Physics For Scientists And Engineers 6E - part 231

Problems

921

of the field. Calculate the radius of the path of the ion in
the field.

31.

Review  Problem. One  electron  collides  elastically  with  a
second  electron  initially  at  rest.  After  the  collision,  the
radii of their trajectories are 1.00 cm and 2.40 cm. The tra-
jectories are perpendicular to a uniform magnetic field of
magnitude  0.044 0 T.  Determine  the  energy  (in  keV)  of
the incident electron.

32.

A  proton  moving  in  a  circular  path  perpendicular  to  a 
constant  magnetic  field  takes  1.00 +s  to  complete  one 
revolution.  Determine  the  magnitude  of  the  magnetic
field.
A  proton  (charge ' e,  mass  m

p

),  a  deuteron  (charge  ' e,

mass 2m

p

), and an alpha particle (charge ' 2e, mass 4m

p

)

are  accelerated  through  a  common  potential  difference
0

V. Each of the particles enters a uniform magnetic field

B, with its velocity in a direction perpendicular to B. The
proton  moves  in  a  circular  path  of  radius  r

p

.  Determine

the  radii  of  the  circular  orbits  for  the  deuteron,  r

d

,  and 

the alpha particle, r

1

, in terms of r

p

.

34.

Review  Problem. An  electron  moves  in  a  circular  path
perpendicular  to  a  constant  magnetic  field  of  magnitude
1.00 mT.  The  angular  momentum  of  the  electron  about
the  center  of  the  circle  is  4.00 % 10

$

25

J # s.  Determine

(a) the radius of the circular path and (b) the speed of the
electron.

35. Calculate  the  cyclotron  frequency  of  a  proton  in  a  mag-

netic field of magnitude 5.20 T.

36.

A singly charged ion of mass m is accelerated from rest by a
potential difference 0V. It is then deflected by a uniform
magnetic field (perpendicular to the ion’s velocity) into a
semicircle of radius R. Now a doubly charged ion of mass
m( is  accelerated  through  the  same  potential  difference
and deflected by the same magnetic field into a semicircle
of  radius  R( " 2R.  What  is  the  ratio  of  the  masses  of  the
ions?
A cosmic-ray proton in interstellar space has an energy of
10.0 MeV  and  executes  a  circular  orbit  having  a  radius
equal  to  that  of  Mercury’s  orbit  around  the  Sun  (5.80 %
10

10

m).  What  is  the  magnetic  field  in  that  region  of

space?

38.

Figure  29.21  shows  a  charged  particle  traveling  in  a
nonuniform  magnetic  field  forming  a  magnetic  bottle.
(a) Explain  why  the  positively  charged  particle  in  the
figure  must  be  moving  clockwise.  The  particle  travels
along  a  helix  whose  radius  decreases  and  whose  pitch
decreases  as  the  particle  moves  into  a  stronger  magnetic
field. If the particle is moving to the right along the x axis,
its velocity in this direction will be reduced to zero and it
will  be  reflected  from  the  right-hand  side  of  the  bottle,
acting  as  a  “magnetic  mirror.”  The  particle  ends  up
bouncing  back  and  forth  between  the  ends  of  the  bottle.
(b)  Explain  qualitatively  why  the  axial  velocity  is  reduced
to  zero  as  the  particle  moves  into  the  region  of  strong
magnetic field at the end of the bottle. (c) Explain why the
tangential velocity increases as the particle approaches the
end of the bottle. (d) Explain why the orbiting particle has
a  magnetic  dipole  moment.  (e)  Sketch  the  magnetic
moment and use the result of Problem 17 to explain again

37.

33.

how the nonuniform magnetic field exerts a force on the
orbiting particle along the x axis.

39.

A  singly  charged  positive  ion  moving  at  4.60 % 10

5

m/s

leaves a circular track of radius 7.94 mm along a direction
perpendicular  to  the  1.80-T  magnetic  field  of  a  bubble
chamber. Compute the mass (in atomic mass units) of this
ion, and, from that value, identify it.

Section 29.5 Applications Involving Charged Particles

Moving in a Magnetic Field

40.

