Physics For Scientists And Engineers 6E - part 285

S E C T I O N   3 6 . 2 •  Images Formed by Spherical Mirrors

1137

Example 36.4 The Image formed by a Concave Mirror 

image. In this case, the mirror equation gives

The image is virtual because it is located behind the mirror,
as expected. The magnification of the image is

The image is twice as large as the object, and the positive sign
for M indicates that the image is upright (see Fig. 36.15b).

What If?

Suppose you set up the candle and mirror appara-

tus  illustrated  in  Figure  36.15a  and  described  in  part  (A)  of
the example.  While  adjusting  the  apparatus,  you  accidentally
strike  the  candle  with  your  elbow  so  that  it  begins  to  slide
toward the mirror at velocity v

p

. How fast does the image of the

candle move?

Answer We solve the mirror equation, Equation 36.6, for q:

Differentiating  this  equation  with  respect  to  time  gives  us
the velocity of the image v

q

"

dq/dt:

For the object position of 25.0 cm in part (A), the velocity of
the image is

Thus, the speed of the image is less than that of the object
in this case.

We can see two interesting behaviors of this function for

v

q

.  First,  note  that  the  velocity  is  negative  regardless  of  the

value of p or f. Thus, if the object moves toward the mirror, the
image  moves  toward  the  left  in  Figure  36.15  without  regard
for the side of the focal point at which the object is located or
whether the mirror is concave or convex. Second, in the limit
of p : 0, the velocity v

q

approaches $ v

p

. As the object moves

very close to the mirror, the mirror looks like a plane mirror,
the image is as far behind the mirror as the object is in front,
and both the object and the image move with the same speed.

v

q

" $

f

2

 

v

p

(p $ f )

2

" $

(10.0 cm)

2

 

v

p

(25.0 cm $ 10.0 cm)

2

" $

0.444

 

v

p

v

q

"

dq

dt

"

d

dt

 

$

f

 

p

p $ f

%

" $

f

  

2

(p $ f )

2

 

dp

dt

" $

f

  

2

v

p

(p $ f )

2

q "

f

 

p

p $ f

M " $

q
p

" $

$

$

10.0 cm

5.00 cm

%

" &

2.00

$

10.0 cm

q "

1

5.00 cm

&

1

q

"

1

10.0 cm

Assume that a certain spherical mirror has a focal length of
&

10.0 cm.  Locate  and  describe  the  image  for  object

distances of

(A)

25.0 cm,

(B)

10.0 cm, and

(C)

5.00 cm.

Solution Because the focal length is positive, we know that
this is a concave mirror (see Table 36.1).

(A)  This  situation  is  analogous  to  that  in  Figure  36.15a;
hence,  we  expect  the  image  to  be  real.  We  find  the  image
distance by using Equation 36.6:

The magnification of the image is given by Equation 36.2:

The fact that the absolute value of M is less than unity tells us
that the image is smaller than the object, and the negative sign
for M tells us that the image is inverted. Because q is positive,
the image is located on the front side of the mirror and is real. 

(B)  When  the  object  distance  is  10.0 cm,  the  object  is
located at the focal point. Now we find that

which means that rays originating from an object positioned at
the focal point of a mirror are reflected so that the image is
formed at an infinite distance from the mirror; that is, the rays
travel parallel to one another after reflection. This is the situa-
tion  in  a  flashlight,  where  the  bulb  filament  is  placed  at  the
focal point of a reflector, producing a parallel beam of light.

(C)  When  the  object  is  at  p " 5.00 cm,  it  lies  halfway
between the focal point and the mirror surface, as shown in
Figure 36.15b. Thus, we expect a magnified, virtual, upright

'

q "

1

10.0 cm

&

1

q

"

1

10.0 cm

$

0.668

M " $

q
p

" $

16.7 cm
25.0 cm

"

16.7 cm

q "

1

25.0 cm

&

1

q

"

1

10.0 cm

 

1
p

&

1

q

"

1

f

 

Investigate the image formed for various object positions and mirror focal lengths at the Interactive Worked Example link
at http://www.pse6.com.

Interactive

Example 36.5 The Image from a Convex Mirror 

(B)

the magnification of the image.

