Physics For Scientists And Engineers 6E - part 217

An extension of this analysis to three or more resistors in parallel gives

(28.8)

We can see from this expression that 

the inverse of the equivalent resistance of two

or more resistors connected in parallel is equal to the sum of the inverses of the
individual  resistances.  Furthermore,  the  equivalent  resistance  is  always  less
than the smallest resistance in the group.

Household circuits are always wired such that the appliances are connected in par-

allel. Each device operates independently of the others so that if one is switched off,
the others remain on. In addition, in this type of connection, all of the devices operate
on the same voltage.

1

R

eq

#

1

R

1

%

1

R

2

%

1

R

3

% ( ( (

SECTION 28.2 •  Resistors in Series and Parallel

865

The equivalent resistance of

several resistors in parallel

Quick Quiz 28.5

In Figure 28.4, imagine that we add a third resistor in series

with  the  first  two.  Does  the  current  in  the  battery  (a)  increase,  (b)  decrease,  or 
(c)  remain  the  same?  Does  the  terminal  voltage  of  the  battery  (d)  increase, 
(e) decrease, or (f) remain the same?

Quick  Quiz  28.6

In  Figure  28.6,  imagine  that  we  add  a  third  resistor  in

parallel with the first two. Does the current in the battery (a) increase, (b) decrease,
or (c) remain  the  same?  Does  the  terminal  voltage  of  the  battery  (d)  increase, 
(e) decrease, or (f) remain the same?

Quick  Quiz  28.7

With the switch in the circuit of Figure 28.7 open (left),

there is no current in R

2

. There is current in R

1

and this current is measured with the

ammeter at the right side of the circuit. If the switch is closed (Fig. 28.7, right), there is
current in R

2

. What happens to the reading on the ammeter when the switch is closed?

(a) the reading goes up; (b) the reading goes down; (c) the reading does not change.

Switch open

R

1

R

2

Switch closed

A

R

1

R

2

A

Figure 28.7 (Quick Quiz 28.7) What happens when the switch is closed?

Conceptual Example 28.3 Landscape Lights

A  homeowner  wishes  to  install  12-volt  landscape  lighting
in his back yard. To save money, he purchases inexpensive
18-gauge  cable,  which  has  a  relatively  high  resistance  per
unit  length.  This  cable  consists  of  two  side-by-side  wires
separated  by  insulation,  like  the  cord  on  an  appliance.
He runs  a  200-foot  length  of  this  cable  from  the  power
supply to the farthest point at which he plans to position a
light fixture. He attaches light fixtures across the two wires

on the cable at 10-foot intervals, so the light fixtures are in
parallel.  Because  of  the  cable’s  resistance,  the  brightness
of  the  bulbs  in  the  light  fixtures  is  not  as  desired.  Which
problem  does  the  homeowner  have?  (a)  All  of  the  bulbs
glow  equally  less  brightly  than  they  would  if  lower-
resistance cable had been used. (b) The brightness of the
bulbs  decreases  as  you  move  farther  from  the  power
supply.

866

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

Solution A  circuit  diagram  for  the  system  appears  in
Figure  28.8.  The  horizontal  resistors  (such  as  R

A

and  R

B

)

represent  the  resistance  of  the  wires  in  the  cable  between
the  light  fixtures  while  the  vertical  resistors  (such  as  R

C

)

represent  the  resistance  of  the  light  fixtures  themselves.
Part of the terminal voltage of the power supply is dropped
across  resistors  R

A

and  R

B

.  Thus,  the  voltage  across  light

fixture  R

C

is  less  than  the  terminal  voltage.  There  is  a

further  voltage  drop  across  resistors  R

D

and  R

E

.  Conse-

quently,  the  voltage  across  light  fixture  R

F

is  smaller  than

that  across  R

C

.  This  continues  on  down  the  line  of  light

fixtures,  so  the  correct  choice  is  (b).  Each  successive  light
fixture has a smaller voltage across it and glows less brightly
than the one before.

R

A

R

D

R

C

R

F

R

B

R

E

Resistance of

light fixtures

Resistance in

wires of cable

Power

supply

Figure 28.8 (Conceptual Example 28.3) The circuit diagram for a set of landscape

light fixtures connected in parallel across the two wires of a two-wire cable. The

horizontal resistors represent resistance in the wires of the cable. The vertical resistors

represent the light fixtures.

Example 28.4 Find the Equivalent Resistance

Four resistors are connected as shown in Figure 28.9a.

(A)

Find  the  equivalent  resistance  between  points  a and  c.

Solution The  combination  of  resistors  can  be  reduced  in
steps, as shown in Figure 28.9. The 8.0-' and 4.0-' resistors
are in series; thus, the equivalent resistance between a and b
is 12.0 ' (see Eq. 28.5). The 6.0-' and 3.0-' resistors are in
parallel, so from Equation 28.7 we find that the equivalent
resistance from b to c is 2.0 '. Hence, the equivalent resis-
tance from a to c is 14.0 '.

