1

F

2

I

15.0 cm

30.0 cm

10.0 cm

Figure 36.30 (Example 36.9) An image is formed by a converging lens. (a) The object

is farther from the lens than the focal point. (b) The object is closer to the lens than

the focal point.

Investigate the image formed for various object positions and lens focal lengths at the Interactive Worked Example link at
http://www.pse6.com.

1148

C H A P T E R   3 6 •  Image Formation

Example 36.10 The Case of a Diverging Lens

This  result  confirms  that  the  image  is  virtual,  smaller  than
the object, and upright.

(B)  When  the  object  is  at  the  focal  point,  the  ray  diagram
appears as in Figure 36.31b. In the thin lens equation, using
p " 10.0 cm, we have

The magnification of the image is

Notice  the  difference  between  this  situation  and  that  for  a
converging lens. For a diverging lens, an object at the focal
point does not produce an image infinitely far away.

(C) When the object is inside the focal point, at p " 5.00 cm,
the  ray  diagram  in  Figure  36.31c  shows  that  we  expect  a
virtual image that is smaller than the object and upright. In

&

0.500

M " $

q
p

" $

$

$

5.00 cm

10.0 cm

%

"

$

5.00 cm

q "

  

1

10.0 cm

&

1

q

"

1

$

10.0 cm

 

Repeat  Example  36.9  for  a  diverging lens  of  focal  length
10.0 cm.

Solution
(A)  We  begin  by  constructing  a  ray  diagram  as  in  Figure
36.31a  taking  the  object  distance  to  be  30.0 cm.  The  dia-
gram shows that we should expect an image that is virtual,
smaller than the object, and upright. Let us now apply the
thin lens equation with p " 30.0 cm:

The magnification of the image is

&

0.250

M " $

q
p

" $

$

$

7.50 cm

30.0 cm

%

"

$

7.50 cm

q "

  

1

30.0 cm

&

1

q

"

1

$

10.0 cm

 

 

1
p

&

1

q

"

1

f

 

I

O

(c)

F

1

5.00 cm

3.33 cm

10.0 cm

F

2

I

O

(a)

F

1

30.0 cm

10.0 cm

7.50 cm

F

2

I

O, F

1

(b)

5.00 cm

10.0 cm

F

2

Figure 36.31 (Example 36.10) An image is formed by a diverging lens. (a) The object

is farther from the lens than the focal point. (b) The object is at the focal point.

(c) The object is closer to the lens than the focal point.

Interactive