Solution (A) This  situation  is  depicted  in  Figure  36.15c.
We should expect to find an upright, reduced, virtual image.
To find the image position, we use Equation 36.6:

An anti-shoplifting mirror, as shown in Figure 36.17, shows
an image of a woman who is located 3.0 m from the mirror.
The focal length of the mirror is $ 0.25 m. Find

(A)

the position of her image and

Interactive

36.3 Images Formed by Refraction

In this section we describe how images are formed when light rays are refracted at the
boundary between two transparent materials. Consider two transparent media having
indices of refraction n

1

and n

2

, where the boundary between the two media is a spheri-

cal surface of radius R (Fig. 36.18). We assume that the object at O is in the medium
for which the index of refraction is n

1

. Let us consider the paraxial rays leaving O. As

we shall see, all such rays are refracted at the spherical surface and focus at a single
point I, the image point.

Figure 36.19 shows a single ray leaving point O and refracting to point I. Snell’s law

of refraction applied to this ray gives

Because #

1

and #

2

are assumed to be small, we can use the small-angle approximation

sin #

# # (with angles in radians) and say that

Now  we  use  the  fact  that  an  exterior  angle  of  any  triangle  equals  the  sum  of  the  two
opposite interior angles. Applying this rule to triangles OPC and PIC in Figure 36.19 gives

( " #

 

2

&

)

#

 

1

"

% & (

n

1

#

 

1

"

n

2

#

 

2

n

1

 sin #

 

1

"

n

2

 sin #

 

2

1138

C H A P T E R   3 6 •  Image Formation

The negative value of q indicates that her image is virtual, or
behind the mirror, as shown in Figure 36.15c.

(B) The magnification of the image is

The  image  is  much  smaller  than  the  woman,  and  it  is
upright because M is positive.

&

0.077

M " $

q
p

" $

$

$

0.23 m

3.0 m

%

"

$

0.23 m

q "

 

1

q

"

1

$

0.25 m

$

1

3.0 m

1
p

&

1

q

"

1

f

"

1

$

0.25 m

 

Figure 36.17 (Example 36.5) Convex mirrors, often used 

for security in department stores, provide wide-angle 

viewing.

Investigate the image formed for various object positions and mirror focal lengths at the Interactive Worked Example link
at http://www.pse6.com.

n

1

 < n

2

O

I

p

q

n

2

n

1

R

Figure 36.18 An image formed by

refraction at a spherical surface. Rays

making small angles with the principal axis

diverge from a point object at O and are

refracted through the image point I.

©

1990 Paul Silverman/Fundamental Photographs

If we combine all three expressions and eliminate #

1

and #

2

, we find that

(36.7)

From  Figure  36.19,  we  see  three  right  triangles  that  have  a  common  vertical  leg  of
length d. For paraxial rays (unlike the relatively large-angle ray shown in Fig. 36.19),
the horizontal legs of these triangles are approximately p for the triangle containing
angle %, 

R for the triangle containing angle (, and q for the triangle containing angle

)

. In the small-angle approximation, tan#

# #, so we can write the approximate rela-

tionships from these triangles as follows:

We substitute these expressions into Equation 36.7 and divide through by d to give

(36.8)

For a fixed object distance p, the image distance q is independent of the angle that the
ray makes with the axis. This result tells us that all paraxial rays focus at the same point I.

As with mirrors, we must use a sign convention if we are to apply this equation to a

variety of cases. We define the side of the surface in which light rays originate as the
front side. The other side is called the back side. Real images are formed by refraction
in back of the surface, in contrast with mirrors, where real images are formed in front
of  the  reflecting  surface.  Because  of  the  difference  in  location  of  real  images,  the
refraction sign conventions for q and R are opposite the reflection sign conventions.
For example, q and R are both positive in Figure 36.19. The sign conventions for spher-
ical refracting surfaces are summarized in Table 36.2.

We derived Equation 36.8 from an assumption that n

1

*

n

2

in Figure 36.19. This

assumption is not necessary, however. Equation 36.8 is valid regardless of which index
of refraction is greater.

n

1

p

&

n

2

q

"

n

2

$

n

1

R

tan %

# % #

d
p

   

tan (

# ( #

d

R

   

tan )

# ) #

d
q

n

1

% &

n

2

) "

(n

2

$

n

1

)(

S E C T I O N   3 6 . 3 •  Images Formed by Refraction

1139

Relation between object and

image distance for a refracting

surface

O

P

R

C

n

1

n

2

d

p

q

γ

α

β

I

θ

1

θ

2

Figure 36.19 Geometry used to derive Equation 36.8, assuming that n

1

*

n

2

.

