Physics For Scientists And Engineers 6E - part 277

incident  on  the  boundary  between  medium  1  and  medium  2.  The  frequency  with
which the waves pass an observer at point B in medium 2 must equal the frequency
at which they pass point A. If this were not the case, then energy would be piling up
at  the  boundary.  Because  there  is  no  mechanism  for  this  to  occur,  the  frequency
must be a constant as a light ray passes from one medium into another. Therefore,
because  the  relationship  v ! f ( (Eq.  16.12)  must  be  valid  in  both  media  and
because f

1

!

f

2

!

f, we see that

v

1

!

f (

1

and

v

2

!

f (

2

(35.5)

Because v

1

! v

2

, it follows that (

1

! (

2

.

We  can  obtain  a  relationship  between  index  of  refraction  and  wavelength  by

dividing the first Equation 35.5 by the second and then using Equation 35.4:

(35.6)

This gives

(

1

n

1

!

(

2

n

2

If medium 1 is vacuum, or for all practical purposes air, then n

1

!

1. Hence, it follows

from Equation 35.6 that the index of refraction of any medium can be expressed as the
ratio

(35.7)

where  ( is  the  wavelength  of  light  in  vacuum  and  (

n

is  the  wavelength  of  light  in

the medium whose index of refraction is n. From Equation 35.7, we see that because
n * 1, (

n

)

(

.

We  are  now  in  a  position  to  express  Equation  35.3  in  an  alternative  form.

If we replace  the  v

2

/v

1

term  in  Equation  35.3  with  n

1

/n

2

from  Equation  35.6,  we

obtain

(35.8)

The experimental discovery of this relationship is usually credited to Willebrord Snell
(1591–1627) and is therefore known as 

Snell’s law of refraction. We shall examine

this equation further in Sections 35.6 and 35.9.

n

1

 sin &

 

1

!

n

2

 sin &

 

2

n !

(

(

n

(

1

(

2

!

v

1

v

2

!

c/n

1

c/n

2

!

n

2

n

1

S E C T I O N   3 5 . 5 •  Refraction

1105

Snell’s law of refraction

▲

PITFALL PREVENTION 

35.3 An Inverse

Relationship

The  index  of  refraction  is
inversely proportional to the wave
speed.  As  the  wave  speed  v
decreases, the index of refraction
n increases. Thus, the higher the
index of refraction of a material,
the more it slows down light from
its  speed  in  vacuum.  The  more
the light slows down, the more &

2

differs from &

1

in Equation 35.8.

Quick  Quiz  35.3

Light  passes  from  a  material  with  index  of  refraction

1.3 into  one  with  index  of  refraction  1.2.  Compared  to  the  incident  ray,  the
refracted ray (a) bends toward the normal (b) is undeflected (c) bends away from
the normal.

Quick  Quiz  35.4

As  light  from  the  Sun  enters  the  atmosphere,  it  refracts

due  to  the  small  difference  between  the  speeds  of  light  in  air  and  in  vacuum.  The
optical length of the day is defined as the time interval between the instant when the
top of the Sun is just visibly observed above the horizon to the instant at which the top
of the Sun just disappears below the horizon. The geometric length of the day is defined
as the time interval between the instant when a geometric straight line drawn from the
observer to the top of the Sun just clears the horizon to the instant at which this line
just  dips  below  the  horizon.  Which  is  longer,  (a)  the  optical  length  of  a  day,  or
(b) the geometric length of a day?

1106

C H A P T E R   3 5 •  The Nature of Light and the Laws of Geometric Optics

Figure 35.15 (Example 35.4) Refraction of light by glass.

A light beam passes from medium 1 to medium 2, with the
latter medium being a thick slab of material whose index of
refraction is n

2

(Fig. 35.16a). Show that the emerging beam

is parallel to the incident beam.

Solution First,  let  us  apply  Snell’s  law  of  refraction  to  the
upper surface:

Applying this law to the lower surface gives

(1)

     

sin &

 

2

!

n

1

n

2

 

 sin &

 

1

A beam of light of wavelength 550 nm traveling in air is inci-
dent  on  a  slab  of  transparent  material.  The  incident beam
makes an angle of 40.0° with the normal, and the refracted
beam  makes  an  angle  of  26.0° with the normal.  Find  the
index of refraction of the material.

