Physics For Scientists And Engineers 6E - part 218

28.3 Kirchhoff’s Rules

As we saw in the preceding section, simple circuits can be analyzed using the expres-
sion  "V # IR and  the  rules  for  series  and  parallel  combinations  of  resistors.  Very
often, however, it is not possible to reduce a circuit to a single loop. The procedure
for analyzing more complex circuits is greatly simplified if we use two principles called
Kirchhoff ’s rules:

SECTION 28.3 •  Kirchhoff’s Rules

869

lightbulb,  a  small  jumper  loop  covered  by  an  insulating
material  is  wrapped  around  the  filament  leads.  When  the
filament  fails  and  120 V  appears  across  the  bulb,  an  arc
burns  the  insulation  on  the  jumper  and  connects  the
filament  leads.  This  connection  now  completes  the  circuit
through  the  bulb  even  though  its  filament  is  no  longer
active (Fig. 28.13).

Suppose  that  all  the  bulbs  in  a  50-bulb  miniature-light

string  are  operating.  A  2.40-V  potential  drop  occurs  across
each  bulb  because  the  bulbs  are  in  series.  A  typical  power
input  to  this  style  of  bulb  is  0.340 W.  The  filament  resis-
tance of  each  bulb  at  the  operating  temperature  is
(2.40 V)

2

/(0.340 W) # 16.9  '.  The  current  in  each  bulb  is

2.40 V/16.9  ' # 0.142 A.  When  a  bulb  fails,  the  resistance
across its terminals is reduced to zero because of the alternate

jumper  connection  mentioned  in  the  preceding  paragraph.
All  the  other  bulbs  not  only  stay  on  but  glow  more  brightly
because the total resistance of the string is reduced and con-
sequently the current in each bulb increases.

Let  us  assume  that  the  resistance  of  a  bulb  remains  at

16.9 ' even  though  its  temperature  rises  as  a  result  of  the
increased  current.  If  one  bulb  fails,  the  potential  difference
across  each  of  the  remaining  bulbs  increases  to  120 V/49 #
2.45 V, the current increases from 0.142 A to 0.145 A, and the
power  increases  to  0.355 W.  As  more  bulbs  fail,  the  current
keeps  rising,  the  filament  of  each  bulb  operates  at  a  higher
temperature, and the lifetime of the bulb is reduced. For this
reason,  you  should  check  for  failed  (nonglowing)  bulbs  in
such a series-wired string and replace them as soon as possible,
in order to maximize the lifetimes of all the bulbs.

Figure 28.13 (a) Schematic diagram of a modern “miniature” holiday lightbulb, with a

jumper connection to provide a current path if the filament breaks. When the filament

is intact, charges flow in the filament. (b) A holiday lightbulb with a broken filament.

In this case, charges flow in the jumper connection. (c) A Christmas-tree lightbulb.

George Semple

Filament

Jumper

Glass insulator

(b)

(a)

I

I

I

1.

Junction rule. The sum of the currents entering any junction in a circuit must
equal the sum of the currents leaving that junction:

(28.9)

2.

Loop rule. The sum of the potential differences across all elements around any
closed circuit loop must be zero:

(28.10)

#

closed

loop

 "V # 0

#

 I

in

#

#

 I

out

(c)

Kirchhoff’s first rule is a statement of conservation of electric charge. All charges

that enter a given point in a circuit must leave that point because charge cannot build
up at a point. If we apply this rule to the junction shown in Figure 28.14a, we obtain

I

1

#

I

2

%

I

3

Figure  28.14b  represents  a  mechanical  analog  of  this  situation,  in  which  water  flows
through a branched pipe having no leaks. Because water does not build up anywhere
in  the  pipe,  the  flow  rate  into  the  pipe  equals  the  total  flow  rate  out  of  the  two
branches on the right.

