Physics For Scientists And Engineers 6E - part 223

Problems

889

The circuit in Figure P28.37 has been connected for a long
time. (a) What is the voltage across the capacitor? (b) If the
battery is disconnected, how long does it take the capacitor
to discharge to one tenth of its initial voltage?

37.

Section 28.5 Electrical Meters

Assume  that  a  galvanometer  has  an  internal  resistance  of
60.0 ' and requires a current of 0.500 mA to produce full-
scale  deflection.  What  resistance  must  be  connected  in
parallel  with  the  galvanometer  if  the  combination  is  to
serve  as  an  ammeter  that  has  a  full-scale  deflection  for
a current of 0.100 A?

42. A  typical  galvanometer,  which  requires  a  current  of

1.50 mA  for  full-scale  deflection  and  has  a  resistance  of
75.0 ', may be used to measure currents of much greater
values.  To  enable  an  operator  to  measure  large  currents
without  damage  to  the  galvanometer,  a  relatively  small
shunt  resistor  is  wired  in  parallel  with  the  galvanometer,
as  suggested  in  Figure  28.27.  Most  of  the  current  then
goes through the shunt resistor. Calculate the value of the
shunt resistor that allows the galvanometer to be used to
measure  a  current  of  1.00 A  at  full-scale  deflection.
(Suggestion: use Kirchhoff’s rules.)

The same galvanometer described in the previous problem
may be used to measure voltages. In this case a large resis-
tor is wired in series with the galvanometer, as suggested in
Figure  28.29.  The  effect  is  to  limit  the  current  in  the
galvanometer when large voltages are applied. Most of the
potential  drop  occurs  across  the  resistor  placed  in  series.
Calculate  the  value  of  the  resistor  that  allows  the
galvanometer  to  measure  an  applied  voltage  of  25.0 V  at
full-scale deflection.

44.

Meter  loading.  Work  this  problem  to  five-digit  precision.
Refer  to  Figure  P28.44.  (a)  When  a  180.00-' resistor  is
connected  across  a  battery  of  emf  6.000 0 V  and  internal
resistance  20.000  ',  what  is  the  current  in  the  resistor?
What  is  the  potential  difference  across  it?  (b)  Suppose
now an ammeter of resistance 0.500 00 ' and a voltmeter
of resistance 20 000 ' are added to the circuit as shown in
Figure  P28.44b.  Find  the  reading  of  each.  (c)  What  If?
Now  one  terminal  of  one  wire  is  moved,  as  shown  in
Figure P28.44c. Find the new meter readings.

45.

Design a multirange ammeter capable of full-scale deflec-
tion for 25.0 mA, 50.0 mA, and 100 mA. Assume the meter
movement  is  a  galvanometer  that  has  a  resistance  of
25.0 ' and gives a full-scale deflection for 1.00 mA.

46.

Design  a  multirange  voltmeter  capable  of  full-scale
deflection  for  20.0 V,  50.0 V,  and  100 V.  Assume  the
meter movement is a galvanometer that has a resistance
of 60.0 ' and gives a full-scale deflection for a current of
1.00 mA.

43.

41.

10.0 V

1.00 

Ω

8.00 

Ω

2.00 

Ω

4.00 

Ω

1.00 

µ

F

µ

Figure P28.37

(a)

180.00 

Ω

20.000 

Ω

6.000 0 V

(b)

A

V

(c)

A

V

Figure P28.44

38.

