Physics For Scientists And Engineers 6E - part 278

Therefore,

. ! .+

90/ # &

1

!

90/ # &+

1

and

&

1

!

&+

1

which is the law of reflection.

Now let us use Huygens’s principle and Figure 35.19 to derive Snell’s law of refrac-

tion. We focus our attention on the instant ray 1 strikes the surface and the subsequent
time  interval  until  ray  2  strikes  the  surface.  During  this  time  interval,  the  wave  at  A
sends  out  a  Huygens  wavelet  (the  arc  centered  on  A)  toward  D.  In  the  same  time
interval, the wave at B sends out a Huygens wavelet (the arc centered on B) toward C.
Because these two wavelets travel through different media, the radii of the wavelets are
different. The radius of the wavelet from A is AD ! v

2

%

t, where v

2

is the wave speed in

the second medium. The radius of the wavelet from B is BC ! v

1

%

t, where v

1

is the

wave speed in the original medium.

From triangles ABC and ADC, we find that

If we divide the first equation by the second, we obtain

But from Equation 35.4 we know that v

1

!

c/n

1

and v

2

!

c/n

2

. Therefore,

n

1

sin &

1

!

n

2

sin &

2

which is Snell’s law of refraction.

35.7 Dispersion and Prisms

An  important  property  of  the  index  of  refraction  n is  that,  for  a  given  material,  the
index varies with the wavelength of the light passing through the material, as Figure
35.20 shows. This behavior is called 

dispersion. Because n is a function of wavelength,

Snell’s law of refraction indicates that light of different wavelengths is bent at different
angles when incident on a refracting material.

As  we  see  from  Figure  35.20,  the  index  of  refraction  generally  decreases  with

increasing wavelength. This means that violet light bends more than red light does when
passing into a refracting material. To understand the effects that dispersion can have on
light, consider what happens when light strikes a prism, as shown in Figure 35.21. A ray
of single-wavelength light incident on the prism from the left emerges refracted from its
original direction of travel by an angle 3, called the 

angle of deviation.

Now suppose that a beam of white light (a combination of all visible wavelengths) is

incident on a prism, as illustrated in Figure 35.22. The rays that emerge spread out in a
series of colors known as the 

visible spectrum. These colors, in order of decreasing

wavelength,  are  red,  orange,  yellow,  green,  blue,  and  violet.  Clearly,  the  angle  of
deviation 3 depends on wavelength. Violet light deviates the most, red the least, and
the  remaining  colors  in  the  visible  spectrum  fall  between  these  extremes.  Newton
showed that each color has a particular angle of deviation and that the colors can be
recombined to form the original white light.

The dispersion of light into a spectrum is demonstrated most vividly in nature by the

formation of a rainbow, which is often seen by an observer positioned between the Sun

sin &

1

sin &

2

!

c/n

1

c/n

2

!

n

2

n

1

sin &

 

1

sin &

 

2

!

v

 

1

v

 

2

sin &

 

1

!

BC
AC

!

v

 

1

 %t

AC

   

and

   

sin &

 

2

!

AD

AC

!

v

 

2

 %t

AC

S E C T I O N   3 5 . 7 •  Dispersion and Prisms

1109

1

θ

C

B

1

θ

1

2

2

θ

2

θ

A

D

1.54

1.52

1.50

1.48

1.46

400

500

600

700

n

Fused quartz

Acrylic

Crown glass

, nm

λ

Figure 35.19 Huygens’s construc-

tion for proving Snell’s law of

refraction. At the instant that ray 1

strikes the surface, it sends out a

Huygens wavelet from A and ray 2

sends out a Huygens wavelet from

B. The two wavelets have different

radii because they travel in differ-

ent media.

Figure 35.20 Variation of index of

refraction with vacuum wavelength

for three materials.

Figure 35.21 A prism refracts a

single-wavelength light ray through

an angle 

3

.

δ

and a rain shower. To understand how a rainbow is formed, consider Figure 35.23. A ray
of sunlight (which is white light) passing overhead strikes a drop of water in the atmos-
phere and is refracted and reflected as follows: It is first refracted at the front surface of
the drop, with the violet light deviating the most and the red light the least. At the back
surface of the drop, the light is reflected and returns to the front surface, where it again
undergoes refraction as it moves from water into air. The rays leave the drop such that the
angle between the incident white light and the most intense returning violet ray is 40° and
the angle between the white light and the most intense returning red ray is 42°. This small
angular difference between the returning rays causes us to see a colored bow.

