Physics For Scientists And Engineers 6E - part 233

SECTION 3 0.1 •  The Biot–Savart Law

929

Figure 30.3 (Example 30.1) (a) A thin, straight wire carrying a

current I. The magnetic field at point P due to the current in

each element ds of the wire is out of the page, so the net field at

point P is also out of the page. (b) The angles 

!

1

and 

!

2

used

for determining the net field. When the wire is infinitely long,

!

1

"

0 and 

!

2

"

180°.

(a)

O

x

ds

I

θ

rˆ

r

a

P

ds  = dx

x

(b)

θ

1

P

θ

2

θ

θ

y

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can explore the field for different lengths of wire.

Example 30.1 Magnetic Field Surrounding a Thin, Straight Conductor

Consider a thin, straight wire carrying a constant current
I and  placed  along  the  x axis  as  shown  in  Figure  30.3.
Determine the magnitude and direction of the magnetic
field at point P due to this current.

Solution From  the  Biot–Savart  law,  we  expect  that  the
magnitude  of  the  field  is  proportional  to  the  current  in
the wire and decreases as the distance a from the wire to
point  P increases.  We  start  by  considering  a  length
element ds located a distance r from P. The direction of
the  magnetic  field  at  point  P due  to  the  current  in  this
element  is  out  of  the  page  because  d

s ! ˆr is  out  of  the

page. In fact, because all of the current elements I d

s lie

in the plane of the page, they all produce a magnetic field
directed  out of  the  page  at  point  P.  Thus,  we  have  the
direction  of  the  magnetic  field  at  point  P,  and  we  need
only  find  the  magnitude.  Taking  the  origin  at  O and
letting point P be along the positive y axis, with 

kˆ being a

unit vector pointing out of the page, we see that

where

represents  the  magnitude  of  d

s !

rˆ

.

Because 

rˆ

is  a  unit  vector,  the  magnitude  of  the  cross

"ds ! ˆr"

d

s ! ˆr " "ds ! ˆr" ˆk " (dx sin !) ˆk

product is simply the magnitude of d

s, which is the length

dx. Substitution into Equation 30.1 gives

Because  all  current  elements  produce  a  magnetic  field
in the 

kˆ direction,  let  us  restrict  our  attention  to  the

magnitude of the field due to one current element, which is

To integrate this expression, we must relate the variables !,
x, and r. One approach is to express x and r in terms of !.
From the geometry in Figure 30.3a, we have

Because  tan  ! " a/(' x)  from  the  right  triangle  in  Figure
30.3a (the negative sign is necessary because d

s is located at

a negative value of x), we have

x " 'a cot !

Taking the derivative of this expression gives

(3)

dx " a csc

2

!

d!

Substitution of Equations (2) and (3) into Equation (1) gives

an expression in which the only variable is !. We now obtain
the magnitude of the magnetic field at point P by integrat-
ing  Equation  (4)  over  all  elements,  where  the  subtending
angles range from !

1

to !

2

as defined in Figure 30.3b:

(30.4)

We can use this result to find the magnetic field of any

straight current-carrying wire if we know the geometry and
hence the angles !

1

and !

2

. Consider the special case of an

infinitely  long,  straight  wire.  If  we  let  the  wire  in  Figure
30.3b become infinitely long, we see that !

1

"

0 and !

2

"

$

for length elements ranging between positions x " ' ) and
x " * ). Because (cos !

1

'

cos !

2

) " (cos 0 ' cos $) " 2,

Equation 30.4 becomes

(30.5)

Equations  30.4  and  30.5  both  show  that  the  magnitude  of
the  magnetic  field  is  proportional  to  the  current  and
decreases  with  increasing  distance  from  the  wire,  as  we
expected.  Notice  that  Equation  30.5  has  the  same  mathe-
matical  form  as  the  expression  for  the  magnitude  of  the
electric field due to a long charged wire (see Eq. 24.7).

#

0

I

2$a

B "

#

0

I

4$a

 (cos !

1

'

cos !

2

)

B "

#

0

I

4$a

 

!

!

