Physics For Scientists And Engineers 6E - part 253

S E C T I O N   3 2 . 2 •  RL Circuits

1009

where 

!

is the emf of the battery and I

0

"

!

/R is the current at the instant at which

the switch is thrown to b.

If the circuit did not contain an inductor, the current would immediately decrease

to  zero  when  the  battery  is  removed.  When  the  inductor  is  present,  it  opposes  the
decrease  in  the  current  and  causes  the  current  to  decrease  exponentially.  A  graph  of
the current in the circuit versus time (Fig. 32.7) shows that the current is continuously
decreasing with time. Note that the slope dI/dt is always negative and has its maximum
value at t " 0. The negative slope signifies that 

!

L

" #

L (dI/dt) is now positive.

I

t

/R

ε

Active Figure 32.7 Current versus

time for the right-hand loop of the

circuit shown in Figure 32.6. For

t * 0, the switch S is at position a.

At t " 0, the switch is thrown to

position b, and the current has its

maximum value 

!

/R.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can observe this graph develop

after the switch in Figure 32.6 is

thrown to position b.

Quick Quiz 32.2

The circuit in Figure 32.8 consists of a resistor, an induc-

tor, and an ideal battery with no internal resistance. At the instant just after the switch
is closed, across which circuit element is the voltage equal to the emf of the battery?
(a) the resistor (b) the inductor (c) both the inductor and resistor. After a very long
time,  across  which  circuit  element  is  the  voltage  equal  to  the  emf  of  the  battery?
(d) the resistor (e) the inductor (f) both the inductor and resistor.

R

L

ε

S

Figure 32.8 (Quick Quiz 32.2)

Figure 32.9 (Quick Quiz 32.3)

Quick Quiz 32.4

Two circuits like the one shown in Figure 32.6 are identical

except for the value of L. In circuit A the inductance of the inductor is L

A

, and in cir-

cuit B it is L

B

. Switch S is thrown to position a at t " 0. At t " 10 s, the switch is thrown

to position b. The resulting currents for the two circuits are as graphed in Figure 32.10.

Quick Quiz 32.3

The circuit in Figure 32.9 includes a power source that

provides a sinusoidal voltage. Thus, the magnetic field in the inductor is constantly
changing.  The  inductor  is  a  simple  air-core  solenoid.  The  switch  in  the  circuit  is
closed and the lightbulb glows steadily. An iron rod is inserted into the interior of
the solenoid, which increases the magnitude of the magnetic field in the solenoid.
As this happens, the brightness of the lightbulb (a) increases, (b) decreases, (c) is
unaffected.

S

L

Iron bar

1010

C H A P T E R   3 2 •  Inductance

Figure 32.10 (Quick Quiz 32.4)

If we assume that the time constant of each circuit is much less than 10 s, which of the
following is true? (a) L

A

-

L

B

; (b) L

A

*

L

B

; (c) not enough information to tell.

0

I

5

10

15

A

B

t(s)

Example 32.3 Time Constant of an RL Circuit

(A)

Find  the  time  constant  of  the  circuit  shown  in  Figure

32.11a.

Solution The time constant is given by Equation 32.8:

(B)

The switch in Figure 32.11a is closed at t " 0. Calculate

the current in the circuit at t " 2.00 ms.

Solution Using Equation 32.7 for the current as a function of
time (with t and + in milliseconds), we find that at t " 2.00 ms,

0.659 A

I "

!

R

 (1 # e

#

t/+

 

) "

12.0 V

6.00 .

 (1 # e

#

0.400

) "

5.00 ms

+ "

L
R

"

30.0 ( 10

#

3

 H

6.00 .

"

A plot of the current versus time for this circuit is given in
Figure 32.11b.

(C)

Compare  the  potential  difference  across  the  resistor

with that across the inductor.

Solution At  the  instant  the  switch  is  closed,  there  is  no
current and thus no potential difference across the resistor.
At this instant, the battery voltage appears entirely across the
inductor in the form of a back emf of 12.0 V as the inductor
tries  to  maintain  the  zero-current  condition.  (The  left  end
of  the  inductor  is  at  a  higher  electric  potential  than  the
right  end.)  As  time  passes,  the  emf  across  the  inductor
decreases  and  the  current  in  the  resistor  (and  hence  the
potential difference across it) increases, as shown in Figure
32.12. The sum of the two potential differences at all times
is 12.0 V.

