Physics For Scientists And Engineers 6E - part 213

Summary

849

(B)

What is the average current per pulse delivered by the

accelerator?

Solution Average  current  is  given  by  Equation  27.1,
I

av

" !

Q /!t. Because  the  time  interval  between  pulses  is

4.00 ms,  and  because  we  know  the  charge  per  pulse  from
part (A), we obtain

This  represents  only  0.005%  of  the  peak  current,  which  is
250 mA.

(C)

What is the peak power delivered by the electron beam?

Solution By definition, power is energy delivered per unit
time  interval.  Thus,  the  peak  power  is  equal  to  the  energy
delivered by a pulse divided by the pulse duration:

10.0 MW

"

1.00 # 10

7

 W "

#

"

1.60 # 10

$

13 

J

1 MeV

#

"

(3.13 # 10

11

 electrons/pulse)(40.0 MeV/electron)

2.00 # 10

$

7 

s/pulse

(1)

     

"

peak

"

pulse energy

pulse duration

12.5 /A

I

av

"

Q 

pulse

∆t

"

5.00 # 10

$

8

 C

4.00 # 10

$

3

 s

"

3.13 # 10

11

 electrons/pulse

"

Electrons per pulse "

5.00 # 10

$

8

 C/pulse

1.60 # 10

$

19 

C/electron

We could also compute this power directly. We assume that
each  electron  has  zero  energy  before  being  accelerated.
Thus,  by  definition,  each  electron  must  go  through  a
potential difference of 40.0 MV to acquire a final energy of
40.0 MeV. Hence, we have

What If?

What if the requested quantity in part (C) were the

average power rather than the peak power?

Answer Instead  of  Equation  (1),  we  would  use  the  time
interval between pulses rather than the duration of a pulse:

Instead  of Equation (2),  we would  use the  average  current
found in part (B):

Notice that these two calculations agree with each other and
that the average power is much lower than the peak power.

 " 500 W

"

av

"

I

av

 

∆V " (12.5 # 10

$

6

 A)(40.0 # 10

6

 V

 

)

"

500 W

#

"

1.60 # 10

$

13

 J

1 MeV

#

"

(3.13 # 10

11

 electrons/pulse)(40.0 MeV/electron)

4.00 # 10

$

3

 s/pulse

"

av

"

pulse energy

time interval between pulses

10.0 MW

"

"

(250 # 10

$

3

 A)(40.0 # 10

6 

V

 

)

(2)

     

"

peak

"

I

peak 

∆V

The 

electric current I in a conductor is defined as

(27.2)

where dQ is the charge that passes through a cross section of the conductor in a time
interval dt. The SI unit of current is the 

ampere (A), where 1 A " 1 C/s.

The average current in a conductor is related to the motion of the charge carriers

through the relationship

(27.4)

where n is the density of charge carriers, q is the charge on each carrier, v

d

is the drift

speed, and A is the cross-sectional area of the conductor.

The  magnitude  of  the 

current  density J in  a  conductor  is  the  current  per

unit area:

(27.5)

J  

!  

I

A

"

nqv

d

I

av

"

nqv

d 

A

I  

!  

dQ

dt

S U M M A R Y

Take a practice test for

this chapter by clicking on
the Practice Test link at
http://www.pse6.com.

850

CHAPTE R 27 •  Current and Resistance

The  current  density  in  an  ohmic  conductor  is  proportional  to  the  electric  field
according to the expression

(27.7)

The proportionality constant & is called the 

conductivity of the material of which the

conductor  is  made.  The  inverse  of  & is  known  as 

resistivity %  (that  is,  % " 1/&).

Equation 27.7 is known as 

Ohm’s law, and a material is said to obey this law if the ratio

of its current density 

J to its applied electric field E is a constant that is independent of

the applied field.

The 

resistance R of a conductor is defined as

(27.8)

where !V is the potential difference across it, and I is the current it carries.

The  SI  unit  of  resistance  is  volts  per  ampere,  which  is  defined  to  be  1 

ohm (');

that  is,  1 ' " 1 V/A.  If  the  resistance  is  independent  of  the  applied  potential
difference, the conductor obeys Ohm’s law.

For  a  uniform  block  of  material  of  cross  sectional  area  A and  length  !,  the

resistance over the length ! is

(27.11)

where % is the resistivity of the material.

In a classical model of electrical conduction in metals, the electrons are treated as

molecules  of  a  gas.  In  the  absence  of  an  electric  field,  the  average  velocity  of  the
electrons is zero. When an electric field is applied, the electrons move (on the average)
with a 

drift velocity v

d

that is opposite the electric field and given by the expression

(27.14)

where + is the average time interval between electron–atom collisions, m

e

is the mass

of  the  electron,  and  q is  its  charge.  According  to  this  model,  the  resistivity  of  the
metal is

(27.17)

where n is the number of free electrons per unit volume.

The  resistivity  of  a  conductor  varies  approximately  linearly  with  temperature

according to the expression

(27.19)

where - is the 

temperature coefficient of resistivity and %

0

is the resistivity at some

reference temperature T

0

.