Kirchhoff’s  second  rule  follows  from  the  law  of  conservation  of  energy.  Let  us

imagine  moving  a  charge  around  a  closed  loop  of  a  circuit.  When  the  charge
returns  to  the  starting  point,  the  charge–circuit  system  must  have  the  same  total
energy as it had before the charge was moved. The sum of the increases in energy as
the  charge  passes  through  some  circuit  elements  must  equal  the  sum  of  the
decreases  in  energy  as  it  passes  through  other  elements.  The  potential  energy
decreases whenever the charge moves through a potential drop $ IR across a resis-
tor  or  whenever  it  moves  in  the  reverse  direction  through  a  source  of  emf.  The
potential  energy  increases  whenever  the  charge  passes  through  a  battery  from  the
negative terminal to the positive terminal.

When applying Kirchhoff’s second rule in practice, we imagine traveling around the

loop and consider changes in electric potential, rather than the changes in potential energy
described in the preceding paragraph. You should note the following sign conventions
when using the second rule:

• Because charges move from the high-potential end of a resistor toward the low-

potential end, if a resistor is traversed in the direction of the current, the poten-
tial difference "V across the resistor is $ IR (Fig. 28.15a).

• If  a  resistor  is  traversed  in  the  direction  opposite  the  current,  the  potential  differ-

ence "V across the resistor is % IR (Fig. 28.15b).

• If a source of emf (assumed to have zero internal resistance) is traversed in the

direction  of  the  emf  (from  $  to  %),  the  potential  difference  "V is  %

(Fig.

28.15c).  The  emf  of  the  battery  increases  the  electric  potential  as  we  move
through it in this direction.

• If a source of emf (assumed to have zero internal resistance) is traversed in the

direction opposite the emf (from  % to  $ ), the potential difference "V is $
(Fig. 28.15d). In this case the emf of the battery reduces the electric potential as
we move through it.

Limitations exist on the numbers of times you can usefully apply Kirchhoff’s rules

in analyzing a circuit. You can use the junction rule as often as you need, so long as
each time you write an equation you include in it a current that has not been used in
a preceding junction-rule equation. In general, the number of times you can use the
junction rule is one fewer than the number of junction points in the circuit. You can
apply the loop rule as often as needed, as long as a new circuit element (resistor or
battery)  or  a  new  current  appears  in  each  new  equation.  In  general, 

in  order  to

solve a particular circuit problem, the number of independent equations you
need to obtain from the two rules equals the number of unknown currents.

Complex  networks  containing  many  loops  and  junctions  generate  great  numbers

of  independent  linear  equations  and  a  correspondingly  great  number  of  unknowns.
Such situations can be handled formally through the use of matrix algebra. Computer
software can also be used to solve for the unknowns.

The following examples illustrate how to use Kirchhoff’s rules. In all cases, it is

assumed that the circuits have reached steady-state conditions—that is, the currents
in the various branches are constant. 

Any capacitor acts as an open branch in a

circuit; that  is,  the  current  in  the  branch  containing  the  capacitor  is  zero  under
steady-state conditions.

!

!

870

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

(a)

I

a

b

∆V =  –IR

(b)

I

a

b

∆V =  +IR

(c)

ε

a

b

∆V =  +

ε

–

+

(d)

a

b

∆V =  –

ε

–

+

ε

ε

ε

Figure 28.15 Rules for

determining the potential

differences across a resistor and a

battery. (The battery is assumed to

have no internal resistance.) Each

circuit element is traversed from

left to right.

(a)

I

1

I

2

I

3

(b)

Flow in

Flow out

Figure 28.14 (a) Kirchhoff’s

junction rule. Conservation of

charge requires that all charges

entering a junction must leave that

junction. Therefore, I

1

#

I

2

%

I

3

.

(b) A mechanical analog of the

junction rule: the amount of water

flowing out of the branches on the

right must equal the amount

flowing into the single branch on

the left.

