Physics For Scientists And Engineers 6E - part 251

suspended object of mass M. The uniform magnetic field
has a magnitude B, and the distance between the rails is !.
The  rails  are  connected  at  one  end  by  a  load  resistor  R.
Derive an expression that gives the horizontal speed of the
bar  as  a  function  of  time,  assuming  that  the  suspended
object is released with the bar at rest at t " 0. Assume no
friction between rails and bar.

67.

A  solenoid  wound  with  2 000  turns/m  is  supplied  with
current  that  varies  in  time  according  to  I "
(4A) sin(120,t),  where  t is  in  seconds.  A  small  coaxial
circular coil of 40 turns and radius r " 5.00 cm is located
inside  the  solenoid  near  its  center.  (a)  Derive  an  expres-
sion  that  describes  the  manner  in  which  the  emf  in  the
small coil varies in time. (b) At what average rate is energy
delivered to the small coil if the windings have a total resis-
tance of 8.00 (?

68.

Figure P31.68 shows a stationary conductor whose shape is
similar to the letter e. The radius of its circular portion is
a " 50.0 cm.  It  is  placed  in  a  constant  magnetic  field  of
0.500 T  directed  out  of  the  page.  A  straight  conducting
rod,  50.0 cm  long,  is  pivoted  about  point  O and  rotates
with  a  constant  angular  speed  of  2.00 rad/s.  (a)  Deter-
mine the induced emf in the loop POQ. Note that the area
of the loop is #a

2

/2. (b) If all of the conducting material

has  a  resistance  per  length  of  5.00 (/m,  what  is  the
induced  current  in  the  loop  POQ at  the  instant  0.250 s
after point P passes point Q?

69.

A  betatron accelerates  electrons  to  energies  in  the  MeV
range by means of electromagnetic induction. Electrons in
a  vacuum  chamber  are  held  in  a  circular  orbit  by  a

magnetic  field  perpendicular  to  the  orbital  plane.  The
magnetic field is gradually increased to induce an electric
field around the orbit. (a) Show that the electric field is in
the  correct  direction  to  make  the  electrons  speed  up.
(b) Assume that the radius of the orbit remains constant.
Show  that  the  average  magnetic  field  over  the  area
enclosed  by  the  orbit  must  be  twice  as  large  as  the
magnetic field at the circumference of the circle.

70.

A wire 30.0 cm long is held parallel to and 80.0 cm above a
long  wire  carrying  200 A  and  resting  on  the  floor  (Fig.
P31.70). The 30.0-cm wire is released and falls, remaining
parallel  with  the  current-carrying  wire  as  it  falls.  Assume
that the falling wire accelerates at 9.80 m/s

2

and derive an

equation for the emf induced in it. Express your result as a
function  of  the  time  t after  the  wire  is  dropped.  What  is
the induced emf 0.300 s after the wire is released?

A long, straight wire carries a current that is given by

I " I

max

sin(*t 2 4)  and  lies  in  the  plane  of  a  rectangular

coil of N turns of wire, as shown in Figure P31.9. The quanti-
ties  I

max

,  *,  and  4 are  all  constants.  Determine  the  emf

induced  in  the coil  by  the  magnetic  field  created  by  the
current  in  the straight  wire.  Assume  I

max

"

50.0 A,

* "

200, s

%

1

, N " 100, h " w " 5.00 cm, and L " 20.0 cm.

72.

A dime is suspended from a thread and hung between the
poles  of  a  strong  horseshoe  magnet  as  shown  in  Figure
P31.72.  The  dime  rotates  at  constant  angular  speed  *

71.

Problems

1001

R

M

m

B

!

g

Figure P31.66

The moving

straight rod

P

Q

O

B

out

 

θ

a

Figure P31.68

30.0 cm

80.0 cm

I = 200 A

Figure P31.70

ω

N

S

Figure P31.72

about  a  vertical  axis.  Letting  # represent  the  angle
between the direction of B and the normal to the face of
the  dime,  sketch  a  graph  of  the  torque  due  to  induced
currents as a function of # for 0 0 # 0 2,.

