Physics For Scientists And Engineers 6E - part 257

Problems

1025

Section 32.1 Self-Inductance

1. A coil has an inductance of 3.00 mH, and the current in it

changes from 0.200 A to 1.50 A in a time of 0.200 s. Find
the  magnitude  of  the  average  induced  emf  in  the  coil
during this time.

2. A  coiled  telephone  cord  forms  a  spiral  with  70  turns,  a

diameter of 1.30 cm, and an unstretched length of 60.0 cm.
Determine  the  self-inductance  of  one  conductor  in  the
unstretched cord.
A  2.00-H  inductor  carries  a  steady  current  of  0.500 A.
When  the  switch  in  the  circuit  is  opened,  the  current  is
effectively zero after 10.0 ms. What is the average induced
emf in the inductor during this time?

4. Calculate the magnetic flux through the area enclosed by

a  300-turn,  7.20-mH  coil  when  the  current  in  the  coil  is
10.0 mA.

A 10.0-mH inductor carries a current I " I

max

sin 1t,

with I

max

"

5.00 A and 1/2) " 60.0 Hz. What is the back

emf as a function of time?

6.

An  emf  of  24.0 mV  is  induced  in  a  500-turn  coil  at  an
instant when the current is 4.00 A and is changing at the
rate  of  10.0 A/s.  What  is  the  magnetic  flux  through  each
turn of the coil?
An inductor in the form of a solenoid contains 420 turns, is
16.0 cm in length, and has a cross-sectional area of 3.00 cm

2

.

What  uniform  rate  of  decrease  of  current  through  the
inductor induces an emf of 175 'V?

8.

The  current  in  a  90.0-mH  inductor  changes  with  time  as
I " 1.00t

2

#

6.00t (in SI units). Find the magnitude of the

induced  emf  at  (a)  t " 1.00 s  and  (b)  t " 4.00 s.  (c)  At
what time is the emf zero?

9. A 40.0-mA current is carried by a uniformly wound air-core

solenoid with 450 turns, a 15.0-mm diameter, and 12.0-cm
length.  Compute  (a)  the  magnetic  field  inside  the  sole-
noid, (b) the magnetic flux through each turn, and (c) the
inductance  of  the  solenoid.  (d)  What  If? If  the  current
were different, which of these quantities would change?

10. A  solenoid  has  120  turns  uniformly  wrapped  around  a

wooden  core,  which  has  a  diameter  of  10.0 mm  and  a
length of 9.00 cm. (a) Calculate the inductance of the sole-
noid. (b) What If? The wooden core is replaced with a soft
iron  rod  that  has  the  same  dimensions,  but  a  magnetic 
permeability '

m

"

800'

0

. What is the new inductance?

11.

A  piece  of  copper  wire  with  thin  insulation,  200 m  long
and 1.00 mm in diameter, is wound onto a plastic tube to
form a long solenoid. This coil has a circular cross section
and  consists  of  tightly  wound  turns  in  one  layer.  If  the
current  in  the  solenoid  drops  linearly  from  1.80 A  to
zero in  0.120  seconds,  an  emf  of  80.0 mV  is  induced  in
the  coil.  What  is  the  length  of  the  solenoid,  measured
along its axis?

7.

5.

3.

12.

A toroid has a major radius R and a minor radius r, and is
tightly  wound  with  N turns  of  wire,  as  shown  in  Figure
P32.12.  If  R -- r,  the  magnetic  field  in  the  region
enclosed  by  the  wire  of  the  torus,  of  cross-sectional  area
A " )r

2

, is essentially the same as the magnetic field of a

solenoid that has been bent into a large circle of radius R.
Modeling the field as the uniform field of a long solenoid,
show  that  the  self-inductance  of  such  a  toroid  is  approxi-
mately

(An exact expression of the inductance of a toroid with a
rectangular cross section is derived in Problem 64.)

L

(

'

0

N

2

A

2)R

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

R

Area

A

r

Figure P32.12

13.

A self-induced emf in a solenoid of inductance L changes
in  time  as 

!

"

!

0

e

#

kt

.  Find  the  total  charge  that  passes

through the solenoid, assuming the charge is finite.

