Physics For Scientists And Engineers 6E - part 254

S E C T I O N   3 2 . 4 •  Mutual Inductance

1013

32.4 Mutual Inductance

Very often, the magnetic flux through the area enclosed by a circuit varies with time
because  of  time-varying  currents  in  nearby  circuits.  This  condition  induces  an  emf
through a process known as mutual induction, so called because it depends on the inter-
action of two circuits.

Consider the two closely wound coils of wire shown in cross-sectional view in Figure

32.14. The current I

1

in coil 1, which has N

1

turns, creates a magnetic field. Some of

the  magnetic  field  lines  pass  through  coil  2,  which  has  N

2

turns.  The  magnetic  flux

caused  by  the  current  in  coil  1  and  passing  through  coil  2  is  represented  by  $

12

.

In analogy  to  Equation  32.2,  we  define  the 

mutual  inductance M

12

of  coil  2  with

imagine  a  thin  radial  slice  of  the  coaxial  cable,  such  as  the
light blue rectangle in Figure 32.13. If we consider the inner
and  outer  conductors  to  be  connected  at  the  ends  of  the
cable (above and below the figure), this slice represents one
large  conducting  loop.  The  current  in  the  loop  sets  up  a
magnetic field between the inner and outer conductors that
passes through this loop. If the current changes, the magnetic
field  changes  and  the  induced  emf  opposes  the  original
change in the current in the conductors. We categorize this
situation as one in which we can calculate an inductance, but
we must return to the fundamental definition of inductance,
Equation 32.2. To analyze the problem and obtain L, we must
find  the  magnetic  flux  through  the  light  blue  rectangle  in
Figure 32.13. Ampère’s law (see Section 30.3) tells us that the
magnetic field in the region between the shells is due to the
inner conductor and its magnitude is B " '

0

I/2)r, where r is

measured  from  the  common  center  of  the  shells.  The
magnetic field is zero outside the outer shell (r - b) because
the net current passing through the area enclosed by a circu-
lar  path  surrounding  the  cable  is  zero,  and  hence  from
Ampère’s law, 

$ B&ds " 0. The magnetic field is zero inside

the inner shell because the shell is hollow and no current is
present within a radius r * a.

The  magnetic  field  is  perpendicular  to  the  light  blue

rectangle  of  length  ! and  width  b # a,  the  cross  section  of
interest.  Because  the  magnetic  field  varies  with  radial
position  across  this  rectangle,  we  must  use  calculus  to
find the  total  magnetic  flux.  Dividing  this  rectangle  into
strips of width dr, such as the dark blue strip in Figure 32.13,
we  see  that  the  area  of  each  strip  is  ! dr and  that  the flux
through each strip is B dA " B! dr. Hence, we find the total
flux through the entire cross section by integrating:

Using  this  result,  we  find  that  the  self-inductance  of  the
cable is

(B)

Calculate  the  total  energy  stored  in  the  magnetic  field

of the cable.

Solution Using Equation 32.12 and the results to part (A)
gives

To finalize the problem, note that the inductance increases
if ! increases, if b increases, or if a decreases. This is consis-
tent  with  our  conceptualization—any  of  these  changes
increases the size of the loop represented by our radial slice
and through which the magnetic field passes; this increases
the inductance.

'

0

 

!

I

2

4)

  ln 

"

b

a

#

U "

1

2

 L

 

I

2

"

'

0

 

!

2)

  ln 

"

b

a

#

L "

$

B

I

"

$

B

"

!

 B dA "

!

b

a

 

'

0

I

2)r

 !

 

dr "

'

0

I !

2)

 

!

b

a

 

dr

r

"

'

0

I!

2)

  ln 

"

b

a

#

I

!

b

dr

B

r

I

a

Figure 32.13 (Example 32.5) Section of a long coaxial cable.

The inner and outer conductors carry equal currents in oppo-

site directions.

Coil 1

Coil 2

N

1

I

1

N

2

I

2

Figure 32.14 A cross-sectional

view of two adjacent coils. A

current in coil 1 sets up a magnetic

field and some of the magnetic

field lines pass through coil 2.

respect to coil 1:

(32.15)

Mutual inductance depends on the geometry of both circuits and on their orienta-

tion with respect to each other. As the circuit separation distance increases, the mutual
inductance decreases because the flux linking the circuits decreases.

If  the  current  I

1

varies  with  time,  we  see  from  Faraday’s  law  and  Equation  32.15

that the emf induced by coil 1 in coil 2 is

(32.16)

In the preceding discussion, we assumed that the current is in coil 1. We can also

imagine a current I

2

in coil 2. The preceding discussion can be repeated to show that

there is a mutual inductance M

21

. If the current I

2

varies with time, the emf induced

by coil 2 in coil 1 is

(32.17)

In  mutual  induction,  the  emf  induced  in  one  coil  is  always  proportional  to
the rate  at  which  the  current  in  the  other  coil  is  changing. Although  the
proportionality  constants  M

12

and  M

21

have  been  treated  separately,  it  can  be 

shown  that  they  are  equal.  Thus,  with  M

12

"

M

21

"

M,  Equations  32.16  and  32.17

become

These two equations are similar in form to Equation 32.1 for the self-induced emf

!

