Physics For Scientists And Engineers 6E - part 215

Answers to Quick Quizzes

857

Here the first symbol e represents Euler’s number, the base
of  natural  logarithms.  The  second  e is  the  charge  on  the
electron. The k

B

stands for Boltzmann’s constant, and T is

the  absolute  temperature.  Set  up  a  spreadsheet  to
calculate  I  and  R " !V/I for  !V " 0.400 V  to  0.600 V  in
increments of 0.005 V. Assume I

0

"

1.00 nA. Plot R versus

!

V for T " 280 K, 300 K, and 320 K.

75.

Review  problem.  A  parallel-plate  capacitor  consists  of
square  plates  of  edge  length  ! that  are  separated  by  a
distance  d,  where  d 22 !.  A  potential  difference  !V is
maintained  between  the  plates.  A  material  of  dielectric
constant  4 fills  half  of  the  space  between  the  plates.  The
dielectric  slab  is  now  withdrawn  from  the  capacitor,  as
shown  in  Figure  P27.75.  (a)  Find  the  capacitance  when
the  left  edge  of  the  dielectric  is  at  a  distance  x from  the
center of the capacitor. (b) If the dielectric is removed at a
constant speed v, what is the current in the circuit as the
dielectric is being withdrawn?

the  junction.  This  is  indicative  of  scalar  addition.  Even
though we can assign a direction to a current, it is not a
vector.  This  suggests  a  deeper  meaning  for  vectors
besides that of a quantity with magnitude and direction.

27.3 (a). The current in each section of the wire is the same

even  though  the  wire  constricts.  As  the  cross-sectional
area A decreases, the drift velocity must increase in order
for the constant current to be maintained, in accordance
with Equation 27.4. As A decreases, Equation 27.11 tells
us that R increases.

27.4 (b). The doubling of the radius causes the area A to be

four  times  as  large,  so  Equation  27.11  tells  us  that  the
resistance decreases.

27.5 (b). The slope of the tangent to the graph line at a point

is the reciprocal of the resistance at that point. Because
the slope is increasing, the resistance is decreasing.

27.6 (a).  When  the  filament  is  at  room  temperature,  its

resistance is low, and hence the current is relatively large.
As  the  filament  warms  up,  its  resistance  increases,  and
the current decreases. Older lightbulbs often fail just as
they  are  turned  on  because  this  large  initial  current
“spike”  produces  rapid  temperature  increase  and
mechanical stress on the filament, causing it to break.

27.7 (c).  Because  the  potential  difference  !V is  the  same

across the two bulbs and because the power delivered to
a  conductor  is  " " I !V,  the  60-W  bulb,  with  its  higher
power  rating,  must  carry  the  greater  current.  The  30-W
bulb  has  the  higher  resistance  because  it  draws  less 
current at the same potential difference.

27.8 I

a

"

I

b

6

I

c

"

I

d

6

I

e

"

I

f

.  The  current  I

a

leaves  the

positive  terminal  of  the  battery  and  then  splits  to  flow
through  the  two  bulbs;  thus,  I

a

"

I

c

,

I

e

.  From  Quick

Quiz 27.7, we know that the current in the 60-W bulb is
greater than that in the 30-W bulb. Because charge does
not build up in the bulbs, we know that the same amount
of charge flowing into a bulb from the left must flow out
on  the  right;  consequently,  I

c

"

I

d

and  I

e

"

I

f

.  The  two

currents leaving the bulbs recombine to form the current
back into the battery, I

f

,

I

d

"

I

b

.

Figure P27.75

!

!

x

d

v

∆V

Answers to Quick Quizzes

27.1 d, b " c, a. The current in part (d) is equivalent to two

positive  charges  moving  to  the  left.  Parts  (b)  and  (c)
each represent four positive charges moving in the same
direction because negative charges moving to the left are
equivalent  to  positive  charges  moving  to  the  right.  The
current  in  part  (a)  is  equivalent  to  five  positive  charges
moving to the right.

27.2 (b).  The  currents  in  the  two  paths  add  numerically  to

equal  the  current  coming  into  the  junction,  without
regard for the directions of the two wires coming out of

858

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

Chapter 28

Direct Current Circuits

C H A P T E R   O U T L I N E

28.1 Electromotive Force

28.2 Resistors in Series and

Parallel

28.3 Kirchhoff’s Rules

28.4

RC

Circuits

28.5 Electrical Meters

28.6 Household Wiring and

Electrical Safety

▲

An assortment of batteries that can be used to provide energy for various devices.

Batteries provide a voltage with a fixed polarity, resulting in a direct current in a circuit, that
is, a current for which the drift velocity of the charges is always in the same direction.
(George Semple)

858

T

his  chapter  is  concerned  with  the  analysis  of  simple  electric  circuits  that  contain

batteries, resistors, and capacitors in various combinations. We will see some circuits in
which resistors can be combined using simple rules. The analysis of more complicated
circuits  is  simplified  using  two  rules  known  as  Kirchhoff’s  rules, which  follow  from  the
laws of conservation of energy and conservation of electric charge for isolated systems.
Most  of  the  circuits  analyzed  are  assumed  to  be  in  steady  state, which  means  that
currents  in  the  circuit  are  constant  in  magnitude  and  direction.  A  current  that  is
constant  in  direction  is  called  a  direct  current (DC).  We  will  study  alternating  current
(AC),  in  which  the  current  changes  direction  periodically,  in  Chapter  33.  Finally,  we
describe electrical meters for measuring current and potential difference, and discuss
electrical circuits in the home.