2

!

1

 sin ! d! "

(4)

     

dB "

#

0

I

4$

 

a csc

2

 ! sin ! d!

a

 

2

 csc

2

 !

"

 #

0

I

4$a

  sin ! d!

(2)

     

r "

a

sin !

"

a csc !

(1)

     

dB "

#

0

 

I

4$

 

dx sin !

r

 

2

d

 

B " (dB)ˆk "

#

0

I

4$

 

dx sin !

r

 

2

 ˆ

k

Interactive

930

CHAPTE R 3 0 •  Sources of the Magnetic Field

Figure 30.5 (Example 30.2) The magnetic field at O due to

the current in the curved segment AC is into the page. The

contribution to the field at O due to the current in the two

straight segments is zero.

Calculate  the  magnetic  field  at  point  O for  the  current-
carrying  wire  segment  shown  in  Figure  30.5.  The  wire
consists of two straight portions and a circular arc of radius
R, which subtends an angle !. The arrowheads on the wire
indicate the direction of the current.

Solution The magnetic field at O due to the current in the
straight segments AA% and CC% is zero because d

s is parallel

to 

rˆ along  these  paths;  this  means  that  ds ! rˆ " 0.  Each

length element d

s along path AC is at the same distance R

from O, and the current in each contributes a field element
d

B directed  into  the  page  at  O.  Furthermore,  at  every

point on AC, d

s is perpendicular to rˆ; hence, 

Using this information and Equation 30.1, we can find the
magnitude of the field at O due to the current in an element

"ds ! ˆr" " ds.

Consider  a  circular  wire  loop  of  radius  R located  in  the  yz
plane  and  carrying  a  steady  current  I,  as  in  Figure  30.6.
Calculate the magnetic field at an axial point P a distance x
from the center of the loop.

of length ds:

Because I and R are constants in this situation, we can easily
integrate this expression over the curved path AC:

(30.6)

where we have used the fact that s " R! with ! measured in
radians.  The  direction  of 

B is  into  the  page  at  O because

d

s ! rˆ is into the page for every length element.

What If?

What if you were asked to find the magnetic field

at the center of a circular wire loop of radius R that carries a
current  I?  Can  we  answer  this  question  at  this  point  in  our
understanding of the source of magnetic fields?

Answer Yes,  we  can. We  argued  that  the  straight  wires  in
Figure  30.5  do  not  contribute  to  the  magnetic  field.  The
only contribution is from the curved segment. If we imagine
increasing  the  angle  !,  the  curved  segment  will  become  a
full  circle  when  ! " 2$.  Thus,  we  can  find  the  magnetic
field  at  the  center  of  a  wire  loop  by  letting  ! " 2$ in
Equation 30.6:

We  will  confirm  this  result  as  a  limiting  case  of  a  more
general result in Example 30.3.

B "

#

0

I

4$R

  

2$ "

#

0

I

2R

 

#

0

I

4$R

 !

B "

#

0

I

4$R

 

2

 

!

 

ds "

#

0

I

4$R

 

2

 

s "

 dB "

#

0

I

4$

 

ds

R

2

Solution In  this  situation,  every  length  element  d

s is  per-

pendicular  to  the  vector 

rˆ at  the  location  of  the  element.

Thus, for any element, 

(1)sin 90+ " ds. Fur-

thermore,  all  length  elements  around  the  loop  are  at  the

"ds ! ˆr" " (ds)

Example 30.3 Magnetic Field on the Axis of a Circular Current Loop

Example 30.2 Magnetic Field Due to a Curved Wire Segment

The  result  of  Example  30.1  is  important  because  a  current  in  the  form  of  a

long, straight  wire  occurs  often.  Figure  30.4  is  a  perspective  view  of  the  magnetic
field surrounding a long, straight current-carrying wire. Because of the symmetry of
the  wire,  the  magnetic  field  lines  are  circles  concentric  with  the  wire  and  lie  in
planes perpendicular to the wire. The magnitude of 

B is constant on any circle of

radius  a and  is  given  by  Equation  30.5.  A  convenient  rule  for  determining  the
direction of 

B is to grasp the wire with the right hand, positioning the thumb along

the direction of the current. The four fingers wrap in the direction of the magnetic
field.

