Physics For Scientists And Engineers 6E - part 261

33.4 Capacitors in an AC Circuit

Figure  33.9  shows  an  AC  circuit  consisting  of  a  capacitor  connected  across  the
terminals  of  an  AC  source.  Kirchhoff’s  loop  rule  applied  to  this  circuit  gives
!

v $ !v

C

"

0,  so  that  the  magnitude  of  the  source  voltage  is  equal  to  the  magni-

tude of the voltage across the capacitor:

!

v " !v

C

" !

V

max

sin #t

(33.13)

where !v

C

is the instantaneous voltage across the capacitor. We know from the defini-

tion of capacitance that C " q/!v

C

; hence, Equation 33.13 gives

q " C !V

max

sin #t

(33.14)

where  q is  the  instantaneous  charge  on  the  capacitor.  Because  i " dq/dt, differ-
entiating Equation 33.14 with respect to time gives the instantaneous current in the
circuit:

(33.15)

Using the trigonometric identity

we can express Equation 33.15 in the alternative form

(33.16)

Comparing  this  expression  with  Equation  33.13,  we  see  that  the  current  is
%

/2 rad " 90° out  of  phase  with  the  voltage  across  the  capacitor.  A  plot  of

current and  voltage  versus  time  (Fig.  33.10a)  shows  that  the  current  reaches  its
maximum value one quarter of a cycle sooner than the voltage reaches its maximum
value.

i

C

"

#

C 

∆V

max

  

sin 

"

#

t $

%

2

#

cos #t " sin 

"

#

t $

%

2

#

i

C

"

dq

dt

"

#

C 

∆V

max

 cos #t

S E C T I O N   3 3 . 4 •  Capacitors in an AC Circuit

1041

C

∆v

C

∆v = ∆V

max

 sin 

   t

ω

Active Figure 33.9 A circuit

consisting of a capacitor of

capacitance C connected to an AC

source.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the capacitance, the

frequency, and the maximum

voltage. The results can be

studied with the graph and

phasor diagram in Figure 33.10.

Current in a capacitor

(a)

a

d

f

b

c

e

i

C

t

∆v

C 

, i

C

I

max

∆V

max

∆v

C

T

∆v

C

∆V

max

i

C

I

max

ω

t

ω

(b)

Active Figure 33.10 (a) Plots of the instantaneous current i

C

and instantaneous

voltage !v

C

across a capacitor as functions of time. The voltage lags behind the current

by 90°. (b) Phasor diagram for the capacitive circuit, showing that the current leads the

voltage by 90°.

At the Active Figures link at http://www.pse6.com, you can adjust the

capacitance, the frequency, and the maximum voltage of the circuit in Figure

33.9. The results can be studied with the graph and phasor diagram in this

figure.

Looking  more  closely,  consider  a  point  such  as  b where  the  current  is  zero.  This

occurs when the capacitor has just reached its maximum charge, so the voltage across
the  capacitor  is  a  maximum  (point  d).  At  points  such  as  a and  e,  the  current  is  a
maximum, which occurs at those instants at which the charge on the capacitor has just
gone to zero and it begins to charge up with the opposite polarity. Because the charge
is zero, the voltage across the capacitor is zero (points c and f ). Thus, the current and
voltage are out of phase.

As  with  inductors,  we  can  represent  the  current  and  voltage  for  a  capacitor  on  a

phasor diagram. The phasor diagram in Figure 33.10b shows that

1042

C H A P T E R   3 3 •  Alternating Current Circuits

for  a  sinusoidally  applied  voltage,  the  current  always  leads  the  voltage  across  a
capacitor by 90°.

From Equation 33.15, we see that the current in the circuit reaches its maximum

value when cos #

t " 1:

(33.17)

As in the case with inductors, this looks like Equation 27.8, so that the denominator
must play the role of resistance, with units of ohms. We give the combination 1/#C the
symbol  X

C

,  and  because  this  function  varies  with  frequency,  we  define  it  as  the

capacitive reactance:

(33.18)

and we can write Equation 33.17 as

(33.19)

The rms current is given by an expression similar to Equation 33.19, with I

max

replaced

by I

rms

and !V

max

replaced by !V

rms

.

