Physics For Scientists And Engineers 6E - part 279

Cubic zirconia also has a high index of refraction and can be made to sparkle very

much like a genuine diamond. If a suspect jewel is immersed in corn syrup, the differ-
ence in n for the cubic zirconia and that for the syrup is small, and the critical angle is
therefore great. This means that more rays escape sooner, and as a result the sparkle
completely disappears. A real diamond does not lose all of its sparkle when placed in
corn syrup.

S E C T I O N   3 5 . 8 •  Total Internal Reflection

1113

Figure 35.28 (Example 35.8) What If? A fish looks upward 

toward the water surface.

Quick Quiz 35.6

In Figure 35.27, five light rays enter a glass prism from the

left. How many of these rays undergo total internal reflection at the slanted surface of
the prism? (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5.

Quick  Quiz  35.7

Suppose  that  the  prism  in  Figure  35.27  can  be  rotated

in the  plane  of  the  paper.  In  order  for  all  five rays  to  experience  total  internal
reflection  from  the slanted  surface,  should  the  prism  be  rotated  (a)  clockwise  or
(b) counterclockwise?

Quick  Quiz  35.8

A  beam  of  white  light  is  incident  on  a  crown  glass–air

interface as shown in Figure 35.26a. The incoming beam is rotated clockwise, so that
the incident  angle  & increases.  Because  of  dispersion  in  the  glass,  some  colors
of light  experience  total  internal  reflection  (ray  4  in  Figure  35.26a)  before  other
colors, so that the beam refracting out of the glass is no longer white. The last color
to  refract  out  of the  upper  surface  is  (a)  violet  (b)  green  (c)  red  (d)  impossible
to determine.

Figure 35.27 (Quick Quiz 35.6

and 35.7) Five nonparallel light

rays enter a glass prism from the

left.

Courtesy of Henry Leap and Jim Lehman

Find  the  critical  angle  for  an  air–water  boundary.  (The
index of refraction of water is 1.33.)

Solution We  can  use  Figure  35.26  to  solve  this  problem,
with  the  air  above  the  water  having  index  of  refraction
n

2

and  the  water  having  index  of  refraction  n

1

.  Applying

Equation 35.10, we find that

What If?

What if a fish in a still pond looks upward toward

the water’s surface at different angles relative to the surface,
as in Figure 35.28? What does it see?

Answer Because  the  path  of  a  light  ray  is  reversible,  light
traveling  from  medium  2  into  medium  1  in  Figure  35.26a
follows the paths shown, but in the opposite direction. A fish
looking upward toward the water surface, as in Figure 35.28,
can see out of the water if it looks toward the surface at an
angle less than the critical angle. Thus, for example, when
the  fish’s  line  of  vision  makes  an  angle  of  40° with  the
normal  to  the  surface,  light  from  above  the  water  reaches
the fish’s eye. At 48.8°, the critical angle for water, the light
has to skim along the water’s surface before being refracted
to the fish’s eye; at this angle, the fish can in principle see
the  whole  shore  of  the  pond.  At  angles  greater  than  the
critical angle, the light reaching the fish comes by means of
internal reflection at the surface. Thus, at 60°, the fish sees a
reflection of the bottom of the pond.

48.8/

&

c

!

sin

 

&

c

!

n

2

n

1

!

1

1.33

!

0.752

θ

Example 35.8 A View from the Fish’s Eye

Optical Fibers

Another  interesting  application  of  total  internal  reflection  is  the  use  of  glass  or
transparent  plastic  rods  to  “pipe”  light  from  one  place  to  another.  As  indicated  in
Figure  35.29,  light  is  confined  to  traveling  within  a  rod,  even  around  curves,  as  the
result of successive total internal reflections. Such a light pipe is flexible if thin fibers
are  used  rather  than  thick  rods.  A  flexible  light  pipe  is  called  an 

optical  fiber. If  a

bundle of parallel fibers is used to construct an optical transmission line, images can
be transferred from one point to another. This technique is used in a sizable industry
known as fiber optics.

A practical optical fiber consists of a transparent core surrounded by a cladding, a

material that has a lower index of refraction than the core. The combination may be
surrounded  by  a  plastic  jacket to  prevent  mechanical  damage.  Figure  35.30  shows  a
cutaway view of this construction. Because the index of refraction of the cladding is less
than that of the core, light traveling in the core experiences total internal reflection if
it arrives at the interface between the core and the cladding at an angle of incidence
that  exceeds  the  critical  angle.  In  this  case,  light  “bounces”  along  the  core  of  the
optical fiber, losing very little of its intensity as it travels.

