Physics For Scientists And Engineers 6E - part 219

28.4 RC Circuits

So far we have analyzed direct current circuits in which the current is constant. In DC
circuits containing capacitors, the current is always in the same direction but may vary
in time. A circuit containing a series combination of a resistor and a capacitor is called
an 

RC circuit.

Charging a Capacitor

Figure 28.19 shows a simple series RC circuit. Let us assume that the capacitor in this
circuit is initially uncharged. There is no current while switch S is open (Fig. 28.19b).
If the switch is closed at t # 0, however, charge begins to flow, setting up a current in
the circuit, and the capacitor begins to charge.

4

Note that during charging, charges do

4

In previous discussions of capacitors, we assumed a steady-state situation, in which no current was

present in any branch of the circuit containing a capacitor. Now we are considering the case before the
steady-state condition is realized; in this situation, charges are moving and a current exists in the wires
connected to the capacitor.

SECTION 28.4 •  RC Circuits

873

Example 28.10 A Multiloop Circuit

(A)

Under steady-state conditions, find the unknown currents

I

1

, I

2

, and I

3

in the multiloop circuit shown in Figure 28.18.

Solution First  note  that  because  the  capacitor  represents
an open circuit, there is no current between g and b along
path  ghab under  steady-state  conditions.  Therefore,  when
the  charges  associated  with  I

1

reach  point  g,  they  all  go

toward  point  b through  the  8.00-V  battery;  hence,  I

gb

#

I

1

.

Labeling the currents as shown in Figure 28.18 and applying
Equation 28.9 to junction c, we obtain

(1)

I

1

%

I

2

#

I

3

Equation  28.10  applied  to  loops  defcd  and  cfgbc, traversed
clockwise, gives

(2)

defcd 4.00 V $ (3.00 ')I

2

$

(5.00 ')I

3

#

0

(3)

cfgbc (3.00 ')I

2

$

(5.00 ')I

1

%

8.00 V # 0

From  Equation  (1)  we  see  that  I

1

#

I

3

$

I

2

,  which,  when

substituted into Equation (3), gives

(4)

(8.00 ')I

2

$

(5.00 ')I

3

%

8.00 V # 0

Subtracting Equation (4) from Equation (2), we eliminate I

3

and find that

Because our value for I

2

is negative, we conclude that the di-

rection of I

2

is from c to f in the 3.00-' resistor. Despite this

interpretation  of  the  direction,  however,  we  must  continue
to  use  this  negative  value  for  I

2

in  subsequent  calculations

because  our  equations  were  established  with  our  original
choice of direction.

Using I

2

# $

0.364 A in Equations (3) and (1) gives

(B)

What is the charge on the capacitor?

Solution We can apply Kirchhoff’s loop rule to loop bghab
(or any other loop that contains the capacitor) to find the
potential difference "V

cap

across the capacitor. We use this

potential difference in the loop equation without reference
to  a  sign  convention  because  the  charge  on  the  capacitor
depends only on the magnitude of the potential difference.
Moving clockwise around this loop, we obtain

$

8.00 V % "V

cap

$

3.00 V # 0

"

V

cap

#

11.0 V

Because  Q # C "V

cap

(see  Eq.  26.1),  the  charge  on  the

capacitor is

Q # (6.00 )F)(11.0 V) #

Why is the left side of the capacitor positively charged?

66.0 )C

1.02 A

I

3

#

1.38 A

I

1

#

$

0.364 A

I

2

# $

4.00 V

11.0 '

#

4.00 V

d

c

5.00 

Ω

–

+

8.00 V

3.00 

Ω

–

+

e

I

3

f

I

1

I

2

5.00 

Ω

h

a

g

–

+

3.00 V

–

+

6.00 

  F

I = 0

b

I

3

I

1

µ

Figure 28.18 (Example 28.10) A multiloop circuit. Kirchhoff’s

loop rule can be applied to any closed loop, including the one

containing the capacitor.

not jump across the capacitor plates because the gap between the plates represents an
open circuit. Instead, charge is transferred between each plate and its connecting wires
due  to  the  electric  field  established  in  the  wires  by  the  battery,  until  the  capacitor  is
fully  charged.  As  the  plates  are  being  charged,  the  potential  difference  across  the
capacitor increases. The value of the maximum charge on the plates depends on the
voltage of the battery. Once the maximum charge is reached, the current in the circuit
is zero because the potential difference across the capacitor matches that supplied by
the battery.