(B)

What is the current in each resistor if a potential differ-

ence of 42 V is maintained between a and c?

Solution The currents in the 8.0-' and 4.0-' resistors are
the same because they are in series. In addition, this is the
same as the current that would exist in the 14.0-' equivalent
resistor subject to the 42-V potential difference. Therefore,
using  Equation  27.8  (R # "V/I )  and  the  result  from  part
(A), we obtain

This  is  the  current  in  the  8.0-' and  4.0-' resistors.  When
this 3.0-A current enters the junction at b, however, it splits,
with  part  passing  through  the  6.0-' resistor  (I

1

)  and  part

through the 3.0-' resistor (I

2

). Because the potential differ-

ence  is  "V

bc

across  each  of  these  parallel  resistors,  we  see

that (6.0 ')I

1

#

(3.0 ')I

2

, or I

2

#

2I

1

. Using this result and

the  fact  that  I

1

%

I

2

#

3.0 A,  we  find  that  I

1

#

1.0 A  and

I #

"

V

ac

R

eq

#

42 V

14.0 '

#

3.0 A

I

2

#

2.0 A. We could have guessed this at the start by noting

that the current in the 3.0-' resistor has to be twice that in
the 6.0-' resistor, in view of their relative resistances and the
fact that the same voltage is applied to each of them.

As  a  final  check  of  our  results,  note  that  "V

bc

#

(6.0 ')I

1

#

(3.0 ')I

2

#

6.0 V and "V

ab

#

(12.0 ')I # 36 V;

therefore, "V

ac

# "

V

ab

% "

V

bc

#

42 V, as it must.

6.0 

Ω

3.0 

Ω

c

b

I

1

I

2

4.0 

Ω

8.0 

Ω

a

c

2.0 

Ω

12.0 

Ω

b

a

14.0 

Ω

c

a

(a)

(b)

(c)

I

Figure 28.9 (Example 28.4) The original network of resistors

is reduced to a single equivalent resistance.

Example 28.5 Finding R

eq

by Symmetry Arguments

Consider five resistors connected as shown in Figure 28.10a.
Find the equivalent resistance between points a and b.

Solution If we inspect this system of resistors, we realize that
we cannot reduce it by using our rules for series and parallel

connections.  We  can,  however,  assume  a  current  entering
junction a and then apply symmetry arguments. Because of
the  symmetry  in  the  circuit  (all  1-' resistors  in  the  outside
loop),  the  currents  in  branches ac and  ad must  be  equal;
hence, the electric potentials at points c and d must be equal.

Example 28.6 Three Resistors in Parallel

Three resistors are connected in parallel as shown in Figure
28.11a.  A  potential  difference  of  18.0 V  is  maintained
between points a and b.

(A)

Find the current in each resistor.

Solution The resistors are in parallel, and so the potential
difference across each must be 18.0 V. Applying the relation-
ship "V # IR to each resistor gives

2.00 A

I

3 

#

"

V

R

3

#

18.0 V

9.00 '

#

3.00 A

I

2 

#

"

V

R

2

#

18.0 V

6.00 '

#

6.00 A

I

1

#

"

V

R

1

#

18.0 V

3.00 '

#

(B)

Calculate  the  power  delivered  to  each  resistor  and  the

total power delivered to the combination of resistors.

Solution We apply the relationship ! # I

2

R to  each  resis-

tor and obtain

This  shows  that  the  smallest  resistor  receives  the  most
power. Summing the three quantities gives a total power of
198 W.

36.0 W

9.00-':

   

!

3

#

I

3

 

2

R

3

#

(2.00 A)

2

(9.00 ') #

54.0 W

6.00-':

   

!

2

#

I

2

 

2

R

2

#

(3.00 A)

2

(6.00 ') #

108 W

3.00-':

   

!

1

#

I

1

 

2

R

1

#

(6.00 A)

2

(3.00 ') #

SECTION 28.2 •  Resistors in Series and Parallel

867

Figure 28.11 (Example 28.6) (a) Three

resistors connected in parallel. The

voltage across each resistor is 18.0 V.

(b) Another circuit with three resistors

and a battery. Is this equivalent to the

circuit in part (a) of the figure?

Interactive

I

1

I

2

I

3

I

a

b

18.0 V

3.00 

Ω 6.00 Ω 9.00 Ω

I

1

I

2

I

3

a

b

3.00 

Ω 6.00 Ω

9.00 

Ω

18.0 V

I

(a)

(b)

This  means  that  "V

cd

#

0  and  there  is  no  current  between

points c and d. As a result, points c and d may be connected
together  without  affecting  the  circuit,  as  in  Figure  28.10b.
Thus, the 5-' resistor may be removed from the circuit and

the remaining circuit then reduced as in Figures 28.10c and
d. From this reduction we see that the equivalent resistance
of the combination is 1 '. Note that the result is 1 ' regard-
less of the value of the resistor connected between c and d.