If a potential difference !V is maintained across a circuit element, the 

power, or

rate at which energy is supplied to the element, is

(27.22)

Because the potential difference across a resistor is given by !V " IR, we can express
the power delivered to a resistor in the form

(27.23)

The  energy  delivered  to  a  resistor  by  electrical  transmission  appears  in  the  form  of
internal energy in the resistor.

" "

I

 

2

R "

(

∆V )

2

R

 " " I !V

% " %

 

0

[1 , -(T $ T

0

)]

% "

m

e

nq

 

2

+

v

d

"

q

 

E

m

e

 +

R " % 

!

A

R 

 

! 

 

∆V

I

J " &

 

E

Questions

851

1. In  an  analogy  between  electric  current  and  automobile

traffic flow, what would correspond to charge? What would
correspond to current?

2. Newspaper  articles  often  contain  a  statement  such  as

“10 000  volts  of  electricity  surged  through  the  victim’s
body.’’ What is wrong with this statement?

3. What factors affect the resistance of a conductor?
4. What is the difference between resistance and resistivity?

Two wires A and B of circular cross section are made of the
same  metal  and  have  equal  lengths,  but  the  resistance  of
wire  A is three  times  greater  than that  of  wire B.  What is
the ratio of their cross-sectional areas? How do their radii
compare?

6. Do  all  conductors  obey  Ohm’s  law?  Give  examples  to

justify your answer.

7. We  have  seen  that  an  electric  field  must  exist  inside  a

conductor that carries a current. How is it possible in view
of  the  fact  that  in  electrostatics  we  concluded  that  the
electric field must be zero inside a conductor?

8. A  very  large  potential  difference  is  not  necessarily

required  to  produce  long  sparks  in  air.  With  a  device
called Jacob’s ladder, a potential difference of about 10 kV
produces an electric arc a few millimeters long between
the bottom ends of two curved rods that project upward
from  the  power  supply.  (The  device  is  seen  in  classic
mad-scientist  horror  movies  and  in  Figure  Q27.8.)  The
arc  rises,  climbing  the  rods  and  getting  longer  and
longer. It disappears when it reaches the top; then a new
spark  immediately  forms  at  the  bottom  and  the  process
repeats.  Explain  these  phenomena.  Why  does  the  arc
rise? Why does a new arc appear only after the previous
one is gone?

5.

9. When  the  voltage  across  a  certain  conductor  is  doubled,

the  current  is  observed  to  increase  by  a  factor  of  three.
What can you conclude about the conductor?

10. In  the  water  analogy  of  an  electric  circuit,  what  corre-

sponds to the power supply, resistor, charge, and potential
difference?

Use  the  atomic  theory  of  matter  to  explain  why  the

resistance of a material should increase as its temperature
increases.

12. Why might a “good” electrical conductor also be a “good”

thermal conductor?

13. How does the resistance for copper and for silicon change

with  temperature?  Why  are  the  behaviors  of  these  two
materials different?

14. Explain  how  a  current  can  persist  in  a  superconductor

without any applied voltage.

15. What  single  experimental  requirement  makes  supercon-

ducting  devices  expensive  to  operate?  In  principle,  can
this limitation be overcome?

16. What would happen to the drift velocity of the electrons in

a wire and to the current in the wire if the electrons could
move freely without resistance through the wire?
If charges flow very slowly through a metal, why does it not
require  several  hours  for  a  light  to  come  on  when  you
throw a switch?

18. In a conductor, changes in the electric field that drives the

electrons  through  the  conductor  propagate  with  a  speed
close  to  the  speed  of  light,  although  the  drift  velocity  of
the  electrons  is  very  small.  Explain  how  these  statements
can both be true. Does one particular electron move from
one end of the conductor to the other?

19. Two  conductors  of  the  same  length  and  radius  are

connected  across  the  same  potential  difference.  One
conductor has twice the resistance of the other. To which
conductor is more power delivered?

20. Two lightbulbs both operate from 120 V. One has a power

of  25 W  and  the  other  100 W.  Which  bulb  has  higher
resistance? Which bulb carries more current?

21. Car  batteries  are  often  rated  in  ampere-hours.  Does  this

designate the amount of current, power, energy, or charge
that can be drawn from the battery?

22. If  you  were  to  design  an  electric  heater  using  Nichrome

wire as the heating element, what parameters of the wire
could  you  vary  to  meet  a  specific  power  output,  such  as
1 000 W?

17.

11.

Q U E S T I O N S

Figure Q27.8

852

CHAPTE R 27 •  Current and Resistance

Section 27.1 Electric Current

1. In  a  particular  cathode  ray  tube,  the  measured  beam

current  is  30.0 /A.  How  many  electrons  strike  the  tube
screen every 40.0 s?

2.

A  teapot  with  a  surface  area  of  700  cm

2

is  to  be  silver

plated.  It  is  attached  to  the  negative  electrode  of  an
electrolytic  cell  containing  silver  nitrate  (Ag

,

NO

3

$

).  If

the cell is powered by a 12.0-V battery and has a resistance
of  1.80  ',  how  long  does  it  take  for  a  0.133-mm  layer  of
silver  to  build  up  on  the  teapot?  (The  density  of  silver  is
10.5 # 10

3

kg/m

3

.)

