Physics For Scientists And Engineers 6E - part 234

30.3 Ampère’s Law

Oersted’s  1819  discovery  about  deflected  compass  needles  demonstrates  that  a
current-carrying  conductor  produces  a  magnetic  field.  Figure  30.9a  shows  how
this effect  can  be  demonstrated  in  the  classroom.  Several  compass  needles
are placed  in  a  horizontal  plane  near  a  long  vertical  wire.  When  no  current  is

SECTION 3 0.3 •  Ampère’s Law

933

Quick  Quiz  30.2

For  I

1

"

2 A  and  I

2

"

6 A  in  Figure  30.8,  which  is  true:

(a) F

1

"

3F

2

, (b) F

1

"

F

2

/3, (c) F

1

"

F

2

?

Quick Quiz 30.3

A loose spiral spring carrying no current is hung from the

ceiling. When a switch is thrown so that a current exists in the spring, do the coils move
(a) closer together, (b) farther apart, or (c) do they not move at all?

When a conductor carries a steady current of 1 A, the quantity of charge that flows
through a cross section of the conductor in 1 s is 1 C.

The  value  2 & 10

'

7

N/m  is  obtained  from  Equation  30.12  with  I

1

"

I

2

"

1 A  and

a " 1 m. Because this definition is based on a force, a mechanical measurement can be
used to standardize the ampere. For instance, the National Institute of Standards and
Technology  uses  an  instrument  called  a  current  balance  for  primary  current  measure-
ments. The results are then used to standardize other, more conventional instruments,
such as ammeters.

The SI unit of charge, the 

coulomb, is defined in terms of the ampere:

Andre-Marie Ampère

French Physicist (1775–1836)

Ampère is credited with the

discovery of electromagnetism—

the relationship between electric

currents and magnetic fields.

Ampère’s genius, particularly in

mathematics, became evident

by the time he was 12 years old;

his personal life, however, was

filled with tragedy. His father,

a wealthy city official, was

guillotined during the French

Revolution, and his wife died

young, in 1803. Ampère died at

the age of 61 of pneumonia. His

judgment of his life is clear from

the epitaph he chose for his

gravestone: Tandem Felix

(Happy at Last). (Leonard de
Selva/CORBIS)

In  deriving  Equations  30.11  and  30.12,  we  assumed  that  both  wires  are  long

compared with their separation distance. In fact, only one wire needs to be long. The
equations  accurately  describe  the  forces  exerted  on  each  other  by  a  long  wire  and  a
straight parallel wire of limited length !.

Active Figure 30.9 (a) When no current is present in the wire, all compass needles

point in the same direction (toward the Earth’s north pole). (b) When the wire carries

a strong current, the compass needles deflect in a direction tangent to the circle, which

is the direction of the magnetic field created by the current. (c) Circular magnetic field

lines surrounding a current-carrying conductor, displayed with iron filings.

© 

Richard Megna, Fundamental Photographs

(a)

(b)

I  =  0

I

ds

B

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can change the value of the

current to see the effect on the

compasses.

(c)

present  in  the  wire,  all  the  needles  point  in  the  same  direction  (that  of
the Earth’s magnetic  field),  as  expected.  When  the  wire  carries  a  strong,  steady
current, the  needles  all  deflect  in  a  direction  tangent  to  the  circle,  as  in  Figure
30.9b.  These  observations  demonstrate  that  the  direction  of  the  magnetic  field
produced by the current in the wire is consistent with the right-hand rule described
in  Figure  30.4.  When  the  current  is  reversed,  the  needles  in  Figure  30.9b  also
reverse.

Because  the  compass  needles  point  in  the  direction  of 

B,  we  conclude  that

the lines  of 

B form circles around the wire, as discussed in the preceding section.

By symmetry,  the  magnitude  of 

B is  the  same  everywhere  on  a  circular  path

centered on the wire and lying in a plane perpendicular to the wire. By varying the
current  and  distance  a from  the  wire,  we  find  that  B is  proportional  to  the
current and inversely proportional to the distance from the wire, as Equation 30.5
describes.

Now  let  us  evaluate  the  product 

B ( ds for  a  small  length  element  ds on  the

circular path defined by the compass needles, and sum the products for all elements
over  the  closed  circular  path.

2

Along  this  path,  the  vectors  d

s and  B are  parallel

at each  point  (see  Fig.  30.9b),  so 

B ( ds " B ds. Furthermore,  the  magnitude

of

B is constant on this circle and is given by Equation 30.5. Therefore, the sum of

the products  B ds over  the  closed  path,  which  is  equivalent  to  the  line  integral
of

B ( ds, is

where 

#ds " 2$r is the circumference of the circular path. Although this result was

calculated  for  the  special  case  of  a  circular  path  surrounding  a  wire,  it  holds
for a closed path of any shape (an amperian loop) surrounding a current that exists
in an unbroken  circuit.  The  general  case,  known  as 

Ampère’s  law, can  be  stated

as follows:

%

  

B(ds " B  

%

 

 

ds "

#

0

I

2$r

 (2$

 

r) " #

0

I

934

CHAPTE R 3 0 •  Sources of the Magnetic Field

▲

PITFALL PREVENTION 

30.2 Avoiding Problems

with Signs

When  using  Ampère’s  law,  apply
the  following  right-hand  rule.
Point your thumb in the direction
of the current through the amper-
ian loop. Your curled fingers then
point  in  the  direction  that  you
should integrate around the loop
in order to avoid having to define
the current as negative.