Any loss in intensity in an optical fiber is due essentially to reflections from the two

ends and absorption by the fiber material. Optical fiber devices are particularly useful
for  viewing  an  object  at  an  inaccessible  location.  For  example,  physicians  often  use
such  devices  to  examine  internal  organs  of  the  body  or  to  perform  surgery  without
making  large  incisions.  Optical  fiber  cables  are  replacing  copper  wiring  and  coaxial
cables for telecommunications because the fibers can carry a much greater volume of
telephone calls or other forms of communication than electrical wires can.

35.9 Fermat’s Principle

Pierre de Fermat (1601–1665) developed a general principle that can be used to deter-
mine  the  path  that  light  follows  as  it  travels  from  one  point  to  another. 

Fermat’s

principle states that when a light ray travels between any two points, its path is

1114

C H A P T E R   3 5 •  The Nature of Light and the Laws of Geometric Optics

Figure 35.30 The construction of

an optical fiber. Light travels in the

core, which is surrounded by a

cladding and a protective jacket.

Jacket

Cladding

Glass or plastic

core

Figure 35.29 Light travels in a

curved transparent rod by multiple

internal reflections.

Dennis O’Clair/T

ony Stone Images

Hank Morgan/Photo Researchers, Inc.

(Left) Strands of glass optical fibers are used to carry voice, video, and data signals in

telecommunication networks. (Right) A bundle of optical fibers is illuminated by a laser.

the one that requires the smallest time interval. An obvious consequence of this
principle  is  that  the  paths  of  light  rays  traveling  in  a  homogeneous  medium  are
straight lines because a straight line is the shortest distance between two points.

Let  us  illustrate  how  Fermat’s  principle  can  be  used  to  derive  Snell’s  law  of

refraction. Suppose that a light ray is to travel from point P in medium 1 to point Q in
medium 2 (Fig. 35.31), where P and Q are at perpendicular distances a and b, respec-
tively, from the interface. The speed of light is c/n

1

in medium 1 and c/n

2

in medium

2. Using the geometry of Figure 35.31, and assuming that light leaves P at t ! 0, we see
that the time at which the ray arrives at Q is

(35.11)

To obtain the value of x for which t has its minimum value, we take the derivative of t
with respect to x and set the derivative equal to zero:

or

(35.12)

From Figure 35.31,

Substituting these expressions into Equation 35.12, we find that

n

1

sin &

1

!

n

2

sin &

2

which is Snell’s law of refraction.

This situation is equivalent to the problem of deciding where a lifeguard who can

run faster than he can swim should enter the water to help a swimmer in distress. If he
enters  the  water  too  directly  (in  other  words,  at  a  very  small  value  of  &

1

in  Figure

35.31), the distance x is smaller than the value of x that gives the minimum value of the
time interval needed for the guard to move from the starting point on the sand to the
swimmer. As a result, he spends too little time running and too much time swimming.
The  guard’s  optimum  location  for  entering  the  water  so  that  he  can  reach  the
swimmer  in  the  shortest  time  is  at  that  interface  point  that  gives  the  value  of  x that
satisfies Equation 35.12.

It is a simple matter to use a similar procedure to derive the law of reflection (see

Problem 65).

sin &

 

1

!

x

(a

 

2

-

x

 

2

)

1/2

   

sin &

 

2

!

d # x

[b

 

2

-

(d # x)

2

]

1/2

n

1

x

(a

 

2

-

x

 

2

)

1/2

!

n

2

(d # x)

[b

 

2

-

(d # x)

2

]

1/2

 !

n

1

x

c

 

(a

 

2

-

x

 

2

)

1/2

#

n

2

(d # x)

c

 

[b

 

2

-

(d # x)

2

]

1/2

!

0

 !

n

1

c

 (

1

2

) 

2x

(a

 

2

-

x

 

2

)

1/2

-

n

2

c

 (

1

2

) 

2(d # x)(#1)

[b

 

2

-

(d # x)

2

]

1/2

dt

dx

!

n

1

c

 

d

dx

  

√

a

 

2

-

x

 

2

-

n

2

c

 

d

dx

  

√

b

 

2

-

(d # x)

2

t !

r

 

1

v

 

1

-

r

2

v

2

!

