Physics For Scientists And Engineers 6E - part 255

S E C T I O N   3 2 . 5 •  Oscillations in an LC Circuit

1017

We can solve for Q by noting that this expression is of the same form as the analogous
Equations 15.3 and 15.5 for a block-spring system:

where k is the spring constant, m is the mass of the block, and 

The solution

of this equation has the general form (Eq. 15.6),

x " A cos(1t , 2)

1 "

√

k/m

 

.

d

2

x

dt

2

" #

k

m

 x " #1

2

x

m

m

m

m

Q = 0

I = 0

t = 0

t =

T

2

+Q

max

–Q

max

E

C

L

C

L

Q = 0

I =I

max

I = 0

–Q

max

+Q

max

B

C

L

t =

T

4

C

L

I =I

max

t =

3

4

T

I = 0

+Q

max

–Q

max

E

C

t =T

L

(a)

k

x = 0

x = 0

v = 0

A

(b)

x = 0

v

max

(c)

x = 0

v = 0

A

(e)

x = 0

m

v = 0

A

x = 0

(d)

x = 0

v

max

– – – –

+ + + +

– – – –

– – – –

B

+ + + +

+ + + +

S

E

Active Figure 32.17 Energy transfer in a resistanceless, nonradiating LC circuit.

The capacitor has a charge Q

max

at t " 0, the instant at which the switch is closed. The

mechanical analog of this circuit is a block–spring system.

At the Active Figures link at

http://www.pse6.com, you can

adjust the values of C and L to

see the effect on the oscillating

current. The block on the spring

oscillates in a mechanical

analog of the electrical

oscillations. A graphical display

as in Figure 32.18 is available,

as is an energy bar graph.

where 1 is the angular frequency of the simple harmonic motion, A is the amplitude of
motion (the maximum value of x), and 2 is the phase constant; the values of A and 2
depend on the initial conditions. Because Equation 32.20 is of the same form as the
differential equation of the simple harmonic oscillator, we see that it has the solution

(32.21)

where Q

max

is the maximum charge of the capacitor and the angular frequency 1 is

(32.22)

Note that the angular frequency of the oscillations depends solely on the inductance and
capacitance of the circuit. This is the natural frequency of oscillation of the LC circuit.

Because Q varies sinusoidally with time, the current in the circuit also varies sinu-

soidally. We can easily show this by differentiating Equation 32.21 with respect to time:

(32.23)

To  determine  the  value  of  the  phase  angle  2,  we  examine  the  initial  conditions,

which in our situation require that at t " 0, I " 0 and Q " Q

max

. Setting I " 0 at t " 0

in Equation 32.23, we have

which  shows  that  2 " 0.  This  value  for  2 also  is  consistent  with  Equation  32.21  and
with the condition that Q " Q

max

at t " 0. Therefore, in our case, the expressions for

Q and I are

(32.24)

(32.25)

Graphs of Q versus t and I versus t are shown in Figure 32.18. Note that the charge

on the capacitor oscillates between the extreme values Q

max

and # Q

max

, and that the

current  oscillates  between  I

max

and  # I

max

.  Furthermore,  the  current  is  90° out  of

phase with the charge. That is, when the charge is a maximum, the current is zero, and
when the charge is zero, the current has its maximum value.

Let  us  return  to  the  energy  discussion  of  the  LC circuit.  Substituting  Equations

32.24 and 32.25 in Equation 32.18, we find that the total energy is

(32.26)

This expression contains all of the features described qualitatively at the beginning of
this section. It shows that the energy of the LC circuit continuously oscillates between
energy stored in the electric field of the capacitor and energy stored in the magnetic

U " U

C

,

U

L

"

Q

2

max

2C

 cos

2

 1t ,

1

2

 L

 

I

2

max

 sin

2

 1t

I " #1Q

  

max

 sin 1t " #I

 

max

 sin 1t

Q " Q

  

max

 cos 1t

0 " #1Q

  

max

 sin 2

I "

dQ

dt

" #

1

Q

  

max

 sin(1t , 2)

1 "

1

√

LC

Q " Q

  

max

 cos(1t , 2)

1018

C H A P T E R   3 2 •  Inductance

Q

Q

max

I

max

I

t

t

0

T

2T

T

2

3T

2

Active Figure 32.18 Graphs of charge versus time and

current versus time for a resistanceless, nonradiating LC

circuit. Note that Q and I are 90° out of phase with each

other.