In places such as a hospital operating room and a factory
for  electronic  circuit  boards,  electric  sparks  must  be
avoided.  A  person  standing  on  a  grounded  floor  and
touching  nothing  else  can  typically  have  a  body  capaci-
tance  of  150 pF,  in  parallel  with  a  foot  capacitance  of
80.0 pF  produced  by  the  dielectric  soles  of  his  or  her
shoes.  The  person  acquires  static  electric  charge  from
interactions  with  furniture,  clothing,  equipment,  packag-
ing  materials,  and  essentially  everything  else.  The  static
charge  is  conducted  to  ground  through  the  equivalent
resistance of the two shoe soles in parallel with each other.
A pair of rubber-soled street shoes can present an equiva-
lent  resistance  of  5 000 M'.  A  pair  of  shoes  with  special
static-dissipative soles can have an equivalent resistance of
1.00 M'.  Consider  the  person’s  body  and  shoes  as
forming an RC circuit with the ground. (a) How long does
it  take  the  rubber-soled  shoes  to  reduce  a  3 000-V  static
charge  to  100 V?  (b)  How  long  does  it  take  the  static-
dissipative shoes to do the same thing?

39.

A 4.00-M' resistor and a 3.00-)F capacitor are connected
in series with a 12.0-V power supply. (a) What is the time
constant  for  the  circuit?  (b)  Express  the  current  in  the
circuit  and  the  charge  on  the  capacitor  as  functions  of
time.

40.

Dielectric materials used in the manufacture of capacitors
are  characterized  by  conductivities  that  are  small  but  not
zero. Therefore, a charged capacitor slowly loses its charge
by  “leaking”  across  the  dielectric.  If  a  capacitor  having
capacitance  C  leaks  charge  such  that  the  potential  differ-
ence has decreased to half its initial (t # 0) value at a time
t, what is the equivalent resistance of the dielectric?

890

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

47.

A particular galvanometer serves as a 2.00-V full-scale volt-
meter when a 2 500-' resistor is connected in series with
it. It serves as a 0.500-A full-scale ammeter when a 0.220-'
resistor  is  connected  in  parallel  with  it.  Determine  the
internal  resistance  of  the  galvanometer  and  the  current
required to produce full-scale deflection.

Section 28.6 Household Wiring and Electrical 

Safety

48. An  8.00-ft  extension  cord  has  two  18-gauge  copper  wires,

each  having  a  diameter  of  1.024 mm.  At  what  rate  is
energy  delivered  to  the  resistance  in  the  cord  when  it  is
carrying a current of (a) 1.00 A and (b) 10.0 A?

An  electric  heater  is  rated  at  1 500 W,  a  toaster  at

750 W,  and  an  electric  grill  at  1 000 W.  The  three
appliances  are  connected  to  a  common  120-V  household
circuit.  (a) How  much  current  does  each  draw?  (b)  Is  a
circuit  with  a  25.0-A  circuit  breaker  sufficient  in  this
situation? Explain your answer.

50.

Aluminum  wiring  has  sometimes  been  used  instead  of
copper for economy. According to the National Electrical
Code,  the  maximum  allowable  current  for  12-gauge
copper  wire  with  rubber  insulation  is  20 A.  What  should
be  the  maximum  allowable  current  in  a  12-gauge
aluminum  wire  if  the  power  per  unit  length  delivered  to
the  resistance  in  the  aluminum  wire  is  the  same  as  that
delivered in the copper wire?

51.

Turn  on  your  desk  lamp.  Pick  up  the  cord,  with  your
thumb and index finger spanning the width of the cord.
(a)  Compute  an  order-of-magnitude  estimate  for  the
current  in  your  hand.  You  may  assume  that  at  a  typical
instant  the  conductor  inside  the  lamp  cord  next  to  your
thumb is at potential 

( 10

2

V and that the conductor next

to  your  index  finger  is  at  ground  potential  (0 V).  The
resistance of your hand depends strongly on the thickness
and the moisture content of the outer layers of your skin.
Assume  that  the  resistance  of  your  hand  between  finger-
tip and thumb tip is 

( 10

4

'

. You may model the cord as

having  rubber  insulation.  State  the  other  quantities  you
measure  or  estimate  and  their  values.  Explain  your  rea-
soning.  (b)  Suppose  that  your  body  is  isolated  from  any
other  charges  or  currents.  In  order-of-magnitude  terms
describe the potential of your thumb where it contacts the
cord,  and  the  potential  of  your  finger  where  it  touches
the cord.