Another  observation  we  can  make  in  Figure  30.4  is  that  the  magnetic  field  line

shown has no beginning and no end. It forms a closed loop. This is a major difference
between magnetic field lines and electric field lines, which begin on positive charges
and  end  on  negative  charges.  We  will  explore  this  feature  of  magnetic  field  lines
further in Section 30.6.

a

I

B

Figure 30.4 The right-hand rule

for determining the direction of the

magnetic field surrounding a long,

straight wire carrying a current.

Note that the magnetic field lines

form circles around the wire.

ds

θ

O

A

rˆ

C

I

C

′

A

′

R

R

Interactive

SECTION 31.1 •  The Biot–Savart Law

931

Figure 30.6 (Example 30.3) Geometry for calculating the

magnetic field at a point P lying on the axis of a current loop.

By symmetry, the total field B is along this axis.

Figure 30.7 (Example 30.3) (a) Magnetic field lines surrounding a current loop.

(b) Magnetic field lines surrounding a current loop, displayed with iron filings.

(c) Magnetic field lines surrounding a bar magnet. Note the similarity between this

line pattern and that of a current loop.

© 

Richard Megna, Fundamental Photographs

O

R

θ

ds

y

z

I

ˆr

r

x

θ

P

x

dB

x

dB

y

dB

same  distance  r from  P,  where  r

2

"

x

2

*

R

2

.  Hence,  the

magnitude of d

B due to the current in any length element

d

s is

The direction of d

B is perpendicular to the plane formed

by 

rˆ and ds, as shown in Figure 30.6. We can resolve this

vector  into  a  component  dB

x

along  the  x axis  and  a

component  dB

y

perpendicular  to  the  x axis.  When  the

components  dB

y

are  summed  over  all  elements  around

the loop, the resultant component is zero. That is, by sym-
metry the current in any element on one side of the loop
sets up a perpendicular component of d

B that cancels the

perpendicular  component  set  up  by  the  current  through
the element diametrically opposite it. Therefore, the resul-
tant  field  at  P  must  be  along  the  x  axis and  we  can  find  it
by integrating  the  components  dB

x

"

dB cos  !.  That  is,

dB "

#

0

I

4$

 

"

 

d

 

s ! ˆr

 

"

r

 

2

"

#

0

I

4$

 

ds

(x

 

2

*

R

 

2

)

B " B

x

iˆ where

and we must take the integral over the entire loop. Because
!

,  x,  and  R are  constants  for  all  elements  of  the  loop  and

because cos ! " R/(x

2

*

R

2

)

1/2

, we obtain

(30.7)

where we have used the fact that 

# ds " 2$R (the circumfer-

ence of the loop).

To find the magnetic field at the center of the loop, we set

x " 0 in Equation 30.7. At this special point, therefore,

(30.8)

which is consistent with the result of the 

What If? feature

in Example 30.2.

The pattern of magnetic field lines for a circular current

loop is shown in Figure 30.7a. For clarity, the lines are drawn
for  only  one  plane—one  that  contains  the  axis  of  the  loop.
Note that the field-line pattern is axially symmetric and looks
like the pattern around a bar magnet, shown in Figure 30.7c.

What  If?

What if we consider points on the x axis very far

from the loop? How does the magnetic field behave at these
distant points?

Answer In  this  case,  in  which  x ,, R,  we  can  neglect  the
term R

2

in the denominator of Equation 30.7 and obtain

(30.9)

Because  the  magnitude  of  the  magnetic  moment  # of  the
loop is defined as the product of current and loop area (see

B

$

#

 

0

IR

 

2

2x

 

3

   

(for x 

 

,,

 R)

B "

#

0

I

2R

   

(at x " 0)

#

0

IR

 

2

2(x

 

2

*

R

 

2

)

3/2

B

x

"

#

0

IR

4$(x

2

*

R

2

)

3/2

  

%

 ds "

