Physics For Scientists And Engineers 6E - part 232

Answers to Quick Quizzes

925

Describe the path of the particle under this condition, and
predict  its  final  velocity.  (b)  Specify  the  path  the  particle
takes and its final velocity, if v is less than the critical value.
(c)  What  If?  Specify  the  path  the  particle  takes  and  its
final velocity if v is greater than the critical value.

Answers to Quick Quizzes
29.1 (c). The magnetic force exerted by a magnetic field on a

charge is proportional to the charge’s velocity relative to
the field. If the charge is stationary, as in this situation,
there is no magnetic force.

29.2 (b). The maximum value of sin ! occurs for ! " 90°.
29.3 (e). The right-hand rule gives the direction. Be sure to

account for the negative charge on the electron.

29.4 (a), (b) " (c), (d). The magnitude of the force depends

on the value of sin !. The maximum force occurs when
the  wire  is  perpendicular  to  the  field  (a),  and  there  is

zero force when the wire is parallel (d). Choices (b) and
(c) represent the same force because Case 1 tells us that
a straight wire between A and B will have the same force
on it as the curved wire.

29.5 (c). Use the right-hand rule to determine the direction

of the magnetic field.

29.6 (c),  (b),  (a).  Because  all  loops  enclose  the  same  area

and  carry  the  same  current,  the  magnitude  of  " is  the
same for all. For (c), " points upward and is perpendi-
cular  to  the  magnetic  field  and  ) " +B,  the  maximum
torque possible. For the loop in (a), " points along the
direction  of 

B and  the  torque  is  zero.  For  (b),  the

torque is intermediate between zero and the maximum
value.

29.7 (a) " (b) " (c). Because the magnetic field is uniform,

there is zero net force on all three loops.

29.8 (b). The magnetic force on the particle increases in pro-

portion  to  v,  but  the  centripetal  acceleration  increases
according  to  the  square  of  v.  The  result  is  a  larger
radius, as we can see from Equation 29.13.

29.9 (a). The magnetic force on the particle increases in pro-

portion to B. The result is a smaller radius, as we can see
from Equation 29.13.

29.10 Speed: (a) " (b) " (c). m/q ratio, from greatest to least:

(c), (b), (a). The velocity selector ensures that all three
types of particles have the same speed. We cannot deter-
mine individual masses or charges, but we can rank the
particles  by  m/q ratio.  Equation  29.18  indicates  that
those particles traveling through the circle of greatest ra-
dius have the greatest m/q ratio.

h

+

v

B

Figure P29.72

Chapter 30

Sources of the Magnetic Field

C H A P T E R   O U T L I N E

30.1 The Biot–Savart Law

30.2 The Magnetic Force Between

Two Parallel Conductors

30.3 Ampère’s Law

30.4 The Magnetic Field of a

Solenoid

30.5 Magnetic Flux

30.6 Gauss’s Law in Magnetism

30.7 Displacement Current and the

General Form of Ampère’s
Law

30.8 Magnetism in Matter

30.9 The Magnetic Field of the

Earth

926

▲

A proposed method for launching future payloads into space is the use of rail guns, in

which projectiles are accelerated by means of magnetic forces. This photo shows the firing
of a projectile at a speed of over 3 km/s from an experimental rail gun at Sandia National
Research Laboratories, Albuquerque, New Mexico. (Defense Threat Reduction Agency
[DTRA])

927

I

n  the  preceding  chapter,  we  discussed  the  magnetic  force  exerted  on  a  charged

particle  moving  in  a  magnetic  field.  To  complete  the  description  of  the  magnetic
interaction,  this  chapter  explores  the  origin  of  the  magnetic  field—moving  charges.
We begin by showing how to use the law of Biot and Savart to calculate the magnetic
field produced at some point in space by a small current element. Using this formalism
and the principle of superposition, we then calculate the total magnetic field due to
various current distributions. Next, we show how to determine the force between two
current-carrying  conductors,  which  leads  to  the  definition  of  the  ampere.  We  also
introduce  Ampère’s  law,  which  is  useful  in  calculating  the  magnetic  field  of  a  highly
symmetric configuration carrying a steady current.

This chapter is also concerned with the complex processes that occur in magnetic

materials.  All  magnetic  effects  in  matter  can  be  explained  on  the  basis  of  atomic
magnetic moments, which arise both from the orbital motion of electrons and from an
intrinsic property of electrons known as spin.