Now suppose that an observer is viewing a rainbow, as shown in Figure 35.24. If a

raindrop high in the sky is being observed, the most intense red light returning from
the drop can reach the observer because it is deviated the most, but the most intense
violet  light  passes  over  the  observer  because  it  is  deviated  the  least.  Hence,  the
observer sees this drop as being red. Similarly, a drop lower in the sky would direct the
most  intense  violet  light  toward  the  observer  and  appears  to  be  violet.  (The  most
intense red light from this drop would pass below the eye of the observer and not be

1110

C H A P T E R   3 5 •  The Nature of Light and the Laws of Geometric Optics

Figure 35.22 White light enters a

glass prism at the upper left. A

reflected beam of light comes out of

the prism just below the incoming

beam. The beam moving toward the

lower right shows distinct colors.

Different colors are refracted at

different angles because the index of

refraction of the glass depends on

wavelength. Violet light deviates the

most; red light deviates the least.

David Parker/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc.

Sunlight

40

° 42°

V

R

V

R

White

White

40

° 42°

42

°

40

°

▲

PITFALL PREVENTION 

35.5 A Rainbow of Many

Light Rays

Pictorial  representations  such  as
Figure  35.23  are  subject  to  misin-
terpretation. The figure shows one
ray  of  light  entering  the  raindrop
and  undergoing  reflection  and
refraction, exiting the raindrop in
a  range  of  40° to  42° from  the
entering  ray.  This  might  be  inter-
preted incorrectly as meaning that
all light  entering  the  raindrop
exits in this small range of angles.
In  reality,  light  exits  the  raindrop
over  a  much  larger  range  of
angles,  from  0° to  42°.  A  careful
analysis  of  the  reflection  and
refraction  from  the  spherical
raindrop  shows  that  the  range  of
40° to  42° is  where  the  highest-
intensity light exits the raindrop.

Active Figure 35.23 Path of

sunlight through a spherical

raindrop. Light following this path

contributes to the visible rainbow.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can vary the point at which the

sunlight enters the raindrop to

verify that the angles shown are

the maximum angles.

Figure 35.24 The formation of a rainbow seen by an observer standing with the Sun

behind his back.

seen.)  The  most  intense  light  from  other  colors  of  the  spectrum  would  reach  the
observer from raindrops lying between these two extreme positions.

The  opening  photograph  for  this  chapter  shows  a double  rainbow.  The  secondary

rainbow is fainter than the primary rainbow and the colors are reversed. The secondary
rainbow  arises  from  light  that  makes  two  reflections  from  the  interior  surface  before
exiting the raindrop. In the laboratory, rainbows have been observed in which the light
makes  over  30  reflections  before  exiting  the  water  drop.  Because  each reflection
involves some loss of light due to refraction out of the water drop, the intensity of these
higher-order rainbows is small compared to the intensity of the primary rainbow.

S E C T I O N   3 5 . 8 •  Total Internal Reflection

1111

Example 35.7 Measuring n Using a Prism

Quick Quiz 35.5

Lenses in a camera use refraction to form an image on a

film. Ideally, you want all the colors in the light from the object being photographed
to be  refracted  by  the  same  amount.  Of  the  materials  shown  in  Figure  35.20,  which
would  you  choose  for  a  camera  lens?  (a)  crown  glass  (b)  acrylic  (c) fused  quartz
(d) impossible to determine

Although  we  do  not  prove  it  here,  the  minimum  angle  of
deviation  3

min

for  a  prism  occurs  when  the  angle  of  inci-

dence  &

1

is  such  that  the  refracted  ray  inside  the  prism

makes  the  same  angle  with  the  normal  to  the  two  prism
faces,

1

as  shown  in  Figure  35.25.  Obtain  an  expression  for

the index of refraction of the prism material.

Solution Using  the  geometry  shown  in  Figure  35.25,  we
find that &

2

! 4

/2, where 4 is the apex angle and

From Snell’s law of refraction, with n

1

!