Answers to Quick Quizzes

31.1 (c). In all cases except this one, there is a change in the

magnetic flux through the loop.

31.2 c, d " e, b, a. The magnitude of the emf is proportional

to the rate of change of the magnetic flux. For the situa-
tion  described,  the  rate  of  change  of  magnetic  flux  is
proportional  to  the  rate  of  change  of  the  magnetic
field.  This  rate  of  change  is  the  slope  of  the  graph  in
Figure 31.4. The magnitude of the slope is largest at c.
Points d and e are on a straight line, so the slope is the
same  at  each  point.  Point  b represents  a  point  of  rela-
tively  small  slope,  while  a is  at  a  point  of  zero  slope
because the curve is horizontal at that point.

31.3 (b).  The  magnetic  field  lines  around  the  transmission

cable will be circular, centered on the cable. If you place
your  loop  around  the  cable,  there  are  no  field  lines
passing  through  the  loop,  so  no  emf  is  induced.  The
loop must be placed next to the cable, with the plane of
the  loop  parallel  to  the  cable  to  maximize  the  flux
through its area.

31.4 (a). The Earth’s magnetic field has a downward compo-

nent  in  the  northern  hemisphere.  As  the  plane  flies
north,  the  right-hand  rule  illustrated  in  Figure  29.4
indicates  that  positive  charge  experiences  a  force
directed  toward  the  west.  Thus,  the  left  wingtip
becomes positively charged and the right wingtip nega-
tively charged.

31.5 (c). The force on the wire is of magnitude F

app

"

F

B

"

I!B,  with  I given  by  Equation  31.6.  Thus,  the  force  is
proportional  to  the  speed  and  the  force  doubles.
Because  " " F

app

v,  the  doubling  of  the  force  and the

speed results in the power being four times as large.

31.6 (b).  According  to  Equation  31.5,  because  B and  v are

fixed,  the  emf  depends  only  on  the  length  of  the  wire
moving  in  the  magnetic  field.  Thus,  you  want  the  long
dimension  moving  through  the  magnetic  field  lines  so
that it is perpendicular to the velocity vector. In this case,
the short dimension is parallel to the velocity vector.

31.7 (a).  Because  the  current  induced  in  the  solenoid  is

clockwise  when  viewed  from  above,  the  magnetic  field
lines  produced  by  this  current  point  downward  in
Figure 31.15. Thus, the upper end of the solenoid acts
as a south pole. For this situation to be consistent with
Lenz’s  law,  the  south  pole  of  the  bar  magnet  must  be
approaching the solenoid.

31.8 (b). At the position of the loop, the magnetic field lines

due to the wire point into the page. The loop is entering
a region of stronger magnetic field as it drops toward the
wire, so the flux is increasing. The induced current must
set up a magnetic field that opposes this increase. To do
this, it creates a magnetic field directed out of the page.
By the right-hand rule for current loops, this requires a
counterclockwise current in the loop.

31.9 (d).  The  constant  rate  of  change  of  B will  result  in  a

constant rate of change of the magnetic flux. According
to Equation 31.9, if d !

B

/dt is constant, 

E is constant in

magnitude.

31.10 (a).  While  reducing  the  resistance  may  increase  the

current that the generator provides to a load, it does not
alter the emf. Equation 31.11 shows that the emf depends
on *, B, and N, so all other choices increase the emf.

31.11 (b).  When  the  aluminum  sheet  moves  between  the

poles  of  the  magnet,  eddy  currents  are  established  in
the aluminum. According to Lenz’s law, these currents
are in a direction so as to oppose the original change,
which  is  the  movement  of  the  aluminum  sheet  in  the
magnetic field. The same principle is used in common
laboratory triple-beam balances. See if you can find the
magnet and the aluminum sheet the next time you use
a triple-beam balance.