Solution Using  Snell’s  law  of  refraction  (Eq.  35.8)  with
these data, and taking n

1

!

1.00 for air, we have

n

1

 sin &

 

1

!

n

2

 sin &

 

2

From  Table  35.1,  we  see  that  the  material  could  be  fused
quartz.

1.47

!

0.643
0.438

!

n

2

!

n

1

 sin &

 

1

sin &

 

2

!

(1.00) 

sin 40.0/
sin 26.0/

change  in  direction  is  called  the  angle  of  deviation and  is
given by 3 !

#&

1

#

&

2

# ! 30.0° # 19.2° ! 10.8°.

A  laser  in  a  compact  disc  player  generates  light  that  has  a
wavelength of 780 nm in air.

(A)

Find the speed of this light once it enters the plastic of

a compact disc (n ! 1.55).

Solution We expect to find a value less than 3.00 " 10

8

m/s

because n * 1. We can obtain the speed of light in the plastic
by using Equation 35.4:

v !

c

n

!

3.00 " 10

8

 m/s

1.55

(B)

What is the wavelength of this light in the plastic?

Solution We use Equation 35.7 to calculate the wavelength
in plastic, noting that we are given the wavelength in air to
be ( ! 780 nm:

503 nm

(

n

!

(
n

!

780 nm

1.55

!

1.94 " 10

8

 m/s

v !

A  light  ray  of  wavelength  589 nm  traveling  through  air  is
incident on a smooth, flat slab of crown glass at an angle of
30.0° to  the  normal,  as  sketched  in  Figure  35.15.  Find  the
angle of refraction.

Solution We rearrange Snell’s law of refraction to obtain

From  Table  35.1,  we  find  that  n

1

!

1.00  for  air  and

n

2

!

1.52 for crown glass. Therefore,

Because  this  is  less  than  the  incident  angle  of  30°,  the
refracted  ray  is  bent  toward  the  normal,  as  expected.  Its

19.2/

&

 

2

!

sin

#

1

(0.329) !

sin &

 

2

!

$

1.00
1.52

%

 sin

 

30.0/ ! 0.329

sin &

 

2

!

n

1

n

2

 

 sin &

 

1

Substituting Equation (1) into Equation (2) gives

Therefore, &

3

!

&

1

, and the slab does not alter the direction

of  the  beam.  It  does,  however,  offset  the  beam parallel  to
itself by the distance d shown in Figure 35.16a.

sin &

 

3

!

n

2

n

1

 

 

$

n

1

n

2

 

 

sin &

 

1

%

!

sin &

 

1

(2)

     

sin &

 

3

!

n

2

n

1

 

 sin &

 

2

Example 35.3 An Index of Refraction Measurement

Example 35.5 Laser Light in a Compact Disc

Example 35.6 Light Passing Through a Slab

Interactive

Example 35.4 Angle of Refraction for Glass

Glass

Air

Normal

Incident

ray

Refracted

ray

30.0

°

θ

2

S E C T I O N   3 5 . 6 •  Huygens’s Principle

1107

Figure 35.16 (Example 35.6) (a) When light passes through a flat slab of material, the

emerging beam is parallel to the incident beam, and therefore 

&

1

!

&

3

. The dashed

line drawn parallel to the ray coming out the bottom of the slab represents the path the

light would take if the slab were not there. (b) A magnification of the area of the light

path inside the slab.

Explore refraction through slabs of various thicknesses at the Interactive Worked Example link at  http://www.pse6.com.

What  If?

What  if  the  thickness t  of  the  slab  is  doubled?

Does the offset distance d also double?

Answer Consider the magnification of the area of the light
path within the slab in Figure 35.16b. The distance a is the
hypotenuse  of  two  right  triangles.  From  the  gold  triangle,
we see

and from the blue triangle,

a !

t

cos &

 

2

d ! a sin . ! a sin(&

1

#

&

2

)

Combining these equations, we have

For a given incident angle &

1

, the refracted angle &

2

is deter-

mined  solely  by  the  index  of  refraction,  so  the  offset
distance  d is  proportional  to  t.  If  the  thickness  doubles,  so
does the offset distance.

d !

t

cos &

 

2

 sin(&

 

1

#

&

 

2

)

35.6 Huygens’s Principle

In this section, we develop the laws of reflection and refraction by using a geometric
method proposed by Huygens in 1678. 