Additional Problems

52. Four 1.50-V AA batteries in series are used to power a tran-

sistor  radio.  If  the  batteries  can  move  a  charge  of  240  C,
how  long  will  they  last  if  the  radio  has  a  resistance  of
200 '?

53.

A battery has an emf of 9.20 V and an internal resistance
of  1.20  '.  (a)  What  resistance  across  the  battery  will
extract from it a power of 12.8 W? (b) a power of 21.2 W?

54.

Calculate the potential difference between points a and b
in Figure P28.54 and identify which point is at the higher
potential.

49.

55. Assume  you  have  a  battery  of  emf 

and  three  identical

lightbulbs, each having constant resistance R. What is the
total  power  delivered  by  the  battery  if  the  bulbs  are  con-
nected (a) in series? (b) in parallel? (c) For which connec-
tion will the bulbs shine the brightest?

56.

A  group  of  students  on  spring  break  manages  to  reach  a
deserted  island  in  their  wrecked  sailboat.  They  splash
ashore with fuel, a European gasoline-powered 240-V gen-
erator, a box of North American 100-W 120-V lightbulbs, a
500-W  120-V  hot  pot,  lamp  sockets,  and  some  insulated
wire. While waiting to be rescued, they decide to use the
generator to operate some lightbulbs. (a) Draw a diagram
of a circuit they can use, containing the minimum number
of  lightbulbs  with  120 V  across  each  bulb,  and  no  higher
voltage.  Find  the  current  in  the  generator  and  its  power
output. (b) One student catches a fish and wants to cook
it in  the  hot  pot.  Draw  a  diagram  of  a  circuit  containing
the hot pot and the minimum number of lightbulbs with
120 V across each device, and not more. Find the current
in the generator and its power output.

A battery has an emf  and internal resistance r. A variable
load resistor R is connected across the terminals of the bat-
tery. (a) Determine the value of R such that the potential
difference  across  the  terminals  is  a  maximum.  (b)  Deter-
mine the value of R so that the current in the circuit is a
maximum. (c) Determine the value of R so that the power
delivered to the load resistor is a maximum. Choosing the
load  resistance  for  maximum  power  transfer  is  a  case  of
what  is  called  impedance  matching in  general.  Impedance
matching  is  important  in  shifting  gears  on  a  bicycle,  in
connecting  a  loudspeaker  to  an  audio  amplifier,  in  con-
necting a battery charger to a bank of solar photoelectric
cells, and in many other applications.

58.

A 10.0-)F capacitor is charged by a 10.0-V battery through
a resistance R. The capacitor reaches a potential difference
of 4.00 V in a time 3.00 s after charging begins. Find R.

59.

When two unknown resistors are connected in series with
a  battery,  the  battery  delivers  225 W  and  carries  a  total
current  of  5.00 A.  For  the  same  total  current,  50.0 W  is
delivered  when  the  resistors  are  connected  in  parallel.
Determine the values of the two resistors.

60.

When two unknown resistors are connected in series with
a battery, the battery delivers total power !

s

and carries a

total current of I. For the same total current, a total power

!

57.

!

2.00 

Ω

4.00 

Ω

10.0 

Ω

4.00 V

12.0 V

a

b

Figure P28.54

Problems

891

!

p

is delivered when the resistors are connected in paral-

lel. Determine the values of the two resistors.

61.

A power supply has an open-circuit voltage of 40.0 V and
an  internal  resistance  of  2.00  '.  It  is  used  to  charge  two
storage batteries connected in series, each having an emf
of  6.00 V  and  internal  resistance  of  0.300 '.  If  the
charging  current  is  to  be  4.00 A,  (a)  what  additional
resistance should be added in series? (b) At what rate does
the internal energy increase in the supply, in the batteries,
and  in  the  added  series  resistance?  (c)  At  what  rate  does
the chemical energy increase in the batteries?