28.1 Electromotive Force

In Section 27.6 we discussed a closed circuit in which a battery produces a potential
difference and causes charges to move. We will generally use a battery in our discus-
sion and in our circuit diagrams as a source of energy for the circuit. Because the
potential  difference  at  the  battery  terminals  is  constant  in  a  particular  circuit,  the
current  in  the  circuit  is  constant  in  magnitude  and  direction  and  is  called 

direct

current. A battery is called either a source of electromotive force or, more commonly, a
source of emf. (The phrase electromotive force is an unfortunate historical term, describ-
ing not a force but rather a potential difference in volts.) 

The emf  of a battery

is  the  maximum  possible  voltage  that  the  battery  can  provide  between  its
terminals. You can think of a source of emf as a “charge pump.” When an electric
potential  difference  exists  between  two  points,  the  source  moves  charges  “uphill”
from the lower potential to the higher.

Consider  the  circuit  shown  in  Figure  28.1,  consisting  of  a  battery  connected  to

a resistor.  We  shall  generally  assume  that  the  connecting  wires  have  no  resistance.

!

859

+

Resistor

Battery

–

Figure 28.1 A circuit consisting of a resistor

connected to the terminals of a battery.

The positive terminal of the battery is at a higher potential than the negative termi-
nal. Because a real battery is made of matter, there is resistance to the flow of charge
within the battery. This resistance is called 

internal resistance r. For an idealized bat-

tery with zero internal resistance, the potential difference across the battery (called its
terminal voltage) equals its emf. However, for a real battery, the terminal voltage is not
equal to the emf for a battery in a circuit in which there is a current. To understand
why  this  is  so,  consider  the  circuit  diagram  in  Figure  28.2a,  where  the  battery  of
Figure 28.1 is represented by the dashed rectangle containing an ideal, resistance-free
emf  in series with an internal resistance r. Now imagine moving through the battery
from a to b and measuring the electric potential at various locations. As we pass from
the negative terminal to the positive terminal, the potential increases by an amount  .
However,  as  we  move  through  the  resistance  r,  the  potential  decreases  by  an  amount
Ir, where  I is  the  current  in  the  circuit.  Thus,  the  terminal  voltage  of  the  battery
"

V # V

b

$

V

a

is

1

"

V #

$

Ir

(28.1)

From this expression, note that 

is equivalent to the 

open-circuit voltage—that is,

the terminal voltage when the current is zero. The emf is the voltage labeled on a battery—
for example, the emf of a D cell is 1.5 V. The actual potential difference between the
terminals of the battery depends on the current in the battery, as described by Equa-
tion 28.1.

Figure 28.2b is a graphical representation of the changes in electric potential as the

circuit is traversed in the clockwise direction. By inspecting Figure 28.2a, we see that
the terminal voltage "V must equal the potential difference across the external resis-
tance R, often called the 

load resistance. The load resistor might be a simple resistive

circuit element, as in Figure 28.1, or it could be the resistance of some electrical device
(such as a toaster, an electric heater, or a lightbulb) connected to the battery (or, in
the case of household devices, to the wall outlet). The resistor represents a load on the
battery because the battery must supply energy to operate the device. The potential dif-
ference across the load resistance is "V # IR. Combining this expression with Equation
28.1, we see that

#

IR % Ir

(28.2)

Solving for the current gives

(28.3)

This equation shows that the current in this simple circuit depends on both the load
resistance R external to the battery and the internal resistance r. If R is much greater
than r, as it is in many real-world circuits, we can neglect r.

If we multiply Equation 28.2 by the current I, we obtain

I # I

2

R % I

2

r

(28.4)

This equation indicates that, because power ! # I "V (see Eq. 27.22), the total power
output I of the battery is delivered to the external load resistance in the amount I

2

R

and to the internal resistance in the amount I

2

r. 

!

!

& #

!

R % r

!

!

!

!

!

1

The  terminal  voltage  in  this  case  is  less  than  the  emf  by  an  amount  Ir.  In  some  situations,  the

terminal voltage may exceed the emf by an amount Ir. This happens when the direction of the current is
opposite that of the emf, as in the case of charging a battery with another source of emf.

860

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

a

c

(b)

R

r

d

b

V

IR

Ir

ε

ε

ε

a

d

R

I

b

r

–

+

c

(a)

I

Active Figure 28.2 (a) Circuit

diagram of a source of emf  (in

this case, a battery), of internal

resistance r, connected to an

external resistor of resistance R.

(b) Graphical representation

showing how the electric potential

changes as the circuit in part (a) is

traversed clockwise.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the emf and

resistances r and R to see the

effect on the current and on the

graph in part (b).

!

▲

PITFALL PREVENTION

28.1 What Is Constant in a

Battery?

It  is  a  common  misconception
that  a  battery  is  a  source  of
constant  current.  Equation  28.3
clearly shows that this is not true.
The  current  in  the  circuit
depends  on  the  resistance
connected to the battery. It is also
not true that a battery is a source
of  constant  terminal  voltage,
as shown  by  Equation  28.1.  A
battery  is  a  source  of  constant
emf.

Quick Quiz 28.1

In order to maximize the percentage of the power that is

delivered  from  a  battery  to  a  device,  the  internal  resistance  of  the  battery  should  be 
(a) as low as possible (b) as high as possible (c) The percentage does not depend on
the internal resistance.