Physics For Scientists And Engineers 6E - part 220

SECTION 28.4 •  RC Circuits

877

Quick Quiz 28.10

Consider the circuit in Figure 28.22 and assume that the

battery has no internal resistance. Just after the switch is closed, the current in the bat-
tery is (a) zero (b) /2R (c) 2 /R (d)  /R (e) impossible to determine. After a very
long time, the current in the battery is (f) zero (g)  /2R (h) 2 /R (i)  /R (j) impos-
sible to determine.

!

!

!

!

!

!

ε

C

R

R

Figure 28.22 (Quick Quiz 28.10) How does the current

vary after the switch is closed?

Conceptual Example 28.11 Intermittent Windshield Wipers

Many automobiles are equipped with windshield wipers that
can operate intermittently during a light rainfall. How does
the  operation  of  such  wipers  depend  on  the  charging  and
discharging of a capacitor?

Solution The  wipers  are  part  of  an  RC circuit  whose  time
constant  can  be  varied  by  selecting  different  values  of  R

through a multiposition switch. As it increases with time, the
voltage  across  the  capacitor  reaches  a  point  at  which  it
triggers  the  wipers  and  discharges,  ready  to  begin  another
charging  cycle.  The  time  interval  between  the  individual
sweeps of the wipers is determined by the value of the time
constant.

Example 28.12 Charging a Capacitor in an RC Circuit

An  uncharged  capacitor  and  a  resistor  are  connected  in
series to a battery, as shown in Figure 28.23. If  # 12.0 V,
C # 5.00 )F, and R # 8.00 . 10

5

'

, find the time constant

of  the  circuit,  the  maximum  charge  on  the  capacitor,  the
maximum current in the circuit, and the charge and current
as functions of time.

Solution The  time  constant  of  the  circuit  is  - # RC #
(8.00 . 10

5

'

)(5.00 . 10

$

6

F) # 4.00 s.  The  maximum

charge on the capacitor is Q # C # (5.00 )F)(12.0 V) #
60.0 )C.  The  maximum  current  in  the  circuit  is  I

0

#

/R # (12.0 V)/(8.00 . 10

5

'

) # 15.0 )A.  Using  these

values and Equations 28.14 and 28.15, we find that

Graphs of these functions are provided in Figure 28.24.

(15.0 )A)e

$

t/4.00 s

I(t

 

) #

(60.0 )C)(1 $ e

$

t/4.00 s

)

q(t

 

) #

!

!

!

Interactive

R

ε

C

+

–

S

0 1 2 3 4 5 6 7

0

10

20

30

40

50

60

q(

µ

C)

t (s)

0 1 2 3 4 5 6 7

0

5

10

15

I(

µ

A)

t (s)

(a)

(b)

µ

µ

Q = 60.0 

µ

C

µ

I

0

 = 15.0 

µ

A

µ

t   =

τ

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can vary R, C, and 

!

and observe the charge and

current as functions of time while charging or discharging the capacitor.

Figure 28.23 (Example 28.12) The switch in this series RC

circuit, open for times t * 0, is closed at t # 0.

Figure 28.24 (Example 28.12) Plots of (a) charge versus time

and (b) current versus time for the RC circuit shown in Figure

28.23, with  # 12.0 V, R # 8.00 . 10

5

'

, and C # 5.00

)

F.

!

878

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

Example 28.13 Discharging a Capacitor in an RC Circuit

Consider  a  capacitor  of  capacitance  C that  is  being  dis-
charged  through  a  resistor  of  resistance  R,  as  shown  in
Figure 28.21.

(A)

After  how  many  time  constants  is  the  charge  on  the

capacitor one-fourth its initial value?

Solution The  charge  on  the  capacitor  varies  with  time
according to Equation 28.17, q(t) # Qe

$

t/RC

. To find the time

interval  during  which  q drops  to  one-fourth  its  initial  value,
we substitute q(t) # Q /4 into this expression and solve for t:

Taking logarithms of both sides, we find

(B)

The energy stored in the capacitor decreases with time

as the capacitor discharges. After how many time constants
is this stored energy one-fourth its initial value?

Solution Using Equations 26.11 (U # Q

2

/2C) and 28.17, we

can express the energy stored in the capacitor at any time t as

U #

q

2

2C

#

Q

2

2C

 e

$

2t/RC

#

U

0

e

$

2t/RC

1.39-

t # RC (ln 4) # 1.39RC #

$

ln 4  # $

t

RC

 

1

4

#

e

$

t/RC

Q

4

 # Qe

$

t/RC

where U

0

#

Q

2

/2C is the initial energy stored in the capaci-

tor. As in part (A), we now set U # U

0

/4 and solve for t:

Again, taking logarithms of both sides and solving for t gives

What If?

What if we wanted to describe the circuit in terms

of the time interval required for the charge to fall to one-half
its  original  value,  rather  than  by  the  time  constant 

"

?  This

would give a parameter for the circuit called its half-life t

1/2

.

How is the half-life related to the time constant?