62.

Two  resistors  R

1

and  R

2

are  in  parallel  with  each  other.

Together  they  carry  total  current  I.  (a)  Determine  the
current in each resistor. (b) Prove that this division of the
total  current  I between  the  two  resistors  results  in  less
power  delivered  to  the  combination  than  any  other
division.  It  is  a  general  principle  that  current  in  a  direct
current circuit distributes itself so that the total power delivered to
the circuit is a minimum.

The  value  of  a  resistor  R is  to  be  determined  using  the
ammeter–voltmeter  setup  shown  in  Figure  P28.63.  The
ammeter has a resistance of 0.500 ', and the voltmeter has
a  resistance  of  20 000 '.  Within  what  range  of  actual
values  of  R will  the  measured  values  be  correct  to  within
5.00% if the measurement is made using the circuit shown
in (a) Figure P28.63a and (b) Figure P28.63b?

63.

Three  60.0-W,  120-V  lightbulbs  are  connected  across  a
120-V  power  source,  as  shown  in  Figure  P28.67.  Find
(a) the  total  power  delivered  to  the  three  bulbs  and
(b) the voltage across each. Assume that the resistance of
each  bulb  is constant  (even  though  in  reality  the  resis-
tance might increase markedly with current).

67.

69. Four  resistors  are  connected  in  parallel  across  a  9.20-V

battery.  They  carry  currents  of  150 mA,  45.0 mA,
14.00 mA, and 4.00 mA. (a) If the resistor with the largest
resistance  is  replaced  with  one  having  twice  the  resis-
tance, what is the ratio of the new current in the battery

(a)

V

R

A

V

A

R

(b)

Figure P28.63

R

1

120 V

R

2

R

3

Figure P28.67

C

1

R

2

R

1

C

2

S

Figure P28.68

∆V

3

2

∆V

3

Voltage–

controlled

switch

(a)

∆V

R

1

R

2

T

∆V

c

(t)

∆V

t

(b)

C

∆V

c

V

Figure P28.66

68.

Switch S has been closed for a long time, and the electric
circuit shown in Figure P28.68 carries a constant current.
Take  C

1

#

3.00 )F,  C

2

#

6.00 )F,  R

1

#

4.00 k',  and

R

2

#

7.00 k'.  The  power  delivered  to  R

2

is  2.40 W.

(a) Find the charge on C

1

. (b) Now the switch is opened.

After many milliseconds, by how much has the charge on
C

2

changed?

64.

A battery is used to charge a capacitor through a resistor,
as  shown  in  Figure  28.19.  Show  that  half  the  energy  sup-
plied by the battery appears as internal energy in the resis-
tor and that half is stored in the capacitor.

The values of the components in a simple series RC circuit
containing a switch (Fig. 28.19) are C # 1.00 )F, R # 2.00 .
10

6

'

, and  # 10.0 V. At the instant 10.0 s after the switch

is closed, calculate (a) the charge on the capacitor, (b) the
current in the resistor, (c) the rate at which energy is being
stored in the capacitor, and (d) the rate at which energy is
being delivered by the battery.

66.

The  switch  in  Figure  P28.66a  closes  when  "V

c

+

2 "V/3

and  opens  when  "V

c

* "

V/3.  The  voltmeter  reads  a

voltage as plotted in Figure P28.66b. What is the period T
of the waveform in terms of R

1

, R

2

, and C ?

!

65.

892

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

to the original current? (b) What If? If instead the resis-
tor  with  the  smallest  resistance  is  replaced  with  one
having  twice  the  resistance,  what  is  the  ratio  of  the  new
total  current  to  the  original  current?  (c)  On  a  February
night, energy leaves a house by several heat leaks, includ-
ing  the  following:  1 500 W  by  conduction  through  the
ceiling;  450 W  by  infiltration  (air  flow)  around  the
windows;  140 W  by  conduction  through  the  basement
wall above the foundation sill; and 40.0 W by conduction
through  the  plywood  door  to  the  attic.  To  produce  the
biggest saving in heating bills, which one of these energy
transfers should be reduced first?

