Physics For Scientists And Engineers 6E - part 258

Problems

1029

voltage across the inductor as a function of time, (b) the
voltage  across  the  capacitor  as  a  function  of  time,  and
(c) the time when the energy stored in the capacitor first
exceeds that in the inductor.

62.

An  inductor  having  inductance  L and  a  capacitor  having
capacitance C are connected in series. The current in the
circuit  increases  linearly  in  time  as  described  by  I " Kt,
where K is a constant. The capacitor is initially uncharged.
Determine  (a)  the  voltage  across  the  inductor  as  a
function of time, (b) the voltage across the capacitor as a
function of time, and (c) the time when the energy stored
in the capacitor first exceeds that in the inductor.

63.

A  capacitor  in  a  series  LC circuit  has  an  initial  charge  Q
and is being discharged. Find, in terms of L and C, the flux
through each of the N turns in the coil, when the charge
on the capacitor is Q /2.

64.

The toroid in Figure P32.64 consists of N turns and has a
rectangular  cross  section.  Its  inner  and  outer  radii  are  a
and  b,  respectively.  (a)  Show  that  the  inductance  of  the
toroid is

(b)  Using  this  result,  compute  the  self-inductance  of  a
500-turn  toroid  for  which  a " 10.0 cm,  b " 12.0 cm,  and
h " 1.00 cm. (c) What If? In Problem 12, an approximate
expression  for  the  inductance  of  a  toroid  with  R -- r
was derived. To get a feel for the accuracy of that result,
use the expression in Problem 12 to compute the approxi-
mate  inductance  of  the  toroid  described  in  part 
(b). Compare the result with the answer to part (b).

L "

'

0

N

2

h

2)

 ln 

b

a

be used for connections. (a) How many turns of this wire
can  be  wrapped  around  the  rod?  For  an  accurate  answer
you should add the diameter of the wire to the diameter of
the  rod  in  determining  the  circumference  of  each  turn.
Also note that the wire spirals diagonally along the surface
of  the  rod.  (b)  What  is  the  resistance  of  this  inductor?
(c) What is its inductance?

67.

A  wire  of  nonmagnetic  material,  with  radius  R,  carries
current  uniformly  distributed  over  its  cross  section.  The
total  current  carried  by  the  wire  is  I.  Show  that  the  mag-
netic energy per unit length inside the wire is '

0

I

2

/16).

68.

An 820-turn wire coil of resistance 24.0 . is placed around
a  12 500-turn  solenoid  7.00 cm  long,  as  shown  in  Figure
P32.68. Both coil and solenoid have cross-sectional areas of
1.00 ( 10

#

4

m

2

.  (a)  How  long  does  it  take  the  solenoid

current to reach 63.2% of its maximum value? Determine
(b) the average back emf caused by the self-inductance of
the solenoid during this time interval, (c) the average rate
of  change  in  magnetic  flux  through  the  coil  during  this
time  interval,  and  (d)  the  magnitude  of  the  average
induced current in the coil.

h

a

b

Figure P32.64

12 500

 turns

14.0 

Ω

60.0 V

S

+
–

24.0 

Ω

820 turns

Figure P32.68

R

1

S

R

2

L

ε

Figure P32.69 Problems 69 and 70.

65.

(a) A flat circular coil does not really produce a uniform
magnetic field in the area it encloses, but estimate the self-
inductance  of  a  flat,  compact  circular  coil,  with  radius  R
and N turns, by assuming that the field at its center is uni-
form  over  its  area.  (b)  A  circuit  on  a  laboratory  table
consists of a 1.5-volt battery, a 270-. resistor, a switch, and
three  30-cm-long  patch  cords  connecting  them.  Suppose
the  circuit  is  arranged  to  be  circular.  Think  of  it  as  a flat
coil with one turn. Compute the order of magnitude of its
self-inductance  and  (c)  of  the  time  constant  describing
how fast the current increases when you close the switch.

66.

A soft iron rod ('

m

"

800'

0

) is used as the core of a sole-

noid.  The  rod  has  a  diameter  of  24.0 mm  and  is  10.0 cm
long. A 10.0-m piece of 22-gauge copper wire (diameter "
0.644 mm) is wrapped around the rod in a single uniform
layer, except for a 10.0-cm length at each end, which is to

At  t " 0,  the  open  switch  in  Figure  P32.69  is  closed.  By
using Kirchhoff’s rules for the instantaneous currents and
voltages  in  this  two-loop  circuit,  show  that  the  current  in
the inductor at time t - 0 is

where R 3 " R

1

R

2

/(R

1

,

R

2

).

I (t ) "

!

R

1

 [1 # e

#

(R 3/L)t

 

]

69.

1030

C H A P T E R   3 2 •  Inductance

70.

In  Figure  P32.69  take 

!