Answer After one half-life, the charge has fallen from Q to
Q /2. Thus, from Equation 28.17,

leading to

t

1/2

#

0.693-

The  concept  of  half-life  will  be  important  to  us  when  we
study nuclear decay in Chapter 44. The radioactive decay of
an  unstable  sample  behaves  in  a  mathematically  similar
manner to a discharging capacitor in an RC circuit.

 

1

2

#

e

$

t

1/2

/RC

Q

2

 # Qe

$

t

1/2

/RC

0.693-

t #

1

2

 RC ln 4 # 0.693RC #

 

1

4

#

e

$

2t/RC

U

0

4

 # U

0

e

$

2t/RC

Example 28.14 Energy Delivered to a Resistor

A  5.00-)F  capacitor  is  charged  to  a  potential  difference  of
800 V and then discharged through a 25.0-kV resistor. How
much energy is delivered to the resistor in the time interval
required to fully discharge the capacitor?

Solution We shall solve this problem in two ways. The first
way is to note that the initial energy in the circuit equals the
energy stored in the capacitor, C

2

/2 (see Eq. 26.11). Once

the  capacitor  is  fully  discharged,  the  energy  stored  in  it  is
zero. Because energy in an isolated system is conserved, the
initial energy stored in the capacitor is transformed into in-
ternal energy in the resistor. Using the given values of C and

, we find

The  second  way,  which  is  more  difficult  but  perhaps  more
instructive,  is  to  note  that  as  the  capacitor  discharges
through the resistor, the rate at which energy is delivered to
the  resistor  is  given  by  I

2

R,  where  I is  the  instantaneous

current given by Equation 28.18. Because power is defined
as the rate at which energy is transferred, we conclude that

1.60 J

Energy #

1

2

C

!

2

#

1

2

(5.00 . 10

$

6

 F)(800 V)

2

#

!

!

the energy delivered to the resistor must equal the time inte-
gral of I

2

R dt:

To evaluate this integral, we note that the initial current I

0

is

equal to  /R and that all parameters except t are constant.
Thus, we find

This integral has a value of RC/2 (see Problem 35); hence,
we find

which agrees with the result we obtained using the simpler
approach,  as  it  must.  Note  that  we  can  use  this  second
approach to find the total energy delivered to the resistor at
any time  after  the  switch  is  closed  by  simply  replacing  the
upper limit in the integral with that specific value of t.

Energy #

1

2

C

!

2

(1)

     

Energy #

!

2

R

 

$

,

0

 e

$

2t/RC

 dt

!

Energy #

$

,

0

 I

2

R

  

dt #

$

,

0

 ($I

0

e

$

t/RC

 

)

2

 R

 

dt

28.5 Electrical Meters

The Galvanometer

The 

galvanometer is the main component in analog meters for measuring current and

voltage. (Many analog meters are still in use although digital meters, which operate on a
different  principle,  are  currently  in  wide  use.)  Figure  28.25  illustrates  the  essential
features of a common type called the D’Arsonval galvanometer. It consists of a coil of wire
mounted so that it is free to rotate on a pivot in a magnetic field provided by a perma-
nent magnet. The basic operation of the galvanometer uses the fact that a torque acts
on a current loop in the presence of a magnetic field (Chapter 29). The torque experi-
enced by the coil is proportional to the current in it: the larger the current, the greater
the torque and the more the coil rotates before the spring tightens enough to stop the
rotation. Hence, the deflection of a needle attached to the coil is proportional to the
current. Once the instrument is properly calibrated, it can be used in conjunction with
other circuit elements to measure either currents or potential differences.

The Ammeter

A device that measures current is called an 

ammeter. The charges constituting the

current  to  be  measured  must  pass  directly  through  the  ammeter,  so  the  ammeter
must be connected in series with other elements in the circuit, as shown in Figure
28.26. When using an ammeter to measure direct currents, you must connect it so
that charges enter the instrument at the positive terminal and exit at the negative
terminal.

Ideally,  an  ammeter  should  have  zero  resistance  so  that  the  current  being

measured is not altered. In the circuit shown in Figure 28.26, this condition requires
that the resistance of the ammeter be much less than R

1

%

R

2

. Because any ammeter

always has some internal resistance, the presence of the ammeter in the circuit slightly
reduces the current from the value it would have in the meter’s absence.

A typical off-the-shelf galvanometer is often not suitable for use as an ammeter,

primarily because it has a resistance of about 60 '. An ammeter resistance this great
considerably alters the current in a circuit. You can understand this by considering
the  following  example.  The  current  in  a  simple  series  circuit  containing  a  3-V
battery and a 3-' resistor is 1 A. If you insert a 60-' galvanometer in this circuit to
measure the current, the total resistance becomes 63 ' and the current is reduced
to 0.048 A!