70.

Figure P28.70 shows a circuit model for the transmission
of  an  electrical  signal,  such  as  cable  TV,  to  a  large
number  of  subscribers.  Each  subscriber  connects  a  load
resistance  R

L

between  the  transmission  line  and  the

ground.  The  ground  is  assumed  to  be  at  zero  potential
and  able  to  carry  any  current  between  any  ground
connections with negligible resistance. The resistance of
the  transmission  line  itself  between  the  connection
points of different subscribers is modeled as the constant
resistance R

T

. Show that the equivalent resistance across

the signal source is

Suggestion: Because  the  number  of  subscribers  is  large,
the equivalent  resistance  would  not  change  noticeably  if
the first subscriber cancelled his service. Consequently, the
equivalent  resistance  of  the  section  of  the  circuit  to  the
right of the first load resistor is nearly equal to R

eq

.

R

eq

#

1

2

 [(4R

T

R

L

%

R

T

 

2

)

1/2

%

R

T

]

In Figure P28.71, suppose the switch has been closed for a
time  sufficiently  long  for  the  capacitor  to  become  fully
charged. Find (a) the steady-state current in each resistor
and  (b)  the  charge  Q on  the  capacitor.  (c)  The  switch  is
now opened at t # 0. Write an equation for the current 
through  R

2

as  a  function  of  time  and  (d)  find  the  time

interval required for the charge on the capacitor to fall to
one-fifth its initial value.

I

R

2

71.

72.

A regular tetrahedron is a pyramid with a triangular base.
Six  10.0-' resistors  are  placed  along  its  six  edges,  with
junctions at its four vertices. A 12.0-V battery is connected
to  any  two  of  the  vertices.  Find  (a)  the  equivalent
resistance  of  the  tetrahedron  between  these  vertices  and
(b) the current in the battery.

73.

The  circuit  shown  in  Figure  P28.73  is  set  up  in  the

laboratory to measure an unknown capacitance C with the
use of a voltmeter of resistance R # 10.0 M' and a battery
whose  emf  is  6.19 V.  The  data  given  in  the  table  are  the
measured  voltages  across  the  capacitor  as  a  function  of
time, where t # 0 represents the instant at which the switch
is opened. (a) Construct a graph of ln( /"V ) versus t, and
perform a linear least-squares fit to the data. (b) From the
slope of your graph, obtain a value for the time constant of
the circuit and a value for the capacitance.

!

74.

The student engineer of a campus radio station wishes to
verify the effectiveness of the lightning rod on the antenna
mast (Fig. P28.74). The unknown resistance R

x

is between

points C and E. Point E is a true ground but is inaccessible
for direct measurement since this stratum is several meters
below  the  Earth’s  surface.  Two  identical  rods  are  driven
into the ground at A and B, introducing an unknown resis-
tance R

y

. The procedure is as follows. Measure resistance

R

1

between points A and B, then connect A and B with a

heavy conducting wire and measure resistance R

2

between

3.00 k

Ω

S

R

2

 =15.0 k

Ω

12.0 k

Ω

10.0 

µ

F

9.00 V

µ

Figure P28.71

S

C

R

Voltmeter

ε

Figure P28.73

R

y

R

x

A

B

C

R

y

E

Figure P28.74

R

T

R

T

R

T

R

L

R

L

R

L

Signal

source

Figure P28.70

"

V (V)

t (s)

ln( /"V )

6.19

0

5.55

4.87

4.93

11.1

4.34

19.4

3.72

30.8

3.09

46.6

2.47

67.3

1.83

102.2

!