"

6.00 V,  R

1

"

5.00 .,  and

R

2

"

1.00 .. The inductor has negligible resistance. When

the  switch  is  opened  after  having  been  closed  for  a
long time, the current in the inductor drops to 0.250 A in
0.150 s. What is the inductance of the inductor?
In Figure P32.71, the switch is closed for t * 0, and steady-
state  conditions  are  established.  The  switch  is  opened  at
t " 0.  (a)  Find  the  initial  voltage 

!

0

across  L just  after

t " 0. Which end of the coil is at the higher potential: a or
b?  (b)  Make  freehand  graphs  of  the  currents  in  R

1

and

in R

2

as a function of time, treating the steady-state direc-

tions  as  positive.  Show  values  before  and  after  t " 0.
(c) How long after t " 0 does the current in R

2

have the

value 2.00 mA?

71.

74.

An  air-core  solenoid  0.500 m  in  length  contains  1 000
turns and has a cross-sectional area of 1.00 cm

2

. (a) Ignor-

ing  end  effects,  find  the  self-inductance.  (b)  A  secondary
winding  wrapped  around  the  center  of  the  solenoid  has
100  turns.  What  is  the  mutual  inductance?  (c)  The  sec-
ondary  winding  carries  a  constant  current  of  1.00 A,  and
the  solenoid  is  connected  to  a  load  of  1.00 k..  The
constant  current  is  suddenly  stopped.  How  much  charge
flows through the load resistor?

75.

The lead-in wires from a television antenna are often con-
structed  in  the  form  of  two  parallel  wires  (Fig.  P32.75).
(a) Why  does  this  configuration  of  conductors  have  an
inductance?  (b)  What  constitutes  the  flux  loop  for  this
configuration?  (c)  Ignoring  any  magnetic  flux  inside  the
wires, show that the inductance of a length x of this type of
lead-in is

where a is the radius of the wires and w is their center-to-
center separation.

L "

'

0

x

)

  ln 

"

w # a

a

#

S

6.00 k

Ω

ε

0.400 H

L

18.0 V

2.00 k

Ω

R

1

R

2

a

b

Figure P32.71

L

R

C

S

0

ε

Figure P32.72

7.50 

Ω

450 mH

10.0 V

12.0 V

Armature

R

Figure P32.73

TV set

I

I

TV antenna

Figure P32.75

72.

The open switch in Figure P32.72 is closed at t " 0. Before
the  switch  is  closed,  the  capacitor  is  uncharged,  and  all
currents  are  zero.  Determine  the  currents  in L,  C,  and  R
and the potential differences across L, C, and R (a) at the
instant  after  the  switch  is  closed,  and  (b)  long  after  it  is
closed.

To  prevent  damage  from  arcing  in  an  electric  motor,  a
discharge  resistor  is  sometimes  placed  in  parallel  with  the
armature.  If  the  motor  is  suddenly  unplugged  while
running, this resistor limits the voltage that appears across
the  armature  coils.  Consider  a  12.0-V  DC  motor  with  an
armature that has a resistance of 7.50 . and an inductance
of  450 mH.  Assume  the  back  emf  in  the  armature  coils  is
10.0 V  when  the  motor  is  running  at  normal  speed.  (The
equivalent  circuit  for  the  armature  is  shown  in  Figure
P32.73.)  Calculate  the  maximum  resistance  R that  limits
the voltage across the armature to 80.0 V when the motor is
unplugged.

73.

76.

The resistance of a superconductor. In an experiment carried
out by S. C. Collins between 1955 and 1958, a current was
maintained  in  a  superconducting  lead  ring  for  2.50 yr
with  no  observed  loss.  If  the  inductance  of  the  ring  was
3.14 ( 10

#

8

H, and the sensitivity of the experiment was

Review problems. Problems 76 through 79 apply ideas
from this chapter and earlier chapters to some properties
of superconductors, which were introduced in Section
27.5.

Problems

1031

1  part  in  10

9

,  what  was  the  maximum  resistance  of  the

ring?  (Suggestion: Treat  this  as  a  decaying  current  in  an
RL circuit, and recall that e

#

x

( 1 # x for small x.)

77. A  novel  method  of  storing  energy  has  been  proposed.  A

huge  underground  superconducting  coil,  1.00 km  in
diameter, would be fabricated. It would carry a maximum
current  of  50.0 kA  through  each  winding  of  a  150-turn
Nb

3

Sn  solenoid.  (a)  If  the  inductance  of  this  huge  coil

were  50.0 H,  what  would  be  the  total  energy  stored?
(b) What would be the compressive force per meter length
acting between two adjacent windings 0.250 m apart?

78.