A second factor that limits the use of a galvanometer as an ammeter is the fact that

a typical galvanometer gives a full-scale deflection for currents on the order of 1 mA or
less. Consequently, such a galvanometer cannot be used directly to measure currents
greater than this value. However, it can be converted to a useful ammeter by placing a
shunt resistor R

p

in parallel with the galvanometer, as shown in Figure 28.27. The value

of R

p

must be much less than the galvanometer resistance so that most of the current

to be measured is directed to the shunt resistor.

The Voltmeter

A device that measures potential difference is called a 

voltmeter. The potential differ-

ence between any two points in a circuit can be measured by attaching the terminals of
the  voltmeter  between  these  points  without  breaking  the  circuit,  as  shown  in  Figure
28.28. The potential difference across resistor R

2

is measured by connecting the volt-

meter  in  parallel  with  R

2

.  Again,  it  is  necessary  to  observe  the  polarity  of  the  instru-

ment.  The  positive  terminal  of  the  voltmeter  must  be  connected  to  the  end  of  the
resistor that is at the higher potential, and the negative terminal to the end of the resis-
tor at the lower potential.

SECTION 28.5 •  Electrical Meters

879

Spring

S

Coil

Scale

N

Figure 28.25 The principal compo-

nents of a D’Arsonval galvanometer.

When the coil situated in a magnetic

field carries a current, the magnetic

torque causes the coil to twist. The

angle through which the coil rotates

is proportional to the current in the

coil because of the counteracting

torque of the spring.

R

1

ε

–

+

R

2

A

Figure 28.26 Current can be mea-

sured with an ammeter connected in

series with the elements in which the

measurement of a current is desired.

An ideal ammeter has zero resistance.

R

p

Galvanometer

60 

Ω

Active Figure 28.27 A galva-

nometer is represented here by its

internal resistance of 60 '. When a

galvanometer is to be used as an

ammeter, a shunt resistor R

p

is

connected in parallel with the

galvanometer.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you can

predict the value of R

p

needed

to cause full-scale deflection in

the circuit of Figure 28.26, and

test your result.

An ideal voltmeter has infinite resistance so that no current exists in it. In

Figure 28.28, this condition requires that the voltmeter have a resistance much greater
than R

2

. In practice, if this condition is not met, corrections should be made for the

known resistance of the voltmeter.

A galvanometer can also be used as a voltmeter by adding an external resistor R

s

in

series with it, as shown in Figure 28.29. In this case, the external resistor must have a
value  much  greater  than  the  resistance  of  the  galvanometer  to  ensure  that  the  gal-
vanometer does not significantly alter the voltage being measured.

28.6 Household Wiring and Electrical Safety

Household circuits represent a practical application of some of the ideas presented in
this chapter. In our world of electrical appliances, it is useful to understand the power
requirements  and  limitations  of  conventional  electrical  systems  and  the  safety
measures that prevent accidents.

In a conventional installation, the utility company distributes electric power to indi-

vidual  homes  by  means  of  a  pair  of  wires,  with  each  home  connected  in  parallel  to
these wires. One wire is called the live wire,

5

as illustrated in Figure 28.30, and the other

is called the neutral wire. The neutral wire is grounded; that is, its electric potential is
taken to be zero. The potential difference between the live and neutral wires is about
120 V. This voltage alternates in time, and the potential of the live wire oscillates rela-
tive  to  ground.  Much  of  what  we  have  learned  so  far  for  the  constant-emf  situation
(direct current) can also be applied to the alternating current that power companies
supply to businesses and households. (Alternating voltage and current are discussed in
Chapter 33.)

A meter is connected in series with the live wire entering the house to record the

household’s  energy  consumption.  After  the  meter,  the  wire  splits  so  that  there  are
several  separate  circuits  in  parallel  distributed  throughout  the  house.  Each  circuit
contains  a  circuit  breaker  (or,  in  older  installations,  a  fuse).  The  wire  and  circuit
breaker  for  each  circuit  are  carefully  selected  to  meet  the  current  demands  for  that
circuit. If a circuit is to carry currents as large as 30 A, a heavy wire and an appropriate
circuit breaker must be selected to handle this current. A circuit used to power only
lamps  and  small  appliances  often  requires  only  20 A.  Each  circuit  has  its  own  circuit
breaker to provide protection for that part of the entire electrical system of the house.

880

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

Galvanometer

R

s

60 

Ω

Active Figure 28.29 When the galvanometer

is used as a voltmeter, a resistor R

s

is

connected in series with the galvanometer.

At the Active Figures link at

http://www.pse6.com, you can predict

the value of R

s

needed to cause full-

scale deflection in the circuit of Figure

28.28, and test your result.

R

1

ε

V

R

2

Figure 28.28 The potential difference across

a resistor can be measured with a voltmeter

connected in parallel with the resistor. An

ideal voltmeter has infinite resistance.

5

Live wire is a common expression for a conductor whose electric potential is above or below ground

potential.

R

1

Live

120 V

Neutral

0 V

R

2

Circuit

breaker

Meter

R

3

Figure 28.30 Wiring diagram for a

household circuit. The resistances

represent appliances or other

electrical devices that operate with

an applied voltage of 120 V.