(c)

0.5 

Ω

b

a

c,d

0.5 

Ω

(a)

1 

Ω

1 

Ω

1 

Ω

1 

Ω

5 

Ω

b

a

c

d

1 

Ω

5 

Ω

1 

Ω

b

a

c,d

1 

Ω

1 

Ω

(b)

(d)

1 

Ω

b

a

Figure 28.10 (Example 28.5) Because of the symmetry in this circuit, the 5-' resistor

does not contribute to the resistance between points a and b and therefore can be

disregarded when we calculate the equivalent resistance.

868

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

Conceptual Example 28.7 Operation of a Three-Way Lightbulb

Figure  28.12  illustrates  how  a  three-way  lightbulb  is  con-
structed to provide three levels of light intensity. The socket
of the lamp is equipped with a three-way switch for selecting
different  light  intensities.  The  bulb  contains  two  filaments.
When the lamp is connected to a 120-V source, one filament
receives  100 W  of  power,  and  the  other  receives  75 W.
Explain  how  the  two  filaments  are  used  to  provide  three
different light intensities.

Solution The  three  light  intensities  are  made  possible  by
applying the 120 V to one filament alone, to the other fila-
ment alone, or to the two filaments in parallel. When switch
S

1

is  closed  and  switch  S

2

is  opened,  current  exists  only  in

the 75-W filament. When switch S

1

is open and switch S

2

is

closed, current exists only in the 100-W filament. When both
switches are closed, current exists in both filaments, and the
total power is 175 W.

If  the  filaments  were  connected  in  series  and  one  of

them  were  to  break,  no  charges  could  pass  through  the
bulb, and the bulb would give no illumination, regardless of
the switch position. However, with the filaments connected

in parallel, if one of them (for example, the 75-W filament)
breaks, the bulb will still operate in two of the switch posi-
tions as current exists in the other (100-W) filament.

120 V

100-W filament

75-W filament

S

1

S

2

Figure 28.12 (Conceptual Example 28.7) A three-way

lightbulb.

Application Strings of Lights

Strings  of  lights  are  used  for  many  ornamental  purposes,
such  as  decorating  Christmas  trees.

3

Over  the  years,  both

parallel  and  series  connections  have  been  used  for  strings
of lights powered by 120 V. Series-wired bulbs are safer than
parallel-wired  bulbs  for  indoor  Christmas-tree  use  because
series-wired bulbs operate with less energy per bulb and at a
lower temperature. However, if the filament of a single bulb
fails  (or  if  the  bulb  is  removed  from  its  socket),  all  the
lights  on  the  string  go  out.  The  popularity  of  series-wired
light  strings  diminished  because  troubleshooting  a  failed
bulb  was  a  tedious,  time-consuming  chore  that  involved
trial-and-error  substitution  of  a  good  bulb  in  each  socket
along the string until the defective bulb was found.

In  a  parallel-wired  string,  each  bulb  operates  at  120 V.

By design, the bulbs are brighter and hotter than those on

a series-wired string. As a result, these bulbs are inherently
more  dangerous  (more  likely  to  start  a  fire,  for  instance),
but if one bulb in a parallel-wired string fails or is removed,
the rest of the bulbs continue to glow. (A 25-bulb string of
4-W  bulbs  results  in  a  power  of  100 W;  the  total  power
becomes substantial when several strings are used.)

A  new  design  was  developed  for  so-called  “miniature”

lights wired in series, to prevent the failure of one bulb from
causing  the  entire  string  to  go  out.  This  design  creates  a
connection  (called  a  jumper)  across  the  filament  after  it
fails.  When  the  filament  breaks  in  one  of  these  miniature
lightbulbs,  the  break  in  the  filament  represents  the  largest
resistance in the series, much larger than that of the intact
filaments.  As  a  result,  most  of  the  applied  120 V  appears
across  the  bulb  with  the  broken  filament.  Inside  the

3

These and other household devices, such as the three-way lightbulb in Conceptual Example 28.7

and the kitchen appliances discussed in Section 28.6, actually operate on alternating current (AC), to
be introduced in Chapter 33.

(C)

Calculate the equivalent resistance of the circuit.

Solution We can use Equation 28.8 to find R

eq

:

1.64 '

R

eq

#

18.0 '

11.0

#

1

R

eq

#

1

3.00 '

%

1

6.00 '

%

1

9.00 '

What  If?

What  if  the  circuit  is  as  shown  in  Figure  28.11b

instead  of  as  in  Figure  28.11a?  How  does  this  affect  the
calculation?

Answer There is no effect on the calculation. The physical
placement of the battery is not important. In Figure 28.11b,
the  battery  still  applies  a  potential  difference  of  18.0 V
between points a and b, so the two circuits in Figure 28.11
are electrically identical.

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can explore different configurations of the battery
and resistors.