1002

CHAPTE R 31 •  Faraday’s Law

1003

Inductance

C H A P T E R   O U T L I N E

32.1 Self-Inductance

32.2

RL

Circuits

32.3 Energy in a Magnetic Field

32.4 Mutual Inductance

32.5 Oscillations in an 

LC

Circuit

32.6 The 

RLC

Circuit

Chapter 32

▲

An airport metal detector contains a large coil of wire around the frame. This coil has

a property called inductance. When a passenger carries metal through the detector, the
inductance of the coil changes, and the change in inductance signals an alarm to sound.
(Jack Hollingsworth/Getty Images)

1004

I

n  Chapter  31,  we  saw  that  an  emf  and  a  current  are  induced  in  a  circuit  when  the

magnetic  flux  through  the  area  enclosed  by  the  circuit  changes  with  time.  This
phenomenon  of  electromagnetic  induction  has  some  practical  consequences.  In  this
chapter,  we  first  describe  an  effect  known  as  self-induction, in  which  a  time-varying
current in a circuit produces an induced emf opposing the emf that initially set up the
time-varying  current.  Self-induction  is  the  basis  of  the  inductor, an  electrical  circuit
element.  We  discuss  the  energy  stored  in  the  magnetic  field  of  an  inductor  and  the
energy density associated with the magnetic field.

Next, we study how an emf is induced in a circuit as a result of a changing magnetic

flux produced by a second circuit; this is the basic principle of mutual induction. Finally,
we examine the characteristics of circuits that contain inductors, resistors, and capaci-
tors in various combinations.

32.1 Self-Inductance

In  this  chapter,  we  need  to  distinguish  carefully  between  emfs  and  currents  that  are
caused by batteries or other sources and those that are induced by changing magnetic
fields.  When  we  use  a  term  without  an  adjective  (such  as  emf  and  current)  we  are
describing  the  parameters  associated  with  a  physical  source.  We  use  the  adjective
induced to describe those emfs and currents caused by a changing magnetic field.

Consider a circuit consisting of a switch, a resistor, and a source of emf, as shown in

Figure  32.1.  When  the  switch  is  thrown  to  its  closed  position,  the  current  does  not
immediately jump from zero to its maximum value 

!

/R. Faraday’s law of electromag-

netic induction (Eq. 31.1) can be used to describe this effect as follows: as the current
increases with time, the magnetic flux through the circuit loop due to this current also
increases  with  time.  This  increasing  flux  creates  an  induced  emf  in  the  circuit.  The
direction of the induced emf is such that it would cause an induced current in the loop
(if  the  loop  did  not  already  carry  a  current),  which  would  establish  a  magnetic  field
opposing the change in the original magnetic field. Thus, the direction of the induced
emf is opposite the direction of the emf of the battery; this results in a gradual rather
than instantaneous increase in the current to its final equilibrium value. Because of the
direction of the induced emf, it is also called a back emf, similar to that in a motor, as
discussed in Chapter 31. This effect is called 

self-induction because the changing flux

through the circuit and the resultant induced emf arise from the circuit itself. The emf

!

L

set up in this case is called a 

self-induced emf.

As  a  second  example  of  self-induction,  consider  Figure  32.2,  which  shows  a  coil

wound on a cylindrical core. Assume that the current in the coil either increases or de-
creases  with  time.  When  the  current  is  in  the  direction  shown,  a  magnetic  field
directed  from  right  to  left  is  set  up  inside  the  coil,  as  seen  in  Figure  32.2a.  As  the
current  changes  with  time,  the  magnetic  flux  through  the  coil  also  changes  and
induces an emf in the coil. From Lenz’s law, the polarity of this induced emf must be
such that it opposes the change in the magnetic field from the current. If the current

B

ε

R

S

I

I

Figure 32.1 After the switch is

closed, the current produces a

magnetic flux through the area

enclosed by the loop. As the

current increases toward its

equilibrium value, this magnetic

flux changes in time and induces

an emf in the loop.