Section 32.2 RL Circuits
14. Calculate the resistance in an RL circuit in which L " 2.50 H

and  the  current  increases  to  90.0%  of  its  final  value  in 
3.00 s.
A 12.0-V battery is connected into a series circuit contain-
ing a 10.0-. resistor and a 2.00-H inductor. How long will
it take the current to reach (a) 50.0% and (b) 90.0% of its
final value?

16.

Show  that  I " I

0

e

#

t/+

is  a  solution  of  the  differential

equation

where + " L/R and I

0

is the current at t " 0.

17.

Consider  the  circuit  in  Figure  P32.17,  taking 

!

"

6.00 V,

L " 8.00 mH,  and  R " 4.00 ..  (a)  What  is  the  inductive
time  constant  of  the  circuit?  (b)  Calculate  the  current  in

IR , L  

dI

dt

"

0

15.

1026

C H A P T E R   3 2 •  Inductance

the circuit 250 's after the switch is closed. (c) What is the
value of the final steady-state current? (d) How long does
it take the current to reach 80.0% of its maximum value?

18.

In  the  circuit  shown  in  Figure  P32.17,  let  L " 7.00 H,
R " 9.00 ., and 

!

"

120 V. What is the self-induced emf

0.200 s after the switch is closed?

For  the  RL circuit  shown  in  Figure  P32.17,  let  the

inductance  be  3.00 H,  the  resistance  8.00 .,  and  the
battery emf 36.0 V. (a) Calculate the ratio of the potential
difference  across  the  resistor  to  that  across  the  inductor
when the current is 2.00 A. (b) Calculate the voltage across
the inductor when the current is 4.50 A.

20. A 12.0-V battery is connected in series with a resistor and

an inductor. The circuit has a time constant of 500 's, and
the maximum current is 200 mA. What is the value of the
inductance?

21.

An inductor that has an inductance of 15.0 H and a resis-
tance of 30.0 . is connected across a 100-V battery. What is
the rate of increase of the current (a) at t " 0 and (b) at
t " 1.50 s?

22.

When the switch in Figure P32.17 is closed, the current takes
3.00 ms to reach 98.0% of its final value. If R " 10.0 ., what
is the inductance?

23.

The  switch  in  Figure  P32.23  is  open  for  t * 0  and  then
closed at time t " 0. Find the current in the inductor and
the current in the switch as functions of time thereafter.

19.

26.

One application of an RL circuit is the generation of time-
varying high voltage from a low-voltage source, as shown in
Figure P32.26. (a) What is the current in the circuit a long
time after the switch has been in position a? (b) Now the
switch  is  thrown  quickly  from  a to  b.  Compute  the  initial
voltage  across  each  resistor  and  across  the  inductor.
(c) How  much  time  elapses  before  the  voltage  across  the
inductor drops to 12.0 V?

L

R

S

ε

Figure P32.17 Problems 17, 18, 19, and 22.

1.00 H

4.00 

Ω

4.00 

Ω

8.00 

Ω

10.0 V

S

Figure P32.23

24. A series RL circuit with L " 3.00 H and a series RC circuit

with  C " 3.00 'F  have  equal  time  constants.  If  the  two
circuits  contain  the  same  resistance  R ,  (a)  what  is  the
value of R and (b) what is the time constant?

25.

A current pulse is fed to the partial circuit shown in Figure
P32.25.  The  current  begins  at  zero,  then  becomes  10.0 A
between t " 0 and t " 200 's, and then is zero once again.
Determine  the  current  in  the  inductor  as  a  function  of
time.

10.0 mH

100 

Ω

10.0 A

I (t )

I (t )

200

    s

µ

Figure P32.25

12.0 V

1 200 

Ω

12.0 

Ω

2.00 H

S

a

b

Figure P32.26

a

ε

b

L

R

S

Figure P32.27

A  140-mH  inductor  and  a  4.90-. resistor  are  con-

nected with a switch to a 6.00-V battery as shown in Figure
P32.27. (a) If the switch is thrown to the left (connecting
the  battery),  how  much  time  elapses  before  the  current
reaches 220 mA? (b) What is the current in the inductor
10.0 s  after  the  switch  is  closed?  (c)  Now  the  switch  is
quickly thrown from a to b. How much time elapses before
the current falls to 160 mA?

27.

28.