Charge as a function of time for

an ideal LC circuit

Angular frequency of oscillation

in an LC circuit

Current as a function of time for

an ideal LC current

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can observe this graph develop

for the LC circuit in Figure 32.17.

S E C T I O N   3 2 . 5 •  Oscillations in an LC Circuit

1019

field of the inductor. When the energy stored in the capacitor has its maximum value
Q

2

max

/2C,  the  energy  stored  in  the  inductor  is  zero.  When  the  energy  stored  in  the

inductor has its maximum value  LI

2

max

, the energy stored in the capacitor is zero.

Plots of the time variations of U

C

and U

L

are shown in Figure 32.19. The sum U

C

,

U

L

is a constant and equal to the total energy Q

2

max

/2C, or  LI

2

max

. Analytical verification of

this is straightforward. The amplitudes of the two graphs in Figure 32.19 must be equal
because the maximum energy stored in the capacitor (when I " 0) must equal the maxi-
mum energy stored in the inductor (when Q " 0). This is mathematically expressed as

Using this expression in Equation 32.26 for the total energy gives

(32.27)

because cos

2

1

t , sin

2

1

t " 1.

In  our  idealized  situation,  the  oscillations  in  the  circuit  persist  indefinitely;  how-

ever, remember that the total energy U of the circuit remains constant only if energy
transfers  and  transformations  are  neglected.  In  actual  circuits,  there  is  always  some
resistance, and hence some energy is transformed to internal energy. We mentioned at
the beginning of this section that we are also ignoring radiation from the circuit. In
reality, radiation is inevitable in this type of circuit, and the total energy in the circuit
continuously decreases as a result of this process.

U "

Q

2

max

2C

 (cos

2

 1t , sin

2

 1t) "

Q

2

max

2C

Q

 

2

   

max

2C

"

LI

2

max

2

1

2

1

2

t

Q

2

max

2C

t

0

T
2

T

3T

2

2T

U

L

U

C

L I

2

max

2

Figure 32.19 Plots of U

C

versus t

and U

L

versus t for a resistanceless,

nonradiating LC circuit. The sum

of the two curves is a constant and

equal to the total energy stored in

the circuit.

Quick  Quiz  32.7

At  an  instant  of  time  during  the  oscillations  of  an  LC

circuit,  the  current  is  at  its  maximum  value.  At  this  instant,  the  voltage  across  the
capacitor (a) is different from that across the inductor (b) is zero (c) has its maximum
value (d) is impossible to determine

Quick  Quiz  32.8

At  an  instant  of  time  during  the  oscillations  of  an  LC

circuit, the current is momentarily zero. At this instant, the voltage across the capacitor
(a)  is  different  from  that  across  the  inductor  (b)  is  zero  (c)  has  its  maximum  value 
(d) is impossible to determine

Example 32.7 Oscillations in an LC Circuit

In  Figure  32.20,  the  capacitor  is  initially  charged  when
switch S

1

is open and S

2

is closed. Switch S

2

is then opened,

removing  the  battery  from  the  circuit,  and  the  capacitor
remains charged. Switch S

1

is then closed, so that the capaci-

tor is connected directly across the inductor.

(A)

Find the frequency of oscillation of the circuit.

Solution Using Equation 32.22 gives for the frequency

1.00 ( 10

6

 Hz

"

 "

1

2)

 

[(2.81 ( 10

#

3

 H)(9.00 ( 10

#

12

 F)]

1/2

f

 

"

1

2)

"

1

2)

  

√

LC

9.00 pF

2.81 mH

S

2

S

1

  

 = 12.0 V

ε

Figure 32.20 (Example 32.7) First the capacitor is fully

charged with the switch S

1

open and S

2

closed. Then, S

2

is

opened and S

1

is closed.