A velocity selector consists of electric and magnetic fields
described  by  the  expressions 

E " E kˆ and  B " Bˆj,  with

B " 15.0 mT.  Find  the  value  of  E such  that  a  750-eV
electron moving along the positive x axis is undeflected.

41.

Singly charged uranium-238 ions are accelerated through
a  potential  difference  of  2.00 kV  and  enter  a  uniform
magnetic  field  of  1.20 T  directed  perpendicular  to  their
velocities. (a) Determine the radius of their circular path.
(b) Repeat for uranium-235 ions. What If? How does the
ratio  of  these  path  radii  depend  on  the  accelerating
voltage and on the magnitude of the magnetic field?

42.

Consider  the  mass  spectrometer  shown  schematically  in
Figure 29.24. The magnitude of the electric field between
the  plates  of  the  velocity  selector  is  2 500 V/m,  and
the magnetic  field  in  both  the  velocity  selector  and  the
deflection  chamber  has  a  magnitude  of  0.035 0 T.
Calculate  the  radius  of  the  path for  a  singly  charged  ion
having a mass m " 2.18 % 10

$

26

kg.

A cyclotron designed to accelerate protons has a magnetic
field of magnitude 0.450 T over a region of radius 1.20 m.
What  are  (a)  the  cyclotron  frequency  and  (b)  the  maxi-
mum speed acquired by the protons?

44.

What  is  the  required  radius  of  a  cyclotron  designed  to
accelerate  protons  to  energies  of  34.0 MeV  using  a
magnetic field of 5.20 T?

45.

A  cyclotron  designed  to  accelerate  protons  has  an  outer
radius of 0.350 m. The protons are emitted nearly at rest
from a source at the center and are accelerated through
600 V each time they cross the gap between the dees. The
dees are between the poles of an electromagnet where the
field is 0.800 T. (a) Find the cyclotron frequency. (b) Find
the  speed  at  which  protons  exit  the  cyclotron  and
(c) their maximum kinetic energy. (d) How many revolu-
tions  does  a  proton  make  in  the  cyclotron?  (e)  For  what
time interval does one proton accelerate?

46.

At  the  Fermilab  accelerator  in  Batavia,  Illinois,  protons
having momentum 4.80 % 10

$

16

kg # m/s are held in a cir-

cular orbit of radius 1.00 km by an upward magnetic field.
What is the magnitude of this field?

The picture tube in a television uses magnetic deflec-

tion coils rather than electric deflection plates. Suppose an
electron  beam  is  accelerated  through  a  50.0-kV  potential
difference and then through a region of uniform magnetic
field 1.00 cm wide. The screen is located 10.0 cm from the
center of the coils and is 50.0 cm wide. When the  field is
turned off, the electron beam hits the center of the screen.
What  field  magnitude  is  necessary  to  deflect  the  beam  to
the side of the screen? Ignore relativistic corrections.

47.

43.

922

C H A P T E R   2 9 •  Magnetic Fields

Section 29.6 The Hall Effect

48.

A  flat  ribbon  of  silver  having  a  thickness  t " 0.200 mm  is
used in a Hall-effect measurement of a uniform magnetic
field  perpendicular  to  the  ribbon,  as  shown  in  Figure
P29.48.  The  Hall  coefficient  for  silver  is  R

H

"

0.840 %

10

$

10

m

3

/C. (a) What is the density of charge carriers in

silver? (b) If a current I " 20.0 A produces a Hall voltage
0

V

H

"

15.0 +V, what is the magnitude of the applied mag-

netic field?

liquid metal to be in an electrically insulating pipe having
a rectangular cross section of width w and height h. A uni-
form  magnetic  field  perpendicular  to  the  pipe  affects  a
section  of  length  L (Fig.  P29.53).  An  electric  current
directed  perpendicular  to  the  pipe  and  to  the  magnetic
field  produces  a  current  density J  in  the  liquid  sodium.
(a) Explain why this arrangement produces on the liquid a
force  that  is  directed  along  the  length  of  the  pipe.
(b) Show  that  the  section  of  liquid  in  the  magnetic  field
experiences a pressure increase JLB.

Ag

B

I

t

d

Figure P29.48

J

B

L

w

h

Figure P29.53

Figure P29.55

49.