Consider two ideal inductors L

1

and L

2

that have zero inter-

nal resistance and are far apart, so that their magnetic fields
do not influence each other. (a) Assuming these inductors

Problems

1027

are connected in series, show that they are equivalent to a
single  ideal  inductor  having  L

eq

"

L

1

,

L

2

.  (b) Assuming

these  same  two  inductors  are  connected  in  parallel,  show
that  they  are  equivalent  to  a  single  ideal  inductor  having
1/L

eq

"

1/L

1

,

1/L

2

.  (c)  What  If?  Now  consider  two

inductors  L

1

and  L

2

that  have  nonzero internal  resistances

R

1

and  R

2

,  respectively.  Assume  they  are  still  far  apart  so

that their mutual inductance is zero. Assuming these induc-
tors are connected in series, show that they are equivalent to
a  single  inductor  having  L

eq

"

L

1

,

L

2

and  R

eq

"

R

1

,

R

2

. (d) If these same inductors are now connected in

parallel,  is  it  necessarily  true  that  they  are  equivalent  to  a
single  ideal  inductor  having  1/L

eq

"

1/L

1

,

1/L

2

and

1/R

eq

"

1/R

1

,

1/R

2

? Explain your answer.

Section 32.3 Energy in a Magnetic Field
29. Calculate the energy associated with the magnetic field of

a 200-turn solenoid in which a current of 1.75 A produces
a flux of 3.70 ( 10

#

4

Wb in each turn.

30.

The  magnetic  field  inside  a  superconducting  solenoid  is
4.50 T. The solenoid has an inner diameter of 6.20 cm and
a  length  of  26.0 cm.  Determine  (a)  the  magnetic  energy
density  in  the  field  and  (b)  the  energy  stored  in  the
magnetic field within the solenoid.
An air-core solenoid with 68 turns is 8.00 cm long and has
a  diameter  of  1.20 cm.  How  much  energy  is  stored  in  its
magnetic field when it carries a current of 0.770 A?

32.

At  t " 0,  an  emf  of  500 V  is  applied  to  a  coil  that  has  an
inductance of 0.800 H and a resistance of 30.0 .. (a) Find
the energy stored in the magnetic field when the current
reaches  half  its  maximum  value.  (b)  After  the  emf  is
connected, how long does it take the current to reach this
value?

On a clear day at a certain location, a 100-V/m verti-

cal  electric  field  exists  near  the  Earth’s  surface.  At  the
same place, the Earth’s magnetic field has a magnitude of
0.500 ( 10

#

4

T.  Compute  the  energy  densities  of  the  two

fields.

34. Complete the calculation in Example 32.4 by proving that

35. An RL circuit in which L " 4.00 H and R " 5.00 . is con-

nected  to  a  22.0-V  battery  at  t " 0.  (a)  What  energy  is
stored in the inductor when the current is 0.500 A? (b) At
what  rate  is  energy  being  stored  in  the  inductor  when
I " 1.00 A?  (c)  What  power  is  being  delivered  to  the
circuit by the battery when I " 0.500 A?

36. A 10.0-V battery, a 5.00-. resistor, and a 10.0-H inductor are

connected  in  series.  After  the  current  in  the  circuit  has
reached  its  maximum  value,  calculate  (a)  the  power  being
supplied by the battery, (b) the power being delivered to the
resistor, (c) the power being delivered to the inductor, and
(d) the energy stored in the magnetic field of the inductor.

37. A uniform electric field of magnitude 680 kV/m through-

out a cylindrical volume results in a total energy of 3.40 'J.
What magnetic field over this same region stores the same
total energy?

!

0

0

 e

#

2Rt/L

 dt "

L

2R

33.

31.

38.

Assume that the magnitude of the magnetic field outside a
sphere of radius R is B " B

0

(R/r)

2

, where B

0

is a constant.

Determine  the  total  energy  stored  in  the  magnetic  field
outside  the  sphere  and  evaluate  your  result  for  B

0

"

5.00 ( 10

#

5

T  and  R " 6.00 ( 10

6

m,  values  appropriate

for the Earth’s magnetic field.

Section 32.4 Mutual Inductance

39.

Two coils are close to each other. The first coil carries a time-
varying current given by I (t) " (5.00 A) e

#

0.025 0t

sin(377t ).