Suppose  that  the  current  through  a  conductor

decreases  exponentially  with  time  according  to  the
equation  I(t ) " I

0

e

$

t/+

where  I

0

is  the  initial  current  (at

t " 0),  and  + is  a  constant  having  dimensions  of  time.
Consider  a  fixed  observation  point  within  the  conductor.
(a) How much charge passes this point between t " 0 and
t " +?  (b)  How  much  charge  passes  this  point  between
t " 0 and t " 10+? (c) What If? How much charge passes
this point between t " 0 and t " 0?

4.

In  the  Bohr  model  of  the  hydrogen  atom,  an  electron
in the  lowest  energy  state  follows  a  circular  path
5.29 # 10

$

11

m from the proton. (a) Show that the speed

of the electron is 2.19 # 10

6

m/s. (b) What is the effective

current associated with this orbiting electron?

5. A small sphere that carries a charge q is whirled in a circle

at the end of an insulating string. The angular frequency
of  rotation  is  1.  What  average  current  does  this  rotating
charge represent?

6.

The  quantity  of  charge  q (in  coulombs)  that  has  passed
through  a  surface  of  area  2.00 cm

2

varies  with  time

according  to  the  equation  q " 4t

3

,

5t , 6,  where  t is  in

seconds.  (a)  What  is  the  instantaneous  current  through
the  surface  at  t " 1.00 s?  (b)  What  is  the  value  of  the
current density?

7.

An  electric  current  is  given  by  the  expression  I(t) "
100 sin(120*t), where I is in amperes and t is in seconds.
What is the total charge carried by the current from t " 0
to t " (1/240) s?

8. Figure  P27.8  represents  a  section  of  a  circular  conductor

of nonuniform diameter carrying a current of 5.00 A. The

3.

radius  of  cross  section  A

1

is  0.400 cm.  (a)  What  is  the

magnitude  of  the  current  density  across  A

1

?  (b)  If  the

current density across A

2

is one-fourth the value across A

1

,

what is the radius of the conductor at A

2

?

The  electron  beam  emerging  from  a  certain  high-energy
electron  accelerator  has  a  circular  cross  section  of  radius
1.00 mm. (a) The beam current is 8.00 /A. Find the current
density in the beam, assuming that it is uniform throughout.
(b)  The  speed  of  the  electrons  is  so  close  to  the  speed  of
light  that  their  speed  can  be  taken  as  c " 3.00 # 10

8

m/s

with negligible error. Find the electron density in the beam.
(c)  How  long  does  it  take  for  Avogadro’s  number  of
electrons to emerge from the accelerator?

10.

A Van de Graaff generator produces a beam of 2.00-MeV
deuterons, which are heavy hydrogen nuclei containing a
proton and a neutron. (a) If the beam current is 10.0 /A,
how far apart are the deuterons? (b) Is the electric force
of  repulsion  among  them  a  significant  factor  in  beam
stability? Explain.

11. An  aluminum  wire  having  a  cross-sectional  area  of 

4.00 # 10

$

6

m

2

carries a current of 5.00 A. Find the drift

speed  of  the  electrons  in  the  wire.  The  density  of 
aluminum  is  2.70 g/cm

3

.  Assume  that  one  conduction

electron is supplied by each atom.

Section 27.2 Resistance

12. Calculate the current density in a gold wire at 20°C, if an

electric field of 0.740 V/m exists in the wire.

13. A lightbulb has a resistance of 240 ' when operating with

a  potential  difference  of  120 V  across  it.  What  is  the
current in the lightbulb?

14. A  resistor  is  constructed  of  a  carbon  rod  that  has  a

uniform  cross-sectional  area  of  5.00 mm

2

.  When  a

potential difference of 15.0 V is applied across the ends of
the rod, the rod carries a current of 4.00 # 10

$

3

A. Find

(a) the resistance of the rod and (b) the rod’s length.

A 0.900-V potential difference is maintained across a

1.50-m  length  of  tungsten  wire  that  has  a  cross-sectional
area of 0.600 mm

2

. What is the current in the wire?

16. A conductor of uniform radius 1.20 cm carries a current

of 3.00 A produced by an electric field of 120 V/m. What
is the resistivity of the material?

Suppose that you wish to fabricate a uniform wire out of
1.00 g  of  copper.  If  the  wire  is  to  have  a  resistance  of
R " 0.500 ', and if all of the copper is to be used, what
will be (a) the length and (b) the diameter of this wire?

18.

Gold  is  the  most  ductile  of  all  metals.  For  example,  one
gram of gold can be drawn into a wire 2.40 km long. What
is the resistance of such a wire at 20°C? You can find the
necessary reference information in this textbook.

17.

15.

9.

1, 

2

, 

3

"

straightforward, intermediate, challenging

"

full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

"

coached solution with hints available at http://www.pse6.com

"

computer useful in solving problem             

"

paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

A

1

A

2

I

Figure P27.8