Interactive

32.6 The RLC Circuit

We  now  turn  our  attention  to  a  more  realistic  circuit  consisting  of  a  resistor,  an
inductor,  and  a  capacitor  connected  in  series,  as  shown  in  Figure  32.21.  Let  us
assume  that  the  resistance  of  the  resistor  represents  all  of  the  resistance  in  the
circuit. Now imagine that switch S

1

is closed and S

2

is open, so that the capacitor has

an initial charge Q

max

. Next, S

1

is opened and S

2

is closed. Once S

2

is closed and a

current  is  established,  the  total  energy  stored  in  the  capacitor  and  inductor  at  any
time is given by Equation 32.18. However, this total energy is no longer constant, as it
was in the LC circuit, because the resistor causes transformation to internal energy.
(We  continue  to  ignore  electromagnetic  radiation  from  the  circuit  in  this  discus-
sion.) Because the rate of energy transformation to internal energy within a resistor
is I

2

R, we have

where the negative sign signifies that the energy U of the circuit is decreasing in time.
Substituting this result into Equation 32.19 gives

(32.28)

To  convert  this  equation  into  a  form  that  allows  us  to  compare  the  electrical  oscilla-
tions  with  their  mechanical  analog,  we  first  use  the  fact  that  I " dQ /dt and  move  all
terms to the left-hand side to obtain

Now we divide through by I :

(32.29)

The  RLC circuit  is  analogous  to  the  damped  harmonic  oscillator  discussed  in

Section  15.6  and  illustrated  in  Figure  32.22.  The  equation  of  motion  for  a  damped

L  

d

2

Q

dt

2

,

R  

dQ

dt

,

Q

C

"

0

L  

d

2

Q

dt

2

,

IR ,

Q

C

  " 0

L

 

I  

d

2

Q

dt

2

,

I

 

2

R ,

Q

C

 I " 0

LI  

dI

dt

,

Q

C

 

dQ

dt

" #

I

  

2

R

dU

dt

" #

I

2

R

1020

C H A P T E R   3 2 •  Inductance

(B)

What are the maximum values of charge on the capaci-

tor and current in the circuit?

Solution The  initial  charge  on  the  capacitor  equals  the
maximum charge, and because C " Q /%V, we have

From Equation 32.25, we can see how the maximum current
is related to the maximum charge:

 " (2) ( 10

6

 s

#

1

)(1.08 ( 10

#

10

 C)

I

max

"

1

Q

  

max

"

2)f

 

Q

 

max 

1.08 ( 10

#

10

 C

"

Q

  

max

"

C %V " (9.00 ( 10

#

12

 F)(12.0 V)

(C)

Determine the charge and current as functions of time.

Solution Equations  32.24  and  32.25  give  the  following
expressions for the time variation of Q and I :

(#6.79 ( 10

#

4

 A) sin[(2) ( 10

6

 s

#

1

)t]

"

I

 

" #

I

 

max

 sin 1t

(1.08 ( 10

#

10

 C) cos[(2) ( 10

6

 s

#

1

)t]

"

Q

 

"

Q

  

max

 cos 1t

6.79 ( 10

#

4

 A

I

 

max

"

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can study the oscillations in an LC circuit.

C

+
–

L

R

S

2

Q

max

+
–

S

1

Active Figure 32.21 A series RLC

circuit. Switch S

1

is closed and the

capacitor is charged. S

1

is then

opened and, at t " 0, switch S

2

is

closed.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the values of R, L,

and C to see the effect on the

decaying charge on the

capacitor. A graphical display

as in Figure 32.23a is available,

as is an energy bar graph.

m

Figure 32.22 A block–spring

system moving in a viscous medium

with damped harmonic motion is

analogous to an RLC circuit.