A  flat  copper  ribbon  0.330 mm  thick  carries  a  steady
current  of  50.0 A  and  is  located  in  a  uniform  1.30-T
magnetic field directed perpendicular to the plane of the
ribbon. If a Hall voltage of 9.60 +V is measured across the
ribbon,  what  is  the  charge  density  of  the  free  electrons?
What effective number of free electrons per atom does this
result indicate?

50.

A Hall-effect probe operates with a 120-mA current. When
the  probe  is  placed  in  a  uniform  magnetic field  of  magni-
tude  0.080 0 T,  it  produces  a  Hall  voltage  of  0.700 +V.
(a) When  it  is  measuring  an  unknown  magnetic  field,
the Hall voltage is 0.330 +V. What is the magnitude of the
unknown field? (b) The thickness of the probe in the direc-
tion of 

B is 2.00 mm. Find the density of the charge carriers,

each of which has charge of magnitude e.
In  an  experiment  that  is  designed  to  measure  the  Earth’s
magnetic field using the Hall effect, a copper bar 0.500 cm
thick  is  positioned  along  an  east–west  direction.  If  a
current of 8.00 A in the conductor results in a Hall voltage
of 5.10 % 10

$

12

V, what is the magnitude of the Earth’s mag-

netic  field?  (Assume  that  n " 8.49 % 10

28

electrons/m

3

and that the plane of the bar is rotated to be perpendicular
to the direction of B.)

Additional Problems

52.

Assume  that  the  region  to  the  right  of  a  certain  vertical
plane contains  a  vertical  magnetic  field  of  magnitude
1.00 mT, and the field is zero in the region to the left of the
plane.  An  electron,  originally  traveling  perpendicular  to
the boundary  plane,  passes  into  the  region  of  the  field.
(a) Determine the time interval required for the electron to
leave the “field-filled” region, noting that its path is a semi-
circle.  (b)  Find  the  kinetic  energy  of  the  electron  if  the
maximum depth of penetration into the field is 2.00 cm.
Sodium  melts  at  99°C.  Liquid  sodium,  an  excellent  ther-
mal  conductor,  is  used  in  some  nuclear  reactors  to  cool 
the  reactor  core.  The  liquid  sodium  is  moved  through
pipes by pumps that exploit the force on a moving charge
in a magnetic field. The principle is as follows. Assume the

53.

51.

54.

A 0.200-kg metal rod carrying a current of 10.0 A glides on
two horizontal rails 0.500 m apart. What vertical magnetic
field  is  required  to  keep  the  rod  moving  at  a  constant
speed if the coefficient of kinetic friction between the rod
and rails is 0.100?

55.

Protons having a kinetic energy of 5.00 MeV are moving in
the  positive  x direction  and  enter  a  magnetic  field

B " 0.050 0kˆ T directed out of the plane of the page and
extending  from  x " 0  to  x " 1.00 m,  as  shown  in  Figure
P29.55.  (a)  Calculate  the  y component  of  the  protons’
momentum as they leave the magnetic field. (b) Find the
angle  1 between  the  initial  velocity  vector  of  the  proton
beam  and  the  velocity  vector  after  the  beam  emerges
from the  field.  Ignore  relativistic  effects  and  note  that
1 eV " 1.60 % 10

$

19

J.

56.

(a)  A  proton  moving  in  the  ' x direction  with  velocity 
v " v

i

iˆ experiences  a  magnetic  force  F " F

i

jˆ in  the  ' y

direction. Explain what you can and cannot infer about 

B

from  this  information.  (b)  What  If ?  In  terms  of  F

i

,  what

would be the force on a proton in the same field moving
with velocity 

v " $v

i

iˆ? (c) What would be the force on an

electron in the same field moving with velocity 

v " v

i

iˆ?

A positive charge q " 3.20 % 10

$

19

C moves with a velocity

v " (2iˆ ' 3jˆ $ kˆ) m/s through a region where both a uni-
form  magnetic  field  and  a  uniform  electric  field  exist.
(a) Calculate  the  total  force  on  the  moving  charge 
(in  unit-vector  notation),  taking 

B " (2iˆ ' 4jˆ ' kˆ)  T  and

E " (4iˆ $ jˆ $ 2kˆ)  V/m.  (b)  What  angle  does  the  force
vector make with the positive x axis?