" #

L(dI/dt). The unit of mutual inductance is the henry.

!

2

" #

M

 

 

dI

 

1

dt

   

and

   

!

1

" #

M

 

 

dI

 

2

dt

!

1

" #

M

21

 

dI

 

2

dt

!

2

" #

N

 

2

 

d

 

$

12

dt

" #

N

 

2

 

d

dt

 

"

M

12

 

I

 

1

N

 

2

#

" #

M

12

 

dI

 

1

dt

M

12 

% 

N

 

2

$

12

I

 

1

1014

C H A P T E R   3 2 •  Inductance

Definition of mutual inductance

Example 32.6 “Wireless” Battery Charger

An  electric  toothbrush  has  a  base  designed  to  hold  the
toothbrush  handle  when  not  in  use.  As  shown  in  Figure
32.15a,  the  handle  has  a  cylindrical  hole  that  fits  loosely
over a matching cylinder on the base. When the handle is
placed  on  the  base,  a  changing  current  in  a  solenoid
inside the base cylinder induces a current in a coil inside
the  handle.  This  induced  current  charges  the  battery  in
the handle.

We can model the base as a solenoid of length ! with N

B

turns (Fig. 32.15b), carrying a current I, and having a cross-
sectional  area  A.  The  handle  coil  contains  N

H

turns  and

completely surrounds the base coil. Find the mutual induc-
tance of the system.

Solution Because the base solenoid carries a current I, the
magnetic field in its interior is

Because  the  magnetic  flux  $

BH

through  the  handle’s  coil

caused  by  the  magnetic  field  of  the  base  coil  is  BA,  the
mutual inductance is

Wireless  charging  is  used  in  a  number  of  other  “cordless”
devices.  One  significant  example  is  the  inductive  charging
that  is  used  by  some  electric  car  manufacturers  that  avoids
direct  metal-to-metal  contact  between  the  car  and  the
charging apparatus.

'

0

 

N

 

B

 

N

 

H

A

!

M "

N

 

H

 

$

BH

I

"

N

 

H

BA

I

"

B "

'

0

N

B

 

I

!

Quick Quiz 32.6

In Figure 32.14, coil 1 is moved closer to coil 2, with the

orientation of both coils remaining fixed. Because of this movement, the mutual induc-
tion of the two coils (a) increases (b) decreases (c) is unaffected.

S E C T I O N   3 2 . 5 •  Oscillations in an LC Circuit

1015

32.5 Oscillations in an LC Circuit

When a capacitor is connected to an inductor as illustrated in Figure 32.16, the combi-
nation  is  an 

LC  circuit. If  the  capacitor  is  initially  charged  and  the  switch  is  then

closed,  we  find  that  both  the  current  in  the  circuit  and  the  charge  on  the  capacitor
oscillate between maximum positive and negative values. If the resistance of the circuit
is  zero,  no  energy  is  transformed  to  internal  energy.  In  the  following  analysis,  we
neglect  the  resistance  in  the  circuit.  We  also  assume  an  idealized  situation  in  which
energy is not radiated away from the circuit. We shall discuss this radiation in Chapter
34,  but  we  neglect  it  for  now.  With  these  idealizations—zero  resistance  and  no
radiation—the oscillations in the circuit persist indefinitely.

Assume that the capacitor has an initial charge Q

max

(the maximum charge) and

that  the  switch  is  open  for  t * 0  and  then  closed  at  t " 0.  Let  us  investigate  what
happens from an energy viewpoint.

When  the  capacitor  is  fully  charged,  the  energy  U in  the  circuit  is  stored  in  the

electric  field  of  the  capacitor  and  is  equal  to  Q

2

max

/2C (Eq.  26.11).  At  this  time,  the

current in the circuit is zero, and therefore no energy is stored in the inductor. After
the switch is closed, the rate at which charges leave or enter the capacitor plates (which
is also the rate at which the charge on the capacitor changes) is equal to the current in
the  circuit.  As  the  capacitor  begins  to  discharge  after  the  switch  is  closed,  the  energy
stored in its electric field decreases. The discharge of the capacitor represents a current
in the circuit, and hence some energy is now stored in the magnetic field of the induc-
tor. Thus, energy is transferred from the electric field of the capacitor to the magnetic
field of the inductor. When the capacitor is fully discharged, it stores no energy. At this
time,  the  current  reaches  its  maximum  value,  and  all  of  the  energy  is  stored  in  the
inductor. The current continues in the same direction, decreasing in magnitude, with
the capacitor eventually becoming fully charged again but with the polarity of its plates
now opposite the initial polarity. This is followed by another discharge until the circuit
returns to its original state of maximum charge Q

max

and the plate polarity shown in

Figure 32.16. The energy continues to oscillate between inductor and capacitor.