Huygens’s principle is a geometric construc-

tion for using knowledge of an earlier wave front to determine the position of a new
wave front at some instant. In Huygens’s construction,

all  points  on  a  given  wave  front  are  taken  as  point  sources  for  the  production  of
spherical  secondary  waves,  called  wavelets,  which  propagate  outward  through
a medium with speeds characteristic of waves in that medium. After some time interval
has passed, the new position of the wave front is the surface tangent to the wavelets.

First, consider a plane wave moving through free space, as shown in Figure 35.17a.

At t ! 0, the wave front is indicated by the plane labeled AA+. In Huygens’s construc-
tion, each point on this wave front is considered a point source. For clarity, only three
points on AA+ are shown. With these points as sources for the wavelets, we draw circles,
each of radius c %t, where c is the speed of light in vacuum and %t is some time interval
during which the wave propagates. The surface drawn tangent to these wavelets is the
plane BB+, which is the wave front at a later time, and is parallel to AA+. In a similar
manner, Figure 35.17b shows Huygens’s construction for a spherical wave.

▲

PITFALL PREVENTION 

35.4 Of What Use Is

Huygens’s Principle?

At  this  point,  the  importance  of
Huygens’s  principle  may  not  be
evident.  Predicting  the  position
of  a  future  wave  front  may  not
seem to be very critical. However,
we will use Huygens’s principle in
later  chapters  to  explain  addi-
tional wave phenomena for light.

d

2

θ

θ

1

θ

t

a

γ

n

2

n

1

n

1

θ

1

θ

2

θ

3

θ

(b)

(a)

d

2

θ

1108

C H A P T E R   3 5 •  The Nature of Light and the Laws of Geometric Optics

(a)

(b)

Old

wavefront

New

wavefront

c

∆t

A

B

Old

wavefront

New

wavefront

A

′

B 

′

c

∆t

Figure 35.17 Huygens’s construction for (a) a plane wave propagating to the right and

(b) a spherical wave propagating to the right.

Figure 35.18 (a) Huygens’s construction for proving the law of reflection. At the

instant that ray 1 strikes the surface, it sends out a Huygens wavelet from A and ray 2

sends out a Huygens wavelet from B. We choose a radius of the wavelet to be c %t,

where %t is the time interval for ray 2 to travel from B to C. (b) Triangle ADC is

congruent to triangle ABC.

Christian Huygens

Dutch Physicist and
Astronomer (1629–1695)

Huygens is best known for his

contributions to the fields of

optics and dynamics. To

Huygens, light was a type of

vibratory motion, spreading out

and producing the sensation of

light when impinging on the

eye. On the basis of this theory,

he deduced the laws of

reflection and refraction and

explained the phenomenon of

double refraction. (Courtesy of
Rijksmuseum voor de
Geschiedenis der
Natuurwetenschappen and Niels
Bohr Library.)

Huygens’s Principle Applied to Reflection and Refraction

The laws of reflection and refraction were stated earlier in this chapter without proof.
We now derive these laws, using Huygens’s principle.

For the law of reflection, refer to Figure 35.18a. The line AB represents a wave front

of the incident light just as ray 1 strikes the surface. At this instant, the wave at A sends
out a Huygens wavelet (the circular arc centered on A) toward D. At the same time, the
wave at B emits a Huygens wavelet (the circular arc centered on B) toward C. Figure
35.18a shows these wavelets after a time interval %t, after which ray 2 strikes the surface.
Because both rays 1 and 2 move with the same speed, we must have AD ! BC ! c %t.

The  remainder  of  our  analysis  depends  on  geometry,  as  summarized  in  Figure

35.18b, in which we isolate the triangles ABC and ADC. Note that these two triangles
are  congruent  because  they  have  the  same  hypotenuse  AC and  because  AD ! BC.
From Figure 35.18b, we have

where,  comparing  Figures  35.18a  and  35.18b,  we  see  that  . ! 90° # &

1

and

. + !

90° # &+

1

. Because AD ! BC, we have

cos . ! cos .+

cos . !

BC
AC

   

and

   

cos .+ !

AD
AC

γ

′

γ

A

C

B

D

(b)

(a)

A

C

B

D

1

′

θ

1

θ

1

2