57.

Problems

923

58.

Review  Problem.  A  wire  having  a  linear  mass  density  of
1.00 g/cm  is  placed  on  a  horizontal  surface  that  has  a
coefficient  of  kinetic  friction  of  0.200.  The  wire  carries  a
current of 1.50 A toward the east and slides horizontally to
the  north.  What  are  the  magnitude  and  direction  of  the
smallest  magnetic  field  that  enables  the  wire  to  move  in
this fashion?

59.

Electrons  in  a  beam  are  accelerated  from  rest  through  a
potential difference 0V. The beam enters an experimental
chamber through a small hole. As shown in Figure P29.59,
the  electron  velocity  vectors  lie  within  a  narrow  cone  of
half angle - oriented along the beam axis. We wish to use
a uniform  magnetic  field  directed  parallel  to  the  axis  to
focus  the  beam,  so  that  all  of  the  electrons  can  pass
through  a  small  exit  port  on  the  opposite  side  of  the
chamber  after  they  travel  the  length  d  of  the  chamber.
What  is  the  required  magnitude  of  the  magnetic  field?
Hint:  Because  every  electron  passes  through  the  same
potential  difference  and  the  angle  - is  small,  they  all
require the same time interval to travel the axial distance d.

long. The springs stretch 0.500 cm under the weight of the
wire and the circuit has a total resistance of 12.0 2. When
a magnetic field is turned on, directed out of the page, the
springs stretch an additional 0.300 cm. What is the magni-
tude of the magnetic field?

62.

A  hand-held  electric  mixer  contains  an  electric  motor.
Model the motor as a single flat compact circular coil carry-
ing  electric  current  in  a  region  where  a  magnetic  field  is
produced by an external permanent magnet. You need con-
sider  only  one  instant  in  the  operation  of  the  motor.  (We
will consider motors again in Chapter 31.) The coil moves
because  the  magnetic  field  exerts  torque  on  the  coil,  as
described  in  Section  29.3.  Make  order-of-magnitude  esti-
mates  of  the  magnetic  field,  the  torque  on  the  coil,  the
current in it, its area, and the number of turns in the coil, so
that they are related according to Equation 29.11. Note that
the input power to the motor is electric, given by ! " I 0V,
and the useful output power is mechanical, ! " )..

63.

A  nonconducting  sphere  has  mass  80.0 g  and  radius
20.0 cm. A flat compact coil of wire with 5 turns is wrapped
tightly  around  it,  with  each  turn  concentric  with  the
sphere. As shown in Figure P29.63, the sphere is placed on
an inclined plane that slopes downward to the left, making
an angle ! with the horizontal, so that the coil is parallel to
the  inclined  plane.  A  uniform  magnetic  field  of  0.350 T
vertically upward exists in the region of the sphere. What
current in the coil will enable the sphere to rest in equilib-
rium on the inclined plane? Show that the result does not
depend on the value of !.

Exit

port

d

Entrance

port

∆V

φ

Figure P29.59

24.0 V

5.00 cm

Figure P29.61

θ

B

Figure P29.63

θ

B

I

g

θ

Figure P29.64

60.

Review  Problem. A  proton  is  at  rest  at  the  plane  vertical
boundary  of  a  region  containing  a  uniform  vertical  mag-
netic field B. An alpha particle moving horizontally makes
a  head-on  elastic  collision  with  the  proton.  Immediately
after the collision, both particles enter the magnetic field,
moving  perpendicular  to  the  direction  of  the  field.  The
radius of the proton’s trajectory is R. Find the radius of the
alpha particle’s trajectory. The mass of the alpha particle is
four times that of the proton, and its charge is twice that of
the proton.

61.

The  circuit  in  Figure  P29.61  consists  of  wires  at  the  top
and  bottom  and  identical  metal  springs  in  the  left  and
right sides. The upper portion of the circuit is fixed. The
wire  at  the  bottom  has  a  mass  of  10.0 g  and  is  5.00 cm

64.