Quantity

Positive When

Negative When

Object location (p)

Object is in front of 

Object is in back of 

surface (real object)

surface (virtual object)

Image location (q)

Image is in back of 

Image is in front of 

surface (real image)

surface (virtual image)

Image height (h!)

Image is upright

Image is inverted

Radius (R)

Center of curvature 

Center of curvature

is in back of surface

is in front of surface

Sign Conventions for Refracting Surfaces

Table 36.2

Flat Refracting Surfaces

If a refracting surface is flat, then R is infinite and Equation 36.8 reduces to

(36.9)

From this expression we see that the sign of q is opposite that of p. Thus, according
to  Table  36.2, 

the  image  formed  by  a  flat  refracting  surface  is  on  the  same

side of  the  surface  as  the  object. This  is  illustrated  in  Figure  36.20  for  the
situation in which the object is in the medium of index n

1

and n

1

is greater than n

2

.

In  this  case,  a  virtual  image  is  formed  between  the  object  and  the  surface.  If  n

1

is

less than n

2

, the rays in the back side diverge from each other at lesser angles than

those  in  Figure  36.20.  As  a  result,  the  virtual  image  is  formed  to  the  left  of  the
object.

  q " $

n

2

n

1

 p 

  

n

1

p

" $

n

2

q

  

1140

C H A P T E R   3 6 •  Image Formation

Example 36.7 Gaze into the Crystal Ball

Solution Because n

1

+

n

2

, where n

2

"

1.00 is the index of

refraction  for  air,  the  rays  originating  from  the  coin  are
refracted away from the normal at the surface and diverge
outward.  Hence,  the  image  is  formed  inside  the  paper-
weight  and  is  virtual.  Applying  Equation  36.8  and  noting

A  set  of  coins  is  embedded  in  a  spherical  plastic  paper-
weight having a radius of 3.0 cm. The index of refraction of
the plastic is n

1

"

1.50. One coin is located 2.0 cm from the

edge  of  the  sphere  (Fig.  36.21).  Find  the  position  of  the
image of the coin.

O

I

q

p

n

1

 > n

2

n

1

  n

2

Active Figure 36.20 The image

formed by a flat refracting surface

is virtual and on the same side of

the surface as the object. All rays

are assumed to be paraxial.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can move the object to see the

effect on the location of the

image.

Quick Quiz 36.5

In Figure 36.18, what happens to the image point I as the

object point O is moved to the right from very far away to very close to the refracting
surface?  (a)  It  is  always  to  the  right  of  the  surface.  (b)  It  is  always  to  the  left  of 
the surface. (c) It starts off to the left and at some position of O, I moves to the right
of the surface. (d) It starts off to the right and at some position of O, I moves to the left
of the surface.

Quick  Quiz  36.6

In  Figure  36.20,  what  happens  to  the  image  point  I as

the object point O moves toward the right-hand surface of the material of index of
refraction  n

1

?  (a)  It  always  remains  between  O and  the  surface,  arriving  at  the

surface just as O does. (b) It moves toward the surface more slowly than O so that
eventually O passes I. (c) It approaches the surface and then moves to the right of
the surface.

Conceptual Example 36.6 Let’s Go Scuba Diving!

when  a  person  under  water  views  objects  with  the  naked
eye.  In  this  case,  light  rays  from  an  object  focus  behind
the  retina,  resulting  in  a  blurred  image.  When  a  mask  is
used, the air space between the eye and the mask surface
provides  the  normal  amount  of  refraction  at  the  eye–air
interface,  and  the  light  from  the  object  focuses  on  the
retina.

It  is  well  known  that  objects  viewed  under  water  with  the
naked  eye  appear  blurred  and  out  of  focus.  However,  a
scuba  diver  using  a  mask  has  a  clear  view  of  underwater
objects.  Explain  how  this  works,  using  the  facts  that  the
indices of refraction of the cornea, water, and air are 1.376,
1.333, and 1.00029, respectively.

Solution Because the cornea and water have almost iden-
tical  indices  of  refraction,  very  little  refraction  occurs