To analyze this circuit quantitatively, let us apply Kirchhoff’s loop rule to the circuit

after the switch is closed. Traversing the loop in Fig. 28.19c clockwise gives

(28.11)

where q/C is the potential difference across the capacitor and IR is the potential differ-
ence  across  the  resistor.  We  have  used  the  sign  conventions  discussed  earlier  for  the
signs on  and IR. For the capacitor, notice that we are traveling in the direction from
the positive plate to the negative plate; this represents a decrease in potential. Thus, we
use a negative sign for this potential difference in Equation 28.11. Note that q and I are
instantaneous values  that  depend  on  time  (as  opposed  to  steady-state  values)  as  the
capacitor is being charged.

We can use Equation 28.11 to find the initial current in the circuit and the maxi-

mum charge on the capacitor. At the instant the switch is closed (t # 0), the charge on
the capacitor is zero, and from Equation 28.11 we find that the initial current I

0

in the

circuit is a maximum and is equal to

(28.12)

At this time, the potential difference from the battery terminals appears entirely across
the  resistor.  Later,  when  the  capacitor  is  charged  to  its  maximum  value  Q ,  charges
cease to flow, the current in the circuit is zero, and the potential difference from the
battery terminals appears entirely across the capacitor. Substituting I # 0 into Equation
28.11 gives the charge on the capacitor at this time:

(maximum charge)

(28.13)

To  determine  analytical  expressions  for  the  time  dependence  of  the  charge  and

current,  we  must  solve  Equation  28.11—a  single  equation  containing  two  variables, q
and I. The current in all parts of the series circuit must be the same. Thus, the current
in the resistance R must be the same as the current between the capacitor plates and the

Q # C

 

!

 I

0

#

!

R

   

(current at t # 0)

!

!

$

q

C

$

IR # 0

874

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

+

–

Resistor

Battery

Capacitor

Switch

(a)

ε

(b)

S

t < 0

R

C

(c) t > 0

ε

R

S

I

q

–

+ q

Active Figure 28.19 (a) A capacitor in series with a resistor, switch, and battery.

(b) Circuit diagram representing this system at time t * 0, before the switch is closed.

(c) Circuit diagram at time t + 0, after the switch has been closed.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the values of R and

C to see the effect on the

charging of the capacitor.

wires. This current is equal to the time rate of change of the charge on the capacitor
plates. Thus, we substitute I # dq/dt into Equation 28.11 and rearrange the equation:

To  find  an  expression  for  q,  we  solve  this  separable  differential  equation.  We  first
combine the terms on the right-hand side:

Now we multiply by dt and divide by q $ C

to obtain

Integrating this expression, using the fact that q # 0 at t # 0, we obtain

From the definition of the natural logarithm, we can write this expression as

(28.14)

where e is the base of the natural logarithm and we have made the substitution from
Equation 28.13.

We  can  find  an  expression  for  the  charging  current  by  differentiating  Equation

28.14 with respect to time. Using I # dq/dt, we find that

(28.15)

Plots  of  capacitor  charge  and  circuit  current  versus  time  are  shown  in  Figure  28.20.
Note that the charge is zero at t # 0 and approaches the maximum value C

as t : ,.

The current has its maximum value I

0

#

/R at t # 0 and decays exponentially to zero

as  t : ,.  The  quantity  RC,  which  appears  in  the  exponents  of  Equations  28.14  and
28.15,  is  called  the 

time  constant - of  the  circuit.  It  represents  the  time  interval

during which the current decreases to 1/e of its initial value; that is, in a time interval
-

, I # e

$

1

I

0

#

0.368I

0

.  In  a  time  interval  2-,  I # e

$

2

I

0

#

0.135I

0

,  and  so  forth.

Likewise, in a time interval -, the charge increases from zero to C [1 $ e

$

1

] # 0.632C .

!

!

!

!

I(t) #

!

R

 e

$

t/RC

q(t

 

) # C

!

(1 $ e

$

t/RC

) # Q(1 $ e

$

t/RC

)

ln 

!

q $ C

!

$

C

!

"

 # $

t

RC

$

q

0

  

dq

(q $ C

!

)

 # $

1

RC

  

$

t

0

  

dt

dq

q $ C

 

!

# $

1

RC

 dt

!

dq

dt

#

C

!

RC

$

q

RC

# $

q $ C

!

RC

dq

dt

#

!