A  metal  rod  having  a  mass  per  unit  length  3 carries  a
current  I.  The  rod  hangs  from  two  vertical  wires  in  a
uniform vertical magnetic field as shown in Figure P29.64.
The wires make an angle ! with the vertical when in equi-
librium.  Determine  the  magnitude  of  the  magnetic  field.

924

C H A P T E R   2 9 •  Magnetic Fields

65. A  cyclotron  is  sometimes  used  for  carbon  dating,  as

described  in  Chapter  44.  Carbon-14  and  carbon-12  ions
are  obtained  from  a  sample  of  the  material  to  be  dated,
and  accelerated  in  the  cyclotron.  If  the  cyclotron  has  a
magnetic field of magnitude 2.40 T, what is the difference
in cyclotron frequencies for the two ions?

66.

A uniform magnetic field of magnitude 0.150 T is directed
along  the  positive  x axis.  A  positron  moving  at  5.00 %
10

6

m/s  enters  the  field  along  a  direction  that  makes  an

angle of 85.0° with the x axis (Fig. P29.66). The motion of
the  particle  is  expected  to  be  a  helix,  as  described  in
Section 29.4. Calculate (a) the pitch p and (b) the radius r
of the trajectory.

70.

Table  P29.70  shows  measurements  of  a  Hall  voltage

and  corresponding  magnetic  field  for  a  probe  used  to
measure magnetic fields. (a) Plot these data, and deduce a
relationship between the two variables. (b) If the measure-
ments were taken with a current of 0.200 A and the sample
is made from a material having a charge-carrier density of
1.00 % 10

26

/m

3

, what is the thickness of the sample?

v

r

x

y

z

85

°

B

p

Figure P29.66

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×

θ

θ

x

'

Figure P29.69

A

+

To voltmeter

Blood

flow

Electrodes

B

–

S

Artery

N

Figure P29.71

Consider an electron orbiting a proton and maintained in
a fixed circular path of radius R " 5.29 % 10

$

11

m by the

Coulomb force. Treating the orbiting charge as a current
loop, calculate the resulting torque when the system is in a
magnetic  field  of  0.400 T  directed  perpendicular  to  the
magnetic moment of the electron.

68.

A  singly  charged  ion  completes  five  revolutions  in  a  uni-
form  magnetic  field  of  magnitude  5.00 % 10

$

2

T  in

1.50 ms. Calculate the mass of the ion in kilograms.

69.

A  proton  moving  in  the  plane  of  the  page  has  a  kinetic
energy  of  6.00 MeV.  A  magnetic  field  of  magnitude
B " 1.00 T  is  directed  into  the  page.  The  proton  enters
the  magnetic  field  with  its  velocity  vector  at  an  angle
! "

45.0° to the linear boundary of the field as shown in

Figure  P29.69.  (a)  Find  x,  the  distance  from  the
point of entry  to  where  the  proton  will  leave  the  field.
(b) Determine  !(,  the  angle  between  the  boundary  and
the proton’s velocity vector as it leaves the field.

67.

&

V

H

(

"

V)

B (T)

0

0.00

11

0.10

19

0.20

28

0.30

42

0.40

50

0.50

61

0.60

68

0.70

79

0.80

90

0.90

102

1.00

Table P29.70

71.

A heart surgeon monitors the flow rate of blood through
an  artery  using  an  electromagnetic  flowmeter  (Fig.
P29.71). Electrodes A and B make contact with the outer
surface  of  the  blood  vessel,  which  has  interior  diameter
3.00 mm. (a) For a magnetic field magnitude of 0.040 0 T,
an emf of 160 +V appears between the electrodes. Calcu-
late the speed of the blood. (b) Verify that electrode A is
positive,  as  shown.  Does  the  sign  of  the  emf  depend  on
whether  the  mobile  ions  in  the  blood  are  predominantly
positively or negatively charged? Explain.

72.

As  shown  in  Figure  P29.72,  a  particle  of  mass  m having
positive  charge  q is  initially  traveling  with  velocity  v

jˆ.  At

the origin of coordinates it enters a region between y " 0
and  y " h containing  a  uniform  magnetic  field B

kˆ

directed perpendicularly out of the page. (a) What is the
critical value of v such that the particle just reaches y " h?