Combining  Equations  33.13  and  33.19,  we  can  express  the  instantaneous  voltage

across the capacitor as

!

v

C

" !

V

max

sin #t " I

max

X

C

sin #t

(33.20)

Equations  33.18  and  33.19  indicate  that  as  the  frequency  of  the  voltage  source
increases,  the  capacitive  reactance  decreases  and  therefore  the  maximum
current increases.  Again,  note  that  the  frequency  of  the  current  is  determined
by the  frequency  of  the  voltage  source  driving  the  circuit.  As  the  frequency
approaches  zero,  the  capacitive  reactance  approaches  infinity,  and  hence  the
current  approaches  zero.  This  makes  sense  because  the  circuit  approaches  direct
current  conditions  as  # approaches  zero,  and  the  capacitor  represents  an  open
circuit.

I

 

max

"

∆V

 

max

X

C

X

C 

 

$ 

 

1

#

C

I

 

max

"

#

C 

∆V

 

max

"

∆V

 

max

(1/#C

 

)

Quick Quiz 33.5

Consider the AC circuit in Figure 33.11. The frequency of

the  AC  source  is  adjusted  while  its  voltage  amplitude  is  held  constant.  The  lightbulb
will glow the brightest at (a) high frequencies (b) low frequencies (c) The brightness
will be same at all frequencies.

Capacitive reactance

Maximum current in a capacitor

Voltage across a capacitor

Figure 33.11 (Quick Quiz 33.5)

C

R

S E C T I O N   3 3 . 5 •  The RLC Series Circuit

1043

Figure 33.12 (Quick Quiz 33.6)

Quick Quiz 33.6

Consider the AC circuit in Figure 33.12. The frequency of

the  AC  source  is  adjusted  while  its  voltage  amplitude  is  held  constant.  The  lightbulb
will glow the brightest at (a) high frequencies (b) low frequencies (c) The brightness
will be same at all frequencies.

L

R

C

An  8.00-,F  capacitor  is  connected  to  the  terminals  of  a
60.0-Hz  AC  source  whose  rms  voltage  is  150 V.  Find  the
capacitive reactance and the rms current in the circuit.

Solution Using  Equation  33.18  and  the  fact  that  # "
2%f " 377 s

*

1

gives

Hence, from a modified Equation 33.19, the rms current is

What  If?

What if the frequency is doubled? What happens

to the rms current in the circuit?

0.452 A

I

 

rms

"

!

V

 

 

rms

X

C

"

150 V

332 (

"

332 (

X

C

"

1

#

C

"

1

(377 s

*

1

)(8.00 + 10

*

6

 F)

"

Example 33.3 A Purely Capacitive AC Circuit

Answer If the frequency increases, the capacitive reactance
decreases—just  the  opposite  as  in  the  case  of  an  inductor.
The  decrease  in  capacitive  reactance  results  in  an  increase
in the current.

Let us calculate the new capacitive reactance:

The new current is

I

 

rms

"

150 V

166 (

"

0.904 A

X

C

"

1

#

C

"

1

2(377 s

*

1

)(8.00 + 10

*

6

 F)

"

166 (

33.5 The RLC Series Circuit

Figure  33.13a  shows  a  circuit  that  contains  a  resistor,  an  inductor,  and  a  capacitor
connected  in  series  across  an  alternating  voltage  source.  As  before,  we  assume  that
the applied  voltage  varies  sinusoidally  with  time.  It  is  convenient  to  assume  that  the
instantaneous applied voltage is given by

!

v " !V

max

sin #t

while the current varies as

i " I

max

sin(#t * -)

where - is some 

phase angle between the current and the applied voltage. Based on

our  discussions  of  phase  in  Sections  33.3  and  33.4,  we  expect  that  the  current  will
generally not be in phase with the voltage in an RLC circuit. Our aim is to determine -
and  I

max

.  Figure  33.13b  shows  the  voltage  versus  time  across  each  element  in  the

circuit and their phase relationships.