(b)

N

B

N

H

Coil 1(base)

Coil 2(handle)

!

Figure 32.15 (Example 32.6) (a) This electric toothbrush uses the mutual induction

of solenoids as part of its battery-charging system. (b) A coil of N

H

turns wrapped

around the center of a solenoid of N

B

turns.

S

L

C

Q

max

+
–

Figure 32.16 A simple LC circuit.

The capacitor has an initial charge

Q

max

, and the switch is open for 

t * 0 and then closed at t " 0.

(a)

The oscillations of the LC circuit are an electromagnetic analog to the mechanical

oscillations of a block–spring system, which we studied in Chapter 15. Much of what is
discussed there is applicable to LC oscillations. For example, we investigated the effect
of driving a mechanical oscillator with an external force, which leads to the phenome-
non of resonance. The same phenomenon is observed in the LC circuit. For example, a
radio tuner has an LC circuit with a natural frequency. When the circuit is driven by
the  electromagnetic  oscillations  of  a  radio  signal  detected  by  the  antenna,  the  tuner
circuit  responds  with  a  large  amplitude  of  electrical  oscillation  only  for  the  station
frequency  that  matches  the  natural  frequency.  Therefore,  only  the  signal  from  one 
radio  station  is  passed  on  to  the  amplifier,  even  though  signals  from  all  stations  are 
driving  the  circuit  at  the  same  time.  When  you  turn  the  knob  on  the  radio  tuner  to
change the station, you are changing the natural frequency of the circuit so that it will
exhibit a resonance response to a different driving frequency.

A  graphical  description  of  the  fields  in  the  inductor  and  the  capacitor  in  an  LC

circuit is shown in Figure 32.17. The right side of the figure shows the analogous oscil-
lating block–spring system studied in Chapter 15. In each case, the situation is shown at
intervals of one-fourth the period of oscillation T. The potential energy kx

2

stored in 

a stretched spring is analogous to the electric potential energy  C(%V

max

)

2

stored in 

the  capacitor.  The  kinetic  energy  mv

2

of  the  moving  block  is  analogous  to  the 

magnetic energy  LI

2

stored in the inductor, which requires the presence of moving

charges.  In  Figure  32.17a,  all  of  the  energy  is  stored  as  electric  potential  energy  in 
the  capacitor  at  t " 0.  In  Figure  32.17b,  which  is  one  fourth  of  a  period  later,  all  of 
the energy is stored as magnetic energy  LI

2

max

in the inductor, where I

max

is the maxi-

mum  current  in  the  circuit.  In  Figure  32.17c,  the  energy  in  the  LC circuit  is 
stored  completely  in  the  capacitor,  with  the  polarity  of  the  plates  now  opposite  what 
it  was  in  Figure  32.17a.  In  parts  d  and  e,  the  system  returns  to  the  initial  config-
uration  over  the  second  half  of  the  cycle.  At  times  other  than  those  shown  in  the 
figure,  part  of  the  energy  is  stored  in  the  electric  field  of  the  capacitor  and  part  is
stored in the magnetic field of the inductor. In the analogous mechanical oscillation,
part  of  the  energy  is  potential  energy  in  the  spring  and  part  is  kinetic  energy  of  the
block.

Let us consider some arbitrary time t after the switch is closed, so that the capacitor

has a charge Q * Q

max

and the current is I * I

max

. At this time, both circuit elements

store  energy,  but  the  sum  of  the  two  energies  must  equal  the  total  initial  energy  U
stored in the fully charged capacitor at t " 0:

(32.18)

Because  we  have  assumed  the  circuit  resistance  to  be  zero  and  we  ignore  elec-
tromagnetic  radiation,  no  energy  is  transformed  to  internal  energy  and  none  is
transferred  out  of  the  system  of  the  circuit.  Therefore,  the  total  energy  of  the  system
must remain constant in time. This means that dU/dt " 0. Therefore, by differentiating
Equation  32.18  with  respect  to  time  while  noting  that  Q and  I vary  with  time,  we
obtain

(32.19)

We can reduce this to a differential equation in one variable by remembering that the
current in the circuit is equal to the rate at which the charge on the capacitor changes:
I " dQ /dt. From  this,  it  follows  that  dI/dt " d

2

Q /dt

2

.  Substitution  of  these  relation-

ships into Equation 32.19 gives

(32.20)

 

d

2

Q

dt

2

" #

1

LC

 Q

Q

C

,

L  

d

2

Q

dt

2

"

0

dU

dt

"

d

dt

 

"

Q

 

2

2C

,

1

2 

L

 

I

  

2

#

"

Q

C

 

dQ

dt

,

L

 

I

 

  

dI

dt

"

0

U " U

C

,

U

L

"

Q

 

2

2C

,

1

2

 

L

 

I

  

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1016

C H A P T E R   3 2 •  Inductance

Total energy stored in an LC

circuit