SECTION 28.3 •  Kirchhoff’s Rules

871

Gustav Kirchhoff

German Physicist (1824–1887)

Kirchhoff, a professor at

Heidelberg, and Robert Bunsen

invented the spectroscope and

founded the science of

spectroscopy, which we shall

study in Chapter 42. They

discovered the elements cesium

and rubidium and invented

astronomical spectroscopy. (AIP
ESVA/W.F. Meggers Collection)

P R O B L E M - S O LV I N G   H I N T S

Kirchhoff’s Rules

•

Draw a circuit diagram, and label all the known and unknown quantities. You
must assign a direction to the current in each branch of the circuit. Although
the assignment of current directions is arbitrary, you must adhere rigorously to
the assigned directions when applying Kirchhoff’s rules.

•

Apply the junction rule to any junctions in the circuit that provide new
relationships among the various currents.

•

Apply the loop rule to as many loops in the circuit as are needed to solve for
the unknowns. To apply this rule, you must correctly identify the potential
difference as you imagine crossing each element while traversing the closed
loop (either clockwise or counterclockwise). Watch out for errors in sign!

•

Solve the equations simultaneously for the unknown quantities. Do not be
alarmed if a current turns out to be negative; its magnitude will be correct and the
direction is opposite to that which you assigned.

Quick Quiz 28.8

In using Kirchhoff’s rules, you generally assign a separate

unknown current to (a) each resistor in the circuit (b) each loop in the circuit (c) each
branch in the circuit (d) each battery in the circuit.

Example 28.8 A Single-Loop Circuit

A single-loop circuit contains two resistors and two batteries,
as  shown  in  Figure  28.16.  (Neglect  the  internal  resistances
of the batteries.)

(A)

Find the current in the circuit.

Solution We  do  not  need  Kirchhoff’s  rules  to  analyze  this
simple  circuit,  but  let  us  use  them  anyway  just  to  see  how
they are applied. There are no junctions in this single-loop
circuit; thus, the current is the same in all elements. Let us
assume  that  the  current  is  clockwise,  as  shown  in  Figure
28.16.  Traversing  the  circuit  in  the  clockwise  direction,
starting at a, we see that a : b represents a potential differ-
ence  of  %

1

, b : c represents  a  potential  difference  of

$

IR

1

, c : d represents a potential difference of $

2

, and

!

!

d : a represents  a  potential  difference  of  $ IR

2

.  Applying

Kirchhoff’s loop rule gives

Solving for I and using the values given in Figure 28.16, we
obtain

The  negative  sign  for I indicates  that  the  direction  of  the
current  is  opposite  the  assumed  direction.  Notice  that  the
emfs  in  the  numerator  subtract  because  the  batteries  have
opposite polarities in Figure 28.16. In the denominator, the
resistances add because the two resistors are in series.

(B)

What power is delivered to each resistor? What power is

delivered by the 12-V battery?

Solution Using Equation 27.23,

Hence,  the  total  power  delivered  to  the  resistors  is
!

1

%

!

2

#

2.0 W.

The 12-V battery delivers power I

2

#

4.0 W. Half of this

power is delivered to the two resistors, as we just calculated.
The other half is delivered to the 6-V battery, which is being

!

1.1 W

!

2

#

I

2

R

2

#

(0.33 A)

2

(10 ') #

0.87 W

!

1

#

I

2

R

1

#

(0.33 A)

2

(8.0 ') #

$

0.33 A

(1)

   

I #

!

1

$

!

2

R

1

%

R

2

#

6.0 V $ 12 V

8.0 ' % 10 '

#

!

1

$

IR

 

1

$

!

2

$

IR

 

2

#

0

#

 "V # 0

a

b

I

c

d

  

1

 = 6.0 V

+

–

R

1

 = 8.0 

Ω

R

2

 = 10 

Ω

  

2

 = 12 V

+

–

ε

ε

Figure 28.16 (Example 28.8) A series circuit containing two

batteries and two resistors, where the polarities of the batteries

are in opposition.

872

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

charged by the 12-V battery. If we had included the internal
resistances of the batteries in our analysis, some of the power
would appear as internal energy in the batteries; as a result,
we would have found that less power was being delivered to
the 6-V battery.

What  If?

What  if  the  polarity  of  the  12.0-V  battery  were

reversed? How would this affect the circuit?