First,  we  note  that  because  the  elements  are  in  series,  the  current  everywhere

in the  circuit  must  be  the  same  at  any  instant.  That  is, 

the  current  at  all  points

in a  series  AC  circuit  has  the  same  amplitude  and  phase. Based  on  the
preceding  sections,  we  know  that  the  voltage  across  each  element  has  a  different
amplitude  and  phase.  In  particular,  the  voltage  across  the  resistor  is  in  phase
with the  current,  the  voltage  across  the  inductor  leads  the  current  by  90°,  and
the voltage  across  the  capacitor  lags  behind  the  current  by  90°.  Using  these
phase relationships,  we  can  express  the  instantaneous  voltages  across  the  three
circuit elements as

!

v

R

"

I

max

R sin #t " !V

R

sin #t

(33.21)

(33.22)

(33.23)

where !V

R

, !V

L

, and !V

C

are the maximum voltage values across the elements:

!

V

R

"

I

max

R

!

V

L

"

I

max

X

L

!

V

C

"

I

max

X

C

At this point, we could proceed by noting that the instantaneous voltage !v across the
three elements equals the sum

!

v " !v

R

$ !

v

L

$ !

v

C

Although  this  analytical  approach  is  correct,  it  is  simpler  to  obtain  the  sum

by examining  the  phasor  diagram,  shown  in  Figure  33.14.  Because  the  current
at any instant is the same in all elements, we combine the three phasor pairs shown
in  Figure 33.14  to  obtain  Figure  33.15a,  in  which  a  single  phasor  I

max

is  used  to

represent the current in each element. Because phasors are rotating vectors, we can
combine  the  three  parts  of  Figure  33.14  by  using  vector  addition.  To  obtain  the
vector  sum  of  the three  voltage  phasors  in  Figure  33.15a,  we  redraw  the  phasor
diagram as in Figure 33.15b. From this diagram, we see that the vector sum of the
voltage  amplitudes  !V

R

,  !V

L

,  and  !V

C

equals  a  phasor  whose  length  is  the

maximum  applied  voltage  !V

max

,  and  which  makes  an  angle  - with  the  current

phasor  I

max

.  The  voltage  phasors  !V

L

and  !V

C

are  in  opposite  directions

along the same  line,  so  we  can  construct  the  difference  phasor  !V

L

* !

V

C

,  which

is perpendicular  to  the  phasor  !V

R

.  From  either  one  of  the  right  triangles

∆v

C

"

I

 

max 

X

C

   

sin 

"

#

t *

%

2

#

" *

∆V

C

 

 

cos #t

∆v

L

"

I

 

max

 

X

L

 sin 

"

#

t $

%

2

#

"

∆V

L

 cos #t

1044

C H A P T E R   3 3 •  Alternating Current Circuits

(b)

∆v

R

∆v

L

∆v

C

t

t

t

∆v

R

R

L

C

∆v

L

∆v

C

(a)

Active Figure 33.13 (a) A series

circuit consisting of a resistor,

an inductor, and a capacitor

connected to an AC source.

(b) Phase relationships for

instantaneous voltages in the series

RLC circuit. 

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the resistance, the

inductance, and the

capacitance. The results can

be studied with the graph in

this figure and the phasor

diagram in Figure 33.15.

90

°

90

°

ω

ω

ω

∆V

R

I

max

I

max

I

max

∆V

L

∆V

C

(a) Resistor

(b) Inductor

(c) Capacitor

Figure 33.14 Phase relationships between the voltage and current phasors for

(a) a resistor, (b) an inductor, and (c) a capacitor connected in series.