1 because medium

1 is air, we have

(35.9)

Hence, knowing the apex angle 4 of the prism and measur-
ing  3

min

,  we  can  calculate  the  index  of  refraction  of  the

prism material. Furthermore, we can use a hollow prism to
determine  the  values  of  n for  various  liquids  filling  the
prism.

sin 

$

4 -

3

min

2

%

sin(4/2)

n !

sin 

$

4 -

3

min

2

%

!

n sin(4/2)

sin &

 

1

!

n sin &

 

2

&

1

!

&

2

-

, !

4

2

-

3

min

2

!

4 -

3

min

2

n

Φ/2

θ

1

δ

min

α

α

θ

θ

2

θ

θ

1

θ

δ

2

Figure 35.25 (Example 35.7) A light ray passing through a

prism at the minimum angle of deviation 

3

min

.

35.8 Total Internal Reflection

An interesting effect called 

total internal reflection can occur when light is directed

from a medium having a given index of refraction toward one having a lower index of
refraction.  Consider  a  light  beam  traveling  in  medium  1  and  meeting  the  boundary
between medium 1 and medium 2, where n

1

is greater than n

2

(Fig. 35.26a). Various

possible directions of the beam are indicated by rays 1 through 5. The refracted rays
are bent away from the normal because n

1

is greater than n

2

. At some particular angle

of incidence &

c

, called the 

critical angle, the refracted light ray moves parallel to the

boundary so that &

2

!

90° (Fig. 35.26b).

1

The details of this proof are available in texts on optics.

For angles of incidence greater than &

c

, the beam is entirely reflected at the bound-

ary, as shown by ray 5 in Figure 35.26a. This ray is reflected at the boundary as it strikes
the surface. This ray and all those like it obey the law of reflection; that is, for these
rays, the angle of incidence equals the angle of reflection.

We  can  use  Snell’s  law  of  refraction  to  find  the  critical  angle.  When  &

1

!

&

c

,

&

2

!

90° and Equation 35.8 gives

n

1

sin &

c

!

n

2

sin 90/ ! n

2

(35.10)

This  equation  can  be  used  only  when  n

1

is  greater  than  n

2

.  That  is, 

total  internal

reflection occurs only when light is directed from a medium of a given index of
refraction toward a medium of lower index of refraction. If n

1

were less than n

2

,

Equation 35.10 would give sin &

c

*

1; this is a meaningless result because the sine of an

angle can never be greater than unity.

The  critical  angle  for  total  internal  reflection  is  small  when  n

1

is  considerably

greater than n

2

. For example, the critical angle for a diamond in air is 24°. Any ray

inside  the  diamond  that  approaches  the  surface  at  an  angle  greater  than  this  is
completely  reflected  back  into  the  crystal.  This  property,  combined  with  proper
faceting, causes diamonds to sparkle. The angles of the facets are cut so that light is
“caught”  inside  the  crystal  through  multiple  internal  reflections.  These  multiple
reflections  give  the  light  a  long  path  through  the  medium,  and  substantial  disper-
sion  of  colors  occurs.  By  the  time  the  light  exits  through  the  top  surface  of  the
crystal,  the  rays  associated  with  different  colors  have  been  fairly  widely  separated
from one another.

sin &

c

!

n

2

n

1

   

(for n

1

*

n

 

2

)

1112

C H A P T E R   3 5 •  The Nature of Light and the Laws of Geometric Optics

Active Figure 35.26 (a) Rays travel from a medium of index

of refraction n

1

into a medium of index of refraction n

2

,

where n

2

)

n

1

. As the angle of incidence 

&

1

increases, the

angle of refraction 

&

2

increases until 

&

2

is 90° (ray 4). For even

larger angles of incidence, total internal reflection occurs (ray

5). (b) The angle of incidence producing an angle of refrac-

tion equal to 90° is the critical angle 

&

c

. At this angle of

incidence, all of the energy of the incident light is reflected.

At the Active Figures link at http://www.pse6.com,

you can vary the incident angle and see the effect on

the refracted ray and the distribution of incident

energy between the reflected and refracted rays.

Normal

n

2

n

1

(b)

n

2

< n

1

c

θ

Normal

n

2

n

1

(a)

3

2

4

5

1

2

θ

1

θ

n

2

< n

1

Critical angle for total internal

reflection