Superconducting  power  transmission. The  use  of  superconduc-
tors  has  been  proposed  for  power  transmission  lines.  A
single coaxial cable (Fig. P32.78) could carry 1.00 ( 10

3

MW

(the  output  of  a  large  power  plant)  at  200 kV,  DC,  over  a
distance  of  1 000 km  without  loss.  An  inner  wire  of  radius
2.00 cm, made from the superconductor Nb

3

Sn, carries the

current I in one direction. A surrounding superconducting
cylinder, of radius 5.00 cm, would carry the return current I.
In such a system, what is the magnetic field (a) at the surface
of the inner conductor and (b) at the inner surface of the
outer conductor? (c) How much energy would be stored in
the  space  between  the  conductors  in  a  1 000-km  supercon-
ducting line? (d) What is the pressure exerted on the outer
conductor?

field,  and  note  that  the  units  J/m

3

of  energy  density  are

the same as the units N/m

2

of pressure. (c) Now a super-

conducting  bar  2.20 cm  in  diameter  is  inserted  partway
into the solenoid. Its upper end is far outside the solenoid,
where  the  magnetic  field  is  negligible.  The  lower  end  of
the bar is deep inside the solenoid. Identify the direction
required for the current on the curved surface of the bar,
so that the total magnetic field is zero within the bar. The
field  created  by  the  supercurrents  is  sketched  in  Figure
P32.79b, and the total field is sketched in Figure P32.79c.
(d) The field of the solenoid exerts a force on the current
in the superconductor. Identify the direction of the force
on  the  bar.  (e)  Calculate  the  magnitude  of  the  force  by
multiplying the energy density of the solenoid field times
the area of the bottom end of the superconducting bar.

Answers to Quick Quizzes
32.1 (c), (f). For the constant current in (a) and (b), there is

no potential difference across the resistanceless inductor.
In  (c),  if  the  current  increases,  the  emf  induced  in  the
inductor is in the opposite direction, from b to a, making
a higher in potential than b. Similarly, in (f), the decreas-
ing  current  induces  an  emf  in  the  same  direction  as  the
current, from b to a, again making the potential higher at
a than b.

32.2 (b),  (d).  As  the  switch  is  closed,  there  is  no  current,  so

there  is  no  voltage  across  the  resistor.  After  a  long  time,
the current has reached its final value, and the inductor
has no further effect on the circuit.

32.3 (b).  When  the  iron  rod  is  inserted  into  the  solenoid,

the inductance  of  the  coil  increases.  As  a  result,  more
potential  difference  appears  across  the  coil  than  before.

I

a = 2.00 cm

b = 5.00 cm

a

I

b

Figure P32.78

(a)

(b)

(c)

B

0

B

tot

I

Figure P32.79

79.

The Meissner effect. Compare this problem with Problem 65 in
Chapter 26, on the force attracting a perfect dielectric into a
strong  electric  field.  A  fundamental  property  of  a  Type  I
superconducting  material  is  perfect  diamagnetism,  or  demon-
stration of the Meissner effect, illustrated in Figure 30.35, and
described  as  follows.  The  superconducting  material  has

B " 0  everywhere  inside  it.  If  a  sample  of  the  material  is
placed into an externally produced magnetic field, or if it is
cooled to become superconducting while it is in a magnetic
field, electric currents appear on the surface of the sample.
The  currents  have  precisely  the  strength  and  orientation
required  to  make  the  total  magnetic  field  zero  throughout
the interior of the sample. The following problem will help
you to understand the magnetic force that can then act on
the superconducting sample.

A vertical solenoid with a length of 120 cm and a diam-

eter of 2.50 cm consists of 1 400 turns of copper wire carry-
ing  a  counterclockwise  current  of  2.00 A,  as  in  Figure
P32.79a. (a) Find the magnetic field in the vacuum inside
the solenoid. (b) Find the energy density of the magnetic

1032

C H A P T E R   3 2 •  Inductance

Consequently, less potential difference appears across the
bulb, so the bulb is dimmer.

32.4 (b). Figure 32.10 shows that circuit B has the greater time

constant  because  in  this  circuit  it  takes  longer  for  the
current to reach its maximum value and then longer for
this current to decrease to zero after the switch is thrown
to position b. Equation 32.8 indicates that, for equal resis-
tances  R

A

and  R

B

,  the  condition  +

B

-

+

A

means  that 

L

A

*

L

B

.

32.5 (a), (d). Because the energy density depends on the mag-

nitude of the magnetic field, to increase the energy den-
sity, we must increase the magnetic field. For a solenoid,
B " '

0

nI, where n is the number of turns per unit length.

In  (a),  we  increase  n to  increase  the  magnetic  field.  In

(b),  the  change  in  cross-sectional  area  has  no  effect  on
the magnetic field. In (c), increasing the length but keep-
ing n fixed has no effect on the magnetic field. Increasing
the  current  in  (d)  increases  the  magnetic  field  in  the
solenoid.

32.6 (a). M

12

increases because the magnetic flux through coil

2 increases.

32.7 (b). If the current is at its maximum value, the charge on

the capacitor is zero.

32.8 (c). If the current is zero, this is the instant at which the

capacitor  is  fully  charged  and  the  current  is  about  to
reverse direction.