Answer While  we  could  repeat  the  Kirchhoff’s  rules
calculation,  let  us  examine  Equation  (1)  and  modify  it
accordingly.  Because  the  polarities  of  the  two  batteries  are

now  in  the  same  direction,  the  signs  of 

1

and 

2

are  the

same and Equation (1) becomes

The new powers delivered to the resistors are

!

1

#

I

2

R

1

#

(1.0 A)

2

(8.0 ') # 8.0 W

!

2

#

I

2

R

2

#

(1.0 A)

2

(10 ') # 10 W

This totals 18 W, nine times as much as in the original circuit,
in which the batteries were opposing each other.

I #

!

1

%

!

2

R

1

%

R

2

#

6.0 V % 12 V

8.0 ' % 10 '

#

1.0 A

!

!

Example 28.9 Applying Kirchhoff’s Rules

Find the currents I

1

, I

2

, and I

3

in the circuit shown in Figure

28.17.

Solution Conceptualize by noting that we cannot simplify
the circuit by the rules of adding resistances in series and
in parallel. (If the 10.0-V battery were taken away, we could
reduce the remaining circuit with series and parallel com-
binations.)  Thus,  we  categorize  this  problem  as  one  in
which we must use Kirchhoff’s rules. To analyze the circuit,
we  arbitrarily  choose  the  directions  of  the  currents  as  la-
beled  in  Figure  28.17.  Applying  Kirchhoff’s  junction  rule
to junction c gives

(1)

I

1

%

I

2

#

I

3

We now have one equation with three unknowns—I

1

, I

2

, and

I

3

.  There  are  three  loops  in  the  circuit—abcda,  befcb, and

aefda. We therefore need only two loop equations to deter-
mine  the  unknown  currents.  (The  third  loop  equation
would give no new information.) Applying Kirchhoff’s loop
rule  to  loops  abcda  and  befcb  and  traversing  these  loops
clockwise, we obtain the expressions

(2)

abcda 10.0 V $ (6.0 ')I

1

$

(2.0 ')I

3

#

0

(3) befcb $14.0 V % (6.0 ')I

1

$

10.0 V $ (4.0 ') I

2

#

0

Note  that  in  loop  befcb  we  obtain  a  positive  value  when
traversing the 6.0-' resistor because our direction of travel
is opposite the assumed direction of I

1

. Expressions (1), (2),

and  (3)  represent  three  independent  equations  with  three
unknowns.  Substituting  Equation  (1)  into  Equation  (2)
gives

10.0 V $ (6.0 ')I

1

$

(2.0 ') (I

1

%

I

2

) # 0

(4)

10.0 V # (8.0 ')I

1

%

(2.0 ')I

2

Dividing  each  term  in  Equation  (3)  by  2  and  rearranging
gives

(5)

$

12.0 V # $ (3.0 ')I

1

%

(2.0 ')I

2

Subtracting  Equation  (5)  from  Equation  (4)  eliminates  I

2

,

giving

22.0 V # (11.0 ')I

1

I

1

#

Using this value of I

1

in Equation (5) gives a value for I

2

:

(2.0 ')I

2

#

(3.0 ')I

1

$

12.0 V

#

(3.0 ')(2.0 A) $ 12.0 V # $ 6.0 V

I

2

#

Finally,

I

3

#

I

1

%

I

2

#

To finalize the problem, note that I

2

and I

3

are both nega-

tive.  This  indicates  only  that  the  currents  are  opposite  the
direction we chose for them. However, the numerical values
are  correct.  What  would  have  happened  had  we  left  the
current  directions  as  labeled  in  Figure  28.17  but  traversed
the loops in the opposite direction?

$

1.0 A

$

3.0 A

2.0 A

14.0 V

e

b

4.0 

Ω

–

+

10.0 V 6.0 Ω

–

+

f

I

2

c

I

3

I

1

2.0 

Ω

d

a

Figure 28.17 (Example 28.9) A circuit containing different

branches.

Interactive

Practice applying Kirchhoff’s rules at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.