Ampère’s law

The  line  integral  of 

B ( ds around any closed path equals #

0

I,  where  I is  the  total

steady current passing through any surface bounded by the closed path.

(30.13)

%

  

B(d

 

s " #

0

I

Ampère’s  law  describes  the  creation  of  magnetic  fields  by  all  continuous  current

configurations,  but  at  our  mathematical  level  it  is  useful  only  for  calculating  the
magnetic field of current configurations having a high degree of symmetry. Its use is
similar to that of Gauss’s law in calculating electric fields for highly symmetric charge
distributions.

Quick  Quiz  30.4

Rank  the  magnitudes  of 

# B ( ds for  the  closed  paths  in

Figure 30.10, from least to greatest.

×

1 A

5 A

b

a

d

c

2 A

Figure 30.10 (Quick Quiz 30.4)

Four closed paths around three

current-carrying wires.

2

You may wonder why we would choose to do this. The origin of Ampère’s law is in nineteenth

century  science,  in  which  a  “magnetic  charge”  (the  supposed  analog  to  an  isolated  electric

charge) was imagined to be moved around a circular field line. The work done on the charge was

related to

B ( ds, just as the work done moving an electric charge in an electric field is related to

E ( ds. Thus, Ampère’s law, a valid and useful principle, arose from an erroneous and abandoned

work calculation!

SECTION 3 0.3 •  Ampère’s Law

935

A long, straight wire of radius R carries a steady current I
that  is  uniformly  distributed  through  the  cross  section  of
the  wire  (Fig.  30.12).  Calculate  the  magnetic  field  a
distance r from the center of the wire in the regions r - R
and r . R.

Solution Figure  30.12  helps  us  to  conceptualize  the  wire
and  the  current.  Because  the  wire  has  a  high  degree  of
symmetry,  we  categorize  this  as  an  Ampère’s  law  problem.
For  the  r - R case,  we  should  arrive  at  the  same  result
we obtained  in  Example  30.1,  in  which  we  applied
the Biot–Savart  law  to  the  same  situation.  To  analyze  the
problem,  let  us  choose  for  our  path  of  integration  circle  1
in Figure  30.12.  From  symmetry, 

B must  be  constant  in

magnitude  and  parallel  to  d

s at  every  point  on  this  circle.

Because the total current passing through the plane of the

Quick  Quiz  30.5

Rank  the  magnitudes  of 

# B ( ds for  the  closed  paths  in

Figure 30.11, from least to greatest.

a

b

c

d

Figure 30.11 (Quick Quiz 30.5) Several closed paths near a single current-carrying wire.

Example 30.4 The Magnetic Field Created by a Long Current-Carrying Wire

circle is I, Ampère’s law gives

(for r - R)

(30.14)

which  is  identical  in  form  to  Equation  30.5.  Note  how
much  easier  it  is  to  use  Ampère’s  law  than  to  use  the
Biot–Savart law. This is often the case in highly symmetric
situations.

Now  consider  the  interior  of  the  wire,  where  r . R.

Here the current I % passing through the plane of circle 2 is
less than the total current I. Because the current is uniform
over the cross section of the wire, the fraction of the current
enclosed  by  circle  2  must  equal  the  ratio  of  the  area  $r

2

enclosed  by  circle  2  to  the  cross-sectional  area  $R

2

of  the

wire:

3

Following  the  same  procedure  as  for  circle  1,  we  apply
Ampère’s law to circle 2:

%

 

 

B(d

 

s " B(2$r) " #

0

I

 

% "

#

0

 

&

r

2

R

2

 I

'

I

 

% "

r

 

2

R

 

2

 

 

I

 

I %

I

"

$

r

 

2

$

R

 

2

 

#

0

I

2$r

B "

%

 

 

B(ds " B 

%

 ds " B(2$r) " #

0

I

Figure 30.12 (Example 30.4) A long, straight wire of radius R

carrying a steady current I uniformly distributed across the

cross section of the wire. The magnetic field at any point can be

calculated from Ampère’s law using a circular path of radius r,

concentric with the wire.

2

R

r

1

I

ds

3

Another way to look at this problem is to realize that the current enclosed by circle 2 must

equal the product of the current density J " I/

$

R

2

and the area 

$

r

2

of this circle.