30.1 The Biot–Savart Law

Shortly  after  Oersted’s  discovery  in  1819  that  a  compass  needle  is  deflected  by  a
current-carrying  conductor,  Jean-Baptiste  Biot  (1774–1862)  and  Félix  Savart
(1791–1841)  performed  quantitative  experiments  on  the  force  exerted  by  an
electric  current  on  a  nearby  magnet.  From  their  experimental  results,  Biot  and
Savart  arrived  at  a  mathematical  expression  that  gives  the  magnetic  field  at  some
point  in  space  in  terms  of  the  current  that  produces  the  field.  That  expression  is
based  on  the  following  experimental  observations  for  the  magnetic  field  d

B at  a

point  P associated  with  a  length  element  d

s of  a  wire  carrying  a  steady  current  I

(Fig. 30.1):

• The  vector  d

B is  perpendicular  both  to  ds (which  points  in  the  direction  of  the

current) and to the unit vector 

rˆ directed from ds toward P.

• The magnitude of d

B is inversely proportional to r

2

, where r is the distance from

d

s to P.

• The magnitude of d

B is proportional to the current and to the magnitude ds of the

length element d

s.

• The  magnitude  of  d

B is  proportional  to  sin  !,  where  ! is  the  angle  between  the

vectors d

s and rˆ.

These  observations  are  summarized  in  the  mathematical  expression  known  today

as the 

Biot–Savart law:

(30.1)

d

 

B "

 

#

0

4$

 

 

I d

 

s ! ˆr

r

 

2

P

dB

out

r

θ

ds

P

′

dB

in

I

rˆ

×

rˆ

Figure 30.1 The magnetic field

dB at a point due to the current I

through a length element ds is

given by the Biot–Savart law. The

direction of the field is out of the

page at P and into the page at P%.

▲

PITFALL PREVENTION 

30.1 The Biot–Savart Law

The  magnetic  field  described  by
the  Biot–Savart  law  is  the  field
due  to a  given  current-carrying
conductor.  Do  not  confuse  this
field  with  any  external field  that
may be applied to the conductor
from some other source.

Biot–Savart law

928

CHAPTE R 3 0 •  Sources of the Magnetic Field

where #

0

is a constant called the 

permeability of free space:

(30.2)

Note that the field d

B in Equation 30.1 is the field created by the current in only a

small length element d

s of the conductor. To find the total magnetic field B created at

some point by a current of finite size, we must sum up contributions from all current
elements  I d

s that  make  up  the  current.  That  is,  we  must  evaluate  B by  integrating

Equation 30.1:

(30.3)

where  the  integral  is  taken  over  the  entire  current  distribution.  This  expression
must  be  handled  with  special  care  because  the  integrand  is  a  cross  product
and therefore  a  vector  quantity.  We  shall  see  one  case  of  such  an  integration  in
Example 30.1.

Although  we  developed  the  Biot–Savart  law  for  a  current-carrying  wire,  it  is  also

valid for a current consisting of charges flowing through space, such as the electron
beam in a television set. In that case, d

s represents the length of a small segment of

space in which the charges flow.

Interesting  similarities  exist  between  Equation  30.1  for  the  magnetic  field  due

to a current element and Equation 23.9 for the electric field due to a point charge.
The  magnitude  of  the  magnetic  field  varies  as  the  inverse  square  of  the  distance
from the source, as does the electric field due to a point charge. However, the direc-
tions  of  the  two  fields  are  quite  different.  The  electric  field  created  by  a  point
charge  is  radial,  but  the  magnetic  field  created  by  a  current  element  is
perpendicular  to  both  the  length  element  d

s and  the  unit  vector  rˆ,  as  described

by the  cross  product  in  Equation  30.1.  Hence,  if  the  conductor  lies  in  the  plane
of the page, as shown in Figure 30.1, d

B points out of the page at P and into the

page at P%.

Another difference between electric and magnetic fields is related to the source

of  the  field.  An  electric  field  is  established  by  an  isolated  electric  charge.  The
Biot–Savart  law  gives  the  magnetic  field  of  an  isolated  current  element  at  some
point, but such an isolated current element cannot exist the way an isolated electric
charge  can.  A  current  element  must be  part  of  an  extended  current  distribution
because  we  must  have  a  complete  circuit  in  order  for  charges  to  flow.  Thus,
the Biot–Savart  law  (Eq.  30.1)  is only  the  first  step  in  a  calculation  of  a  magnetic
field;  it  must  be  followed  by  an  integration  over  the  current  distribution,  as  in
Equation 30.3.

B "

#

 

0

I

4$

 

!

 

d

 

s ! ˆr

r

 

2

 

#

0

"

4$ & 10

'

7

 T(m/A

Quick  Quiz  30.1

Consider  the  current  in  the  length  of  wire  shown  in

Figure 30.2. Rank the points A, B, and C, in terms of magnitude of the magnetic field
due to the current in the length element shown, from greatest to least.

Permeability of free space

Figure 30.2 (Quick Quiz 30.1) Where is the magnetic field the greatest?

A

ds

C

B

I