√

a

 

2

-

x

 

2

c/n

1

-

√

b

 

2

-

(d # x)

2

c/n

2

Summary

1115

Figure 35.31 Geometry for

deriving Snell’s law of refraction

using Fermat’s principle.

P

n

1

n

2

d

x

b

d _ x

r

1

r

2

Q

a

1

2

θ

1

θ

θ

2

θ

In geometric optics, we use the 

ray approximation, in which a wave travels through a

uniform medium in straight lines in the direction of the rays.

The 

law of reflection states that for a light ray traveling in air and incident on a

smooth surface, the angle of reflection &+

1

equals the angle of incidence &

1

:

&+

1

!

&

1

(35.2)

Take a practice test for

this chapter by clicking on
the Practice Test link at
http://www.pse6.com.

S U M M A R Y

1116

C H A P T E R   3 5 •  The Nature of Light and the Laws of Geometric Optics

1. Light  of  wavelength  ( is  incident  on  a  slit  of  width  d.

Under  what  conditions  is  the  ray  approximation  valid?
Under  what  circumstances  does  the  slit  produce
enough diffraction  to  make  the  ray  approximation
invalid?
Why do astronomers looking at distant galaxies talk about
looking backward in time?

3. A solar eclipse occurs when the Moon passes between the

Earth and the Sun. Use a diagram to show why some areas
of  the  Earth  see  a  total  eclipse,  other  areas  see  a  partial
eclipse, and most areas see no eclipse.

4. The  display  windows  of  some  department  stores  are

slanted  slightly  inward  at  the  bottom.  This  is  to  decrease
the glare from streetlights or the Sun, which would make it
difficult  for  shoppers  to  see  the  display  inside.  Sketch  a
light  ray  reflecting  from  such  a  window  to  show  how  this
technique works.

5. You take a child for walks around the neighborhood. She

loves to listen to echoes from houses when she shouts or

2.

when  you  clap  loudly.  A  house  with  a  large  flat  front
wall can  produce  an  echo  if  you  stand  straight  in  front
of it  and  reasonably  far  away.  Draw  a  bird’s-eye  view  of
the  situation  to  explain  the  production  of  the
echo. Shade in the area where you can stand to hear the
echo.  What  If?  The  child  helps  you  to  discover  that
a house  with  an  L-shaped  floor  plan  can  produce
echoes if  you  are  standing  in  a  wider  range  of
locations. You can be standing at any reasonably distant
location  from  which  you  can  see  the  inside  corner.
Explain the echo in this case and draw another diagram
for  comparison.  What  If? What  if  the  two  wings  of
the house  are  not  perpendicular?  Will  you  and  the
child, standing  close  together,  hear  echoes?  What  If?
What  if  a  rectangular  house  and its  garage  have  a
breezeway  between  them,  so  that  their  perpendicular
walls  do  not  meet  in  an  inside  corner?  Will  this
structure produce  strong  echoes  for  people  in  a
wide range  of  locations?  Explain  your  answers  with
diagrams.

Q U E S T I O N S

Light crossing a boundary as it travels from medium 1 to medium 2 is 

refracted, or

bent. The angle of refraction &

2

is defined by the relationship

(35.3)

The 

index of refraction n of a medium is defined by the ratio

(35.4)

where c is the speed of light in a vacuum and v is the speed of light in the medium. In
general, n varies with wavelength and is given by

(35.7)

where ( is the vacuum wavelength and (

n

is the wavelength in the medium. As light

travels from one medium to another, its frequency remains the same.

Snell’s law of refraction states that

n

1

sin &

1

!

n

2

sin &

2

(35.8)

where n

1

and n

2

are the indices of refraction in the two media. The incident ray, the

reflected  ray,  the  refracted  ray,  and  the  normal  to  the  surface  all  lie  in  the  same
plane.

Total internal reflection occurs when light travels from a medium of high index

of refraction to one of lower index of refraction. The 

critical angle &

c

for which total

internal reflection occurs at an interface is given by

(35.10)

sin &

c

!

n

2

n

1

   

(for n

1

*

n

2

)

n !

(

(

n

n 

" 

c

v

sin &

 

2

sin &

 

1

!

v

2

v

1

!

constant