936

CHAPTE R 3 0 •  Sources of the Magnetic Field

due  to  an  infinite  sheet  of  charge  does  not  depend  on
distance  from  the  sheet.  Thus,  we  might  expect  a  similar
result here for the magnetic field.

To  evaluate  the  line  integral  in  Ampère’s  law,  we

construct a rectangular path through the sheet, as in Figure
30.15. The rectangle has dimensions ! and w, with the sides
of length ! parallel to the sheet surface. The net current in
the plane of the rectangle is J

s

!

. We apply Ampère’s law over

the rectangle and note that the two sides of length w do not
contribute to the line integral because the component of 

B

So  far  we  have  imagined  currents  carried  by  wires  of  small
cross  section.  Let  us  now  consider  an  example  in  which  a
current exists in an extended object. A thin, infinitely large
sheet lying in the yz plane carries a current of linear current
density 

J

s

. The current is in the y direction, and J

s

represents

the current per unit length measured along the z axis. Find
the magnetic field near the sheet.

Solution This situation is similar to those involving Gauss’s
law (see Example 24.8). You may recall that the electric field

A device called a toroid (Fig. 30.14) is often used to create an
almost uniform magnetic  field in some enclosed area. The
device consists of a conducting wire wrapped around a ring
(a  torus)  made  of  a  nonconducting  material.  For  a  toroid
having N closely spaced turns of wire, calculate the magnetic
field in the region occupied by the torus, a distance r from
the center.

Solution To  calculate  this  field,  we  must  evaluate 

#B ( ds

over  the  circular  amperian  loop  of  radius  r in  the  plane  of
Figure 30.14. By symmetry, we see that the magnitude of the
field is constant on this circle and tangent to it, so 

B ( ds "

B ds. Furthermore, the wire passes through the loop N times,

so that the total current through the loop is NI. Therefore,
the right side of Equation 30.13 is #

0

NI in this case.

Ampère’s law applied to the circle gives

(30.16)

This result shows that B varies as 1/r and hence is nonuniform
in  the  region  occupied  by  the  torus.  However,  if  r is  very
large compared with the cross-sectional radius a of the torus,
then the field is approximately uniform inside the torus.

For an ideal toroid, in which the turns are closely spaced,

the  external  magnetic  field  is  close  to  zero.  It  is  not  exactly
zero,  however.  In  Figure  30.14,  imagine  the  radius  r of  the
amperian loop to be either smaller than b or larger than c. In
either case, the loop encloses zero net current, so 

# B(ds " 0.

We might be tempted to claim that this proves that 

B " 0, but

it  does  not.  Consider  the  amperian  loop  on  the  right  side
of the toroid in Figure 30.14. The plane of this loop is perpen-
dicular to the page, and the toroid passes through the loop. As
charges enter the toroid as indicated by the current directions
in Figure 30.14, they work their way counterclockwise around
the toroid. Thus, a current passes through the perpendicular
amperian loop! This current is small, but it is not zero. As a
result, the toroid acts as a current loop and produces a weak
external  field  of  the  form  shown  in  Figure  30.7.  The  reason
that 

# B(d s " 0  for  the  amperian  loops  of  radius  r . b and

r , c in the plane of the page is that the field lines are perpen-
dicular to d

s, not because B " 0.

#

0

NI

2$r

B "

%

  

B(d

 

s " B  

%

 

ds " B(2$r) " #

0

NI

Figure 30.14 (Example 30.5) A toroid consisting of many

turns of wire. If the turns are closely spaced, the magnetic field

in the interior of the torus (the gold-shaded region) is tangent

to the dashed circle and varies as 1/r. The dimension a is the

cross-sectional radius of the torus. The field outside the toroid

is very small and can be described by using the amperian loop

at the right side, perpendicular to the page.

Figure 30.13 (Example 30.4) Magnitude of the magnetic field

versus r for the wire shown in Figure 30.12. The field is propor-

tional to r inside the wire and varies as 1/r outside the wire.

R

r

B 

∝ 1/r

B 

∝ r

B

B

c

a

ds

I

I

r

b

Example 30.5 The Magnetic Field Created by a Toroid

Example 30.6 Magnetic Field Created by an Infinite Current Sheet

(30.15)

To  finalize  this  problem,  note  that  this  result  is  similar
in form  to  the  expression  for  the  electric  field  inside  a
uniformly  charged  sphere  (see  Example  24.5).  The  magni-
tude  of  the  magnetic  field  versus  r for  this  configuration
is plotted in Figure 30.13. Note that inside the wire, B : 0
as  r : 0.  Furthermore,  we  see  that  Equations  30.14  and
30.15  give  the  same  value  of  the  magnetic  field  at  r " R,
demonstrating  that  the  magnetic  field  is  continuous  at  the
surface of the wire.

(for r 

 

.

 R)

&

#

0

I

2$R

 

2

'

 r

B "