What If?

In Figure 32.12, we see that the voltages across the

resistor and inductor are equal at a time just before 4.00 ms.
What if we wanted to delay the condition in which the voltages
are  equal  to  some  later  instant,  such  as  t ! 10.0 ms?  Which
parameter, L or R, would require the least adjustment, in terms
of a percentage change, to achieve this?

t(ms)

0

2

4

6

8

10

0

1

2

I(A)

(b)

(a)

30.0 mH

12.0 V

6.00 

Ω

S

12 14

Figure 32.11 (Example 32.3) (a) The switch in this RL circuit

is open for t * 0 and then closed at t " 0. (b) A graph of the

current versus time for the circuit in part (a).

2

4

6

8

0

2

4

6

8

10

12

∆V

L

∆V

R

∆V(V)

t(ms)

10

Figure 32.12 (Example 32.3) The time behavior of the potential

differences across the resistor and inductor in Figure 32.11a.

Interactive

S E C T I O N   3 2 . 3 •  Energy in a Magnetic Field

1011

32.3 Energy in a Magnetic Field

Because the emf induced in an inductor prevents a battery from establishing an instan-
taneous current, the battery must provide more energy than in a circuit without the in-
ductor.  Part  of  the  energy  supplied  by  the  battery  appears  as  internal  energy  in  the
resistor, while the remaining energy is stored in the magnetic field of the inductor. If
we multiply each term in Equation 32.6 by I and rearrange the expression, we have

(32.11)

Recognizing I

!

as the rate at which energy is supplied by the battery and I

2

R as the rate

at which energy is delivered to the resistor, we see that LI(dI/dt) must represent the rate
at which energy is being stored in the inductor. If we let U denote the energy stored in
the inductor at any time, then we can write the rate dU/dt at which energy is stored as

To  find  the  total  energy  stored  in  the  inductor,  we  can  rewrite  this  expression  as
dU " LI dI and integrate:

(32.12)

where L is constant and has been removed from the integral. This expression repre-
sents  the  energy  stored  in  the  magnetic  field  of  the  inductor  when  the  current  is  I.
Note that this equation is similar in form to Equation 26.11 for the energy stored in
the  electric  field  of  a  capacitor,  U " C(%V )

2

.  In  either  case,  we  see  that  energy  is

required to establish a field.

We can also determine the energy density of a magnetic field. For simplicity, con-

sider a solenoid whose inductance is given by Equation 32.5:

L " '

0

n

2

A!

The magnetic field of a solenoid is given by Equation 30.17:

B " '

0

nI

1

2

U "

1

2

 L

 

I

2

U "

!

 dU "

!

I

0

 L

 

I dI " L  

!

I

0

 I dI

dU

dt

"

L

 

I  

dI
dt

I

 

!

"

I

  

2

R , L

 

I

 

 

dI
dt

Answer From  Figure  32.12,  we  see  that  the  voltages  are
equal  when  the  voltage  across  the  inductor  has  fallen  to
half  of  its  original  value.  Thus,  the  time  interval  required
for  the  voltages  to  become  equal  is  the  half-life t

1/2 

of  the

decay. We introduced the half-life in the 

What If? section

of  Example  28.13,  in  describing  the  exponential  decay  in
RC circuits, where we found that  t

1/2

"

0.693+. If we want

the half-life of our RL circuit to be 10.0 ms, then the time
constant must be

We  can  achieve  this  time  constant  by  holding  L fixed  and
adjusting R; in this case,

+ "

t

1/2

0.693

"

10.0 ms

0.693

"

14.4 ms

This corresponds to a 65% decrease compared to the initial
resistance. Now hold R fixed and adjust L:

This  represents  a  188%  increase  in  inductance!  Thus,  a
much  smaller  percentage  adjustment  in  R can  achieve  the
desired effect than in L.

L " (6.00 .)(14.4 ms) " 86.4 ( 10

#

3

 H

+ "

L
R

"

L

6.00 .

"

14.4 ms

R "

30.0 ( 10

#

3

 H

14.4 ms

"

2.08 .

+ "

L
R

"

30.0 ( 10

#

3

 H

R

"

14.4 ms

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can explore the decay of current in an RL circuit.