At  t " 0.800 s,  the  emf  measured  across  the  second  coil  is
#

3.20 V. What is the mutual inductance of the coils?

40. Two  coils,  held  in  fixed  positions,  have  a  mutual  induc-

tance of 100 'H. What is the peak voltage in one when a
sinusoidal  current  given  by  I (t ) " (10.0 A)  sin(1 000t)  is
in the other coil?

41. An  emf  of  96.0 mV  is  induced  in  the  windings  of  a  coil

when the current in a nearby coil is increasing at the rate of
1.20 A/s. What is the mutual inductance of the two coils?

42.

On  a  printed  circuit  board,  a  relatively  long  straight  con-
ductor and a conducting rectangular loop lie in the same
plane,  as  shown  in  Figure  P31.9.  Taking  h " 0.400 mm, 
w " 1.30 mm,  and  L " 2.70 mm,  find  their  mutual
inductance.
Two  solenoids  A  and  B,  spaced  close  to  each  other  and
sharing the same cylindrical axis, have 400 and 700 turns,
respectively. A current of 3.50 A in coil A produces an aver-
age flux of 300 'Wb through each turn of A and a flux of
90.0 'Wb  through  each  turn  of  B.  (a)  Calculate  the
mutual  inductance  of  the  two  solenoids.  (b)  What  is  the
self-inductance of A? (c) What emf is induced in B when
the current in A increases at the rate of 0.500 A/s?

44.

A  large  coil  of  radius  R

1

and  having  N

1

turns  is  coaxial

with  a  small  coil  of  radius  R

2

and  having  N

2

turns.  The

centers  of  the  coils  are  separated  by  a  distance  x that  is
much  larger  than  R

1

and R

2

.  What  is  the  mutual  induc-

tance  of  the  coils?  Suggestion: John  von  Neumann  proved
that the same answer must result from considering the flux
through  the  first  coil  of  the  magnetic  field  produced  by
the second coil, or from considering the flux through the
second  coil  of  the  magnetic  field  produced  by  the  first
coil. In this problem it is easy to calculate the flux through
the  small  coil,  but  it  is  difficult  to  calculate  the  flux
through the large coil, because to do so you would have to
know the magnetic field away from the axis.

45.

Two inductors having self-inductances L

1

and L

2

are con-

nected in parallel as shown in Figure P32.45a. The mutual
inductance between the two inductors is M. Determine the
equivalent  self-inductance  L

eq

for  the  system  (Figure

P32.45b).

43.

L

1

I (t )

L

eq

L

2

M

(a)

(b)

I (t )

Figure P32.45

1028

C H A P T E R   3 2 •  Inductance

Section 32.5 Oscillations in an LC Circuit

46.

A  1.00-'F  capacitor  is  charged  by  a  40.0-V  power  supply.
The fully charged capacitor is then discharged through a
10.0-mH  inductor.  Find  the  maximum  current  in  the
resulting oscillations.

47.

An  LC circuit  consists  of  a  20.0-mH  inductor  and  a 
0.500-'F capacitor. If the maximum instantaneous current
is 0.100 A, what is the greatest potential difference across
the capacitor?

48. In  the  circuit  of  Figure  P32.48,  the  battery  emf  is  50.0 V,

the  resistance  is  250 .,  and  the  capacitance  is  0.500 'F.
The  switch  S  is  closed  for  a  long  time  and  no  voltage  is
measured across the capacitor. After the switch is opened,
the  potential  difference  across  the  capacitor  reaches
a maximum  value  of  150 V.  What  is  the  value  of  the
inductance?

(a) the energy stored in the capacitor; (b) the energy stored
in the inductor; (c) the total energy in the circuit.

Section 32.6 The RLC Circuit
54. In  Figure  32.21,  let  R " 7.60 .,  L " 2.20 mH,  and  C "

1.80 'F. (a) Calculate the frequency of the damped oscilla-
tion of the circuit. (b) What is the critical resistance?
Consider  an  LC circuit  in  which  L " 500 mH  and 
C " 0.100 'F.  (a)  What  is  the  resonance  frequency  1

0

?

(b) If a resistance of 1.00 k. is introduced into this circuit,
what is the frequency of the (damped) oscillations? (c) What
is the percent difference between the two frequencies?