R

$

q

RC

SECTION 28.4 •  RC Circuits

875

Charge as a function of time for

a capacitor being charged

Current as a function of time for

a capacitor being charged

q

τ

t

C

0.632C

(a)

I

τ

t

0.368I

0

(b)

I

0

I

0

 =

R

ε

ε

ε

=RC

τ

Figure 28.20 (a) Plot of capacitor charge versus time for the circuit shown in Figure

28.19. After a time interval equal to one time constant 

-

has passed, the charge is 63.2%

of the maximum value C . The charge approaches its maximum value as t approaches

infinity. (b) Plot of current versus time for the circuit shown in Figure 28.19. The

current has its maximum value I

0

#

/R at t # 0 and decays to zero exponentially as t

approaches infinity. After a time interval equal to one time constant 

-

has passed, the

current is 36.8% of its initial value.

!

!

The following dimensional analysis shows that - has the units of time:

Because - # RC has units of time, the combination -/RC is dimensionless, as it must be
in order to be an exponent of e in Equations 28.14 and 28.15.

The  energy  output  of  the  battery  as  the  capacitor  is  fully  charged  is  Q

#

C

2

.

After the capacitor is fully charged, the energy stored in the capacitor is  Q

#

C

2

,

which is just half the energy output of the battery. It is left as a problem (Problem 64)
to show that the remaining half of the energy supplied by the battery appears as inter-
nal energy in the resistor.

Discharging a Capacitor

Now consider the circuit shown in Figure 28.21, which consists of a capacitor carrying
an initial charge Q , a resistor, and a switch. When the switch is open, a potential differ-
ence Q /C exists across the capacitor and there is zero potential difference across the
resistor because I # 0. If the switch is closed at t # 0, the capacitor begins to discharge
through the resistor. At some time t during the discharge, the current in the circuit is I
and the charge on the capacitor is q (Fig. 28.21b). The circuit in Figure 28.21 is the
same as the circuit in Figure 28.19 except for the absence of the battery. Thus, we elim-
inate the emf 

from Equation 28.11 to obtain the appropriate loop equation for the

circuit in Figure 28.21:

(28.16)

When we substitute I # dq/dt into this expression, it becomes

Integrating this expression, using the fact that q # Q at t # 0 gives

(28.17)

Differentiating this expression with respect to time gives the instantaneous current as a
function of time:

(28.18)

where Q /RC # I

0

is the initial current. The negative sign indicates that as the capaci-

tor  discharges,  the  current  direction  is  opposite  its  direction  when  the  capacitor  was
being charged. (Compare the current directions in Figs. 28.19c and 28.21b.) We see
that  both  the  charge  on  the  capacitor  and  the  current  decay  exponentially  at  a  rate
characterized by the time constant - #

RC.

I(t

 

) #

dq

dt

#

d

dt

 (Qe

$

t/RC

  

) # $

Q

RC

 e

$

t/RC

 q(t

 

) # Qe

$

t/RC

 ln 

!

q

Q

"

# $

t

RC

 

$

q

Q

 

dq

q

# $

1

RC

 

$

t

0

 dt

  

dq

q

# $

1

RC

  dt

$

R  

dq

dt

 #

q

C

$

q

C

$

IR # 0

!

!

1

2

!

1

2

!

!

[-] # [RC ] #

%

"

V

I

.

Q

"

V

&

#

%

Q

Q / "t

&

#

["t] # T

876

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

(a)

S

R

C

t < 0

–Q

+Q

R

S

I

–q

+q

C

(b)

t > 0

Active Figure 28.21 (a) A

charged capacitor connected to a

resistor and a switch, which is open

for t * 0. (b) After the switch is

closed at t # 0, a current that

decreases in magnitude with time is

set up in the direction shown, and

the charge on the capacitor

decreases exponentially with time.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the values of R and

C to see the effect on the

discharging of the capacitor.

Charge as a function of time for

a discharging capacitor

Current as a function of time for

a discharging capacitor

Quick  Quiz  28.9

Consider  the  circuit  in  Figure  28.19  and  assume  that  the

battery  has  no  internal  resistance.  Just  after  the  switch  is  closed,  the  potential  differ-
ence  across  which  of  the  following  is  equal  to  the  emf  of  the  battery?  (a) C (b) R
(c) neither C nor R. After a very long time, the potential difference across which of the
following is equal to the emf of the battery? (d) C (e) R (f) neither C nor R.