Energy stored in an inductor

▲

PITFALL PREVENTION 

32.1 Compare Energy in a

Capacitor, Resistor,
and Inductor

Different  energy-storage  mecha-
nisms  are  at  work  in  capacitors,
inductors, and resistors. A capaci-
tor  stores  a  given  amount  of
energy  for  a  fixed  charge  on  its
plates;  as  more  charge  is  deliv-
ered,  more  energy  is  delivered.
An  inductor  stores  a  given
amount  of  energy  for  constant
current; as the current increases,
more energy is delivered. Energy
delivered  to  a  resistor  is  trans-
formed to internal energy.

Substituting the expression for L and I " B/'

0

n into Equation 32.12 gives

(32.13)

Because A! is the volume of the solenoid, the magnetic energy density, or the energy
stored per unit volume in the magnetic field of the inductor is

(32.14)

Although this expression was derived for the special case of a solenoid, it is valid for

any region of space in which a magnetic field exists. Note that Equation 32.14 is similar
in form to Equation 26.13 for the energy per unit volume stored in an electric field,
u

E

"

/

0

E

2

. In both cases, the energy density is proportional to the square of the field

magnitude.

1

2

u

B

"

U

A!

"

B

2

2'

0

U "

1

2

 L

 

I

  

2

"

1

2

 '

0

n

2

A! 

"

B

'

0

n

#

2

"

B

  

2

2'

0

 A!

1012

C H A P T E R   3 2 •  Inductance

Quick  Quiz  32.5

You  are  performing  an  experiment  that  requires  the

highest  possible  energy  density  in  the  interior  of  a  very  long  solenoid.  Which  of 
the following increases the energy density? (More than one choice may be correct.)
(a)  increasing  the  number  of  turns  per  unit  length  on  the  solenoid  (b)  increasing
the cross-sectional area of the solenoid (c) increasing only the length of the solenoid
while keeping the number of turns per unit length fixed (d) increasing the current
in the solenoid.

Example 32.4 What Happens to the Energy in the Inductor?

Consider  once  again  the  RL circuit  shown  in  Figure  32.6.
Recall  that  the  current  in  the  right-hand  loop  decays  expo-
nentially  with  time  according  to  the  expression  I " I

0

e

#

t/+

,

where  I

0

"

!

/R is  the  initial  current  in  the  circuit  and

+ "

L/R is  the  time  constant.  Show  that  all  the  energy

initially stored in the magnetic field of the inductor appears
as internal energy in the resistor as the current decays to zero.

Solution The rate dU/dt at which energy is delivered to the
resistor (which is the power) is equal to I

2

R, where I is the

instantaneous current:

To  find  the  total  energy  delivered  to  the  resistor,  we
solve for  dU and  integrate  this  expression  over  the  limits

dU

dt

"

I

  

2

R " (I

 

0

e

#

Rt/L

)

2

R " I

0

2

 

Re

#

2Rt/L

t " 0  to  t : 0.  (The  upper  limit  is  infinity  because  it
takes an infinite amount of time for the current to reach
zero.)

The value of the definite integral can be shown to be L/2R
(see Problem 34) and so U becomes

Note  that  this  is  equal  to  the  initial  energy  stored  in  the
magnetic field of the inductor, given by Equation 32.12, as
we set out to prove.

U " I

2

0

 

R  

"

L

2R

#

"

1

2

 L

 

I

0

2

(1)

     

U "

!

0

0

 I

0

2

 

R

 

e

#

2Rt/L

 

dt " I

0

2

R  

!

0

0

 e

#

2Rt/L

 

dt

Example 32.5 The Coaxial Cable

Coaxial  cables  are  often  used  to  connect  electrical  devices,
such as your stereo system, and in receiving signals in TV cable
systems. Model a long coaxial cable as consisting of two thin
concentric  cylindrical  conducting  shells  of  radii  a and  b and
length  !,  as  in  Figure  32.13.  The  conducting  shells  carry
the same  current  I in  opposite  directions.  Imagine  that  the
inner conductor carries current to a device and that the outer

one  acts  as  a  return  path  carrying  the  current  back  to  the
source.

(A)

Calculate the self-inductance L of this cable.

Solution Conceptualize the situation with the help of Figure
32.13.  While  we  do  not  have  a  visible  coil  in  this  geometry,

Magnetic energy density