56. Show  that  Equation  32.28  in  the  text  is  Kirchhoff’s  loop

rule as applied to the circuit in Figure 32.21.

57.

The  energy  of  an  RLC circuit  decreases  by  1.00%  during
each  oscillation  when  R " 2.00 ..  If  this  resistance  is
removed, the resulting LC circuit oscillates at a frequency
of  1.00 kHz.  Find  the  values  of  the  inductance  and  the
capacitance.

58.

Electrical  oscillations  are  initiated  in  a  series  circuit  con-
taining  a  capacitance  C, inductance  L, and  resistance  R.
(a)  If  R **

(weak  damping),  how  much  time

elapses before the amplitude of the current oscillation falls
off to 50.0% of its initial value? (b) How long does it take
the energy to decrease to 50.0% of its initial value?

Additional Problems

59.

Review  problem.  This  problem  extends  the  reasoning  of
Section  26.4,  Problem  26.37,  Example  30.6,  and  Section
32.3.  (a)  Consider  a  capacitor  with  vacuum  between  its
large,  closely  spaced,  oppositely  charged  parallel  plates.
Show that the force on one plate can be accounted for by
thinking of the electric field between the plates as exerting
a  “negative  pressure”  equal  to  the  energy  density  of  the
electric field. (b) Consider two infinite plane sheets carry-
ing electric currents in opposite directions with equal lin-
ear current densities J

s

. Calculate the force per area acting

on  one  sheet  due  to  the  magnetic  field  created  by  the
other sheet. (c) Calculate the net magnetic field between
the  sheets  and  the  field  outside  of  the  volume  between
them.  (d)  Calculate  the  energy  density  in  the  magnetic
field  between  the  sheets.  (e)  Show  that  the  force  on  one
sheet  can  be  accounted  for  by  thinking  of  the  magnetic
field  between  the  sheets  as  exerting  a  positive  pressure
equal  to  its  energy  density.  This  result  for  magnetic
pressure  applies  to  all  current  configurations,  not  just  to
sheets of current.

60.

Initially,  the  capacitor  in  a  series  LC circuit  is  charged.  A
switch  is  closed  at  t " 0,  allowing  the  capacitor  to
discharge, and at time t the energy stored in the capacitor
is one fourth of its initial value. Determine L, assuming C
is known.

61.

A 1.00-mH inductor and a 1.00-'F capacitor are connected
in  series.  The  current  in  the  circuit  is  described  by
I " 20.0t,  where  t is  in  seconds  and  I is  in  amperes.  The
capacitor  initially  has  no  charge.  Determine  (a)  the

√

4L/C

55.

R

ε

L

C

S

Figure P32.48

1.00

 

µ

F

10.0 

Ω

S

b

a

µ

0.100 H

12.0 V

Figure P32.52

A  fixed  inductance  L " 1.05 'H  is  used  in  series  with  a
variable  capacitor  in  the  tuning  section  of  a  radiotele-
phone on a ship. What capacitance tunes the circuit to the
signal from a transmitter broadcasting at 6.30 MHz?

50. Calculate the inductance of an LC circuit that oscillates at

120 Hz when the capacitance is 8.00 'F.

51.

An  LC circuit  like  the  one  in  Figure  32.16  contains  an
82.0-mH inductor and a 17.0-'F capacitor that initially car-
ries  a  180-'C  charge.  The  switch  is  open  for  t * 0  and
then closed at t " 0. (a) Find the frequency (in hertz) of
the  resulting  oscillations.  At  t " 1.00 ms,  find  (b)  the
charge on the capacitor and (c) the current in the circuit.

52.

The  switch  in  Figure  P32.52  is  connected  to  point  a for
a long  time.  After  the  switch  is  thrown  to  point  b,  what
are (a)  the  frequency  of  oscillation  of  the  LC  circuit,
(b) the  maximum  charge  that  appears  on  the  capacitor,
(c)  the  maximum  current  in  the  inductor,  and  (d)  the
total energy the circuit possesses at t " 3.00 s?

49.

An  LC circuit  like  that  in  Figure  32.16  consists  of  a

3.30-H inductor and an 840-pF capacitor, initially carrying a
105-'C charge. The switch is open for t * 0 and then closed
at  t " 0.  Compute  the  following  quantities  at  t " 2.00 ms:

53.