B

x

"

%

 dB cos ! "

#

0

I

4$

  

%

  

ds cos !

x

 

2

*

R

 

2

(a)

(b)

(c)

S

N

I

S

N

932

CHAPTE R 3 0 •  Sources of the Magnetic Field

30.2 The Magnetic Force Between

Two Parallel Conductors

In Chapter 29 we described the magnetic force that acts on a current-carrying conduc-
tor placed in an external magnetic field. Because a current in a conductor sets up its
own magnetic field, it is easy to understand that two current-carrying conductors exert
magnetic forces on each other. Such forces can be used as the basis for defining the
ampere and the coulomb.

Consider  two  long,  straight,  parallel  wires  separated  by  a  distance  a and  carrying

currents I

1

and I

2

in the same direction, as in Figure 30.8. We can determine the force

exerted on one wire due to the magnetic field set up by the other wire. Wire 2, which
carries a current I

2

and is identified arbitrarily as the source wire, creates a magnetic field

B

2

at the location of wire 1, the test wire. The direction of 

B

2

is perpendicular to wire 1, as

shown in Figure 30.8. According to Equation 29.3, the magnetic force on a length ! of
wire 1 is 

F

1

"

I

1

" !

B

2

. Because " is perpendicular to 

B

2

in this situation, the magnitude

of 

F

1

is F

1

"

I

1

!

B

2

. Because the magnitude of 

B

2

is given by Equation 30.5, we see that

(30.11)

The direction of 

F

1

is toward wire 2 because " !

B

2

is in that direction. If the field set

up at wire 2 by wire 1 is calculated, the force 

F

2

acting on wire 2 is found to be equal in

magnitude and opposite in direction to 

F

1

. This is what we expect because Newton’s

third law must be obeyed.

1

When the currents are in opposite directions (that is, when

one of the currents is reversed in Fig. 30.8), the forces are reversed and the wires repel
each  other.  Hence, 

parallel  conductors  carrying  currents  in  the  same  direction

attract each other, and parallel conductors carrying currents in opposite direc-
tions repel each other.

Because the magnitudes of the forces are the same on both wires, we denote the

magnitude of the magnetic force between the wires as simply F

B

. We can rewrite this

magnitude in terms of the force per unit length:

(30.12)

The force between two parallel wires is used to define the 

ampere as follows:

F

B

!

"

#

0

I

1

I

2

2$a

F

1

"

I

1

!

B

 

2

"

I

1

!

 

&

#

0

I

2

2$a

'

"

#

0

I

1

I

2

2$a

  !

Eq.  29.10),  # " I($R

2

)  for  our  circular  loop.  We  can

express Equation 30.9 as

(30.10)

B

$

#

0

2$

 

#

x

 

3

This  result  is  similar  in  form  to  the  expression  for  the
electric  field  due  to  an  electric  dipole,  E " k

e

(2qa/y

3

)  (see

Example 23.6), where 2qa " p is the electric dipole moment
as defined in Equation 26.16.

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can explore the field for different loop radii.

Active Figure 30.8 Two parallel

wires that each carry a steady

current exert a magnetic force on

each other. The field 

B

2

due to the

current in wire 2 exerts a magnetic

force of magnitude F

1

"

I

1

!

B

2

on

wire 1. The force is attractive if the

currents are parallel (as shown)

and repulsive if the currents are

antiparallel.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the currents in the

wires and the distance between

them to see the effect on the

force.

2

1

B

2

!

a

I

1

I

2

F

1

a

When the magnitude of the force per unit length between two long parallel wires
that carry identical currents and are separated by 1 m is 2 & 10

'

7

N/m, the current

in each wire is defined to be 1 A.

Definition of the ampere

1

Although the total force exerted on wire 1 is equal in magnitude and opposite in direction to

the  total  force  exerted  on  wire  2,  Newton’s  third  law  does  not  apply  when  one  considers  two

small elements of the wires that are not exactly opposite each other. This apparent violation of

Newton’s third law and of the law of conservation of momentum